ab-angle->ABCF A

Percentage Accurate: 79.9% → 79.7%

Time: 15.6s

Alternatives: 12

Speedup: 2.0×

• 36.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{angle}{180} \cdot \pi\\ {\left(a \cdot \sin t\_0\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos t\_0\right)}^{2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b angle)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ angle 180.0) PI)))
   (+ (pow (* a (sin t_0)) 2.0) (pow (* b (cos t_0)) 2.0))))

C

double code(double a, double b, double angle) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * ((double) M_PI);
	return pow((a * sin(t_0)), 2.0) + pow((b * cos(t_0)), 2.0);
}

Java

public static double code(double a, double b, double angle) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * Math.PI;
	return Math.pow((a * Math.sin(t_0)), 2.0) + Math.pow((b * Math.cos(t_0)), 2.0);
}

Python

def code(a, b, angle):
	t_0 = (angle / 180.0) * math.pi
	return math.pow((a * math.sin(t_0)), 2.0) + math.pow((b * math.cos(t_0)), 2.0)

Julia

function code(a, b, angle)
	t_0 = Float64(Float64(angle / 180.0) * pi)
	return Float64((Float64(a * sin(t_0)) ^ 2.0) + (Float64(b * cos(t_0)) ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, angle)
	t_0 = (angle / 180.0) * pi;
	tmp = ((a * sin(t_0)) ^ 2.0) + ((b * cos(t_0)) ^ 2.0);
end

Wolfram

code[a_, b_, angle_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(angle / 180.0), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]}, N[(N[Power[N[(a * N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 79.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{angle}{180} \cdot \pi\\ {\left(a \cdot \sin t\_0\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos t\_0\right)}^{2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b angle)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ angle 180.0) PI)))
   (+ (pow (* a (sin t_0)) 2.0) (pow (* b (cos t_0)) 2.0))))

C

double code(double a, double b, double angle) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * ((double) M_PI);
	return pow((a * sin(t_0)), 2.0) + pow((b * cos(t_0)), 2.0);
}

Java

public static double code(double a, double b, double angle) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * Math.PI;
	return Math.pow((a * Math.sin(t_0)), 2.0) + Math.pow((b * Math.cos(t_0)), 2.0);
}

Python

def code(a, b, angle):
	t_0 = (angle / 180.0) * math.pi
	return math.pow((a * math.sin(t_0)), 2.0) + math.pow((b * math.cos(t_0)), 2.0)

Julia

function code(a, b, angle)
	t_0 = Float64(Float64(angle / 180.0) * pi)
	return Float64((Float64(a * sin(t_0)) ^ 2.0) + (Float64(b * cos(t_0)) ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, angle)
	t_0 = (angle / 180.0) * pi;
	tmp = ((a * sin(t_0)) ^ 2.0) + ((b * cos(t_0)) ^ 2.0);
end

Wolfram

code[a_, b_, angle_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(angle / 180.0), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]}, N[(N[Power[N[(a * N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 79.7% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{angle\_m}{180} \leq 2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + {\left(angle\_m \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle\_m}} \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (if (<= (/ angle_m 180.0) 2e-11)
   (+ (* b b) (pow (* angle_m (* a (* PI 0.005555555555555556))) 2.0))
   (+
    (* b b)
    (* (* a a) (- 0.5 (* 0.5 (cos (* (/ PI (/ 180.0 angle_m)) 2.0))))))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if ((angle_m / 180.0) <= 2e-11) {
		tmp = (b * b) + pow((angle_m * (a * (((double) M_PI) * 0.005555555555555556))), 2.0);
	} else {
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (0.5 - (0.5 * cos(((((double) M_PI) / (180.0 / angle_m)) * 2.0)))));
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if ((angle_m / 180.0) <= 2e-11) {
		tmp = (b * b) + Math.pow((angle_m * (a * (Math.PI * 0.005555555555555556))), 2.0);
	} else {
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (0.5 - (0.5 * Math.cos(((Math.PI / (180.0 / angle_m)) * 2.0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	tmp = 0
	if (angle_m / 180.0) <= 2e-11:
		tmp = (b * b) + math.pow((angle_m * (a * (math.pi * 0.005555555555555556))), 2.0)
	else:
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (0.5 - (0.5 * math.cos(((math.pi / (180.0 / angle_m)) * 2.0)))))
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(angle_m / 180.0) <= 2e-11)
		tmp = Float64(Float64(b * b) + (Float64(angle_m * Float64(a * Float64(pi * 0.005555555555555556))) ^ 2.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(a * a) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(Float64(pi / Float64(180.0 / angle_m)) * 2.0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0;
	if ((angle_m / 180.0) <= 2e-11)
		tmp = (b * b) + ((angle_m * (a * (pi * 0.005555555555555556))) ^ 2.0);
	else
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (0.5 - (0.5 * cos(((pi / (180.0 / angle_m)) * 2.0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := If[LessEqual[N[(angle$95$m / 180.0), $MachinePrecision], 2e-11], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[Power[N[(angle$95$m * N[(a * N[(Pi * 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(N[(Pi / N[(180.0 / angle$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 angle #s(literal 180 binary64)) < 1.99999999999999988e-11

   1. Initial program 85.1%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 85.9%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      11. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{angle}{180}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 85.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 85.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}}^{2} + {\left(b \cdot 1\right)}^{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \left(\left(b \cdot 1\right) \cdot \color{blue}{\left(b \cdot 1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot 1\right), \color{blue}{\left(b \cdot 1\right)}\right)\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(\color{blue}{b} \cdot 1\right)\right)\right) \]

      4. *-rgt-identity 85.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 85.9%

      \[\leadsto {\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}^{2} + \color{blue}{b \cdot b} \]

   10. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot angle\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(\left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot angle\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot angle\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f64 82.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

   12. Simplified 82.2%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(angle \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}}^{2} + b \cdot b \]

   if 1.99999999999999988e-11 < (/.f64 angle #s(literal 180 binary64))

   1. Initial program 63.0%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 63.2%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot 1\right)}^{2} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right)\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(b \cdot 1\right)}^{2}\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 63.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right)\right) + b \cdot b} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{angle}{180} \leq 2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + {\left(angle \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}} \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 79.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ {\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle\_m}}\right) \cdot a\right)}^{2} + b \cdot b \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (+ (pow (* (sin (/ PI (/ 180.0 angle_m))) a) 2.0) (* b b)))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	return pow((sin((((double) M_PI) / (180.0 / angle_m))) * a), 2.0) + (b * b);
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	return Math.pow((Math.sin((Math.PI / (180.0 / angle_m))) * a), 2.0) + (b * b);
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	return math.pow((math.sin((math.pi / (180.0 / angle_m))) * a), 2.0) + (b * b)

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	return Float64((Float64(sin(Float64(pi / Float64(180.0 / angle_m))) * a) ^ 2.0) + Float64(b * b))
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp = code(a, b, angle_m)
	tmp = ((sin((pi / (180.0 / angle_m))) * a) ^ 2.0) + (b * b);
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := N[(N[Power[N[(N[Sin[N[(Pi / N[(180.0 / angle$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * a), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 79.1%

   \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 79.8%

   \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{angle}{180}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   13. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   14. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   17. /-lowering-/.f64 79.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 79.9%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}}^{2} + {\left(b \cdot 1\right)}^{2} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \left(\left(b \cdot 1\right) \cdot \color{blue}{\left(b \cdot 1\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot 1\right), \color{blue}{\left(b \cdot 1\right)}\right)\right) \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(\color{blue}{b} \cdot 1\right)\right)\right) \]

   4. *-rgt-identity 79.9%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 79.9%

   \[\leadsto {\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}^{2} + \color{blue}{b \cdot b} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 79.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ b \cdot b + {\left(a \cdot \sin \left(\pi \cdot \frac{angle\_m}{180}\right)\right)}^{2} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (+ (* b b) (pow (* a (sin (* PI (/ angle_m 180.0)))) 2.0)))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	return (b * b) + pow((a * sin((((double) M_PI) * (angle_m / 180.0)))), 2.0);
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	return (b * b) + Math.pow((a * Math.sin((Math.PI * (angle_m / 180.0)))), 2.0);
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	return (b * b) + math.pow((a * math.sin((math.pi * (angle_m / 180.0)))), 2.0)

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	return Float64(Float64(b * b) + (Float64(a * sin(Float64(pi * Float64(angle_m / 180.0)))) ^ 2.0))
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp = code(a, b, angle_m)
	tmp = (b * b) + ((a * sin((pi * (angle_m / 180.0)))) ^ 2.0);
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[Power[N[(a * N[Sin[N[(Pi * N[(angle$95$m / 180.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 79.1%

   \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 79.8%

   \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \left({b}^{2}\right)\right) \]

   2. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 79.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 79.8%

   \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + \color{blue}{b \cdot b} \]

8. Final simplification 79.8%

   \[\leadsto b \cdot b + {\left(a \cdot \sin \left(\pi \cdot \frac{angle}{180}\right)\right)}^{2} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 79.7% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{angle\_m}{180} \leq 2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + {\left(angle\_m \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \frac{angle\_m}{180}\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (if (<= (/ angle_m 180.0) 2e-11)
   (+ (* b b) (pow (* angle_m (* a (* PI 0.005555555555555556))) 2.0))
   (+
    (* b b)
    (* (* a a) (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (* PI (/ angle_m 180.0))))))))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if ((angle_m / 180.0) <= 2e-11) {
		tmp = (b * b) + pow((angle_m * (a * (((double) M_PI) * 0.005555555555555556))), 2.0);
	} else {
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * (((double) M_PI) * (angle_m / 180.0)))))));
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if ((angle_m / 180.0) <= 2e-11) {
		tmp = (b * b) + Math.pow((angle_m * (a * (Math.PI * 0.005555555555555556))), 2.0);
	} else {
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * (Math.PI * (angle_m / 180.0)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	tmp = 0
	if (angle_m / 180.0) <= 2e-11:
		tmp = (b * b) + math.pow((angle_m * (a * (math.pi * 0.005555555555555556))), 2.0)
	else:
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * (math.pi * (angle_m / 180.0)))))))
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0
	if (Float64(angle_m / 180.0) <= 2e-11)
		tmp = Float64(Float64(b * b) + (Float64(angle_m * Float64(a * Float64(pi * 0.005555555555555556))) ^ 2.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(a * a) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(pi * Float64(angle_m / 180.0))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0;
	if ((angle_m / 180.0) <= 2e-11)
		tmp = (b * b) + ((angle_m * (a * (pi * 0.005555555555555556))) ^ 2.0);
	else
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * (pi * (angle_m / 180.0)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := If[LessEqual[N[(angle$95$m / 180.0), $MachinePrecision], 2e-11], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[Power[N[(angle$95$m * N[(a * N[(Pi * 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(Pi * N[(angle$95$m / 180.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 angle #s(literal 180 binary64)) < 1.99999999999999988e-11

   1. Initial program 85.1%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 85.9%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      11. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{angle}{180}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 85.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 85.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}}^{2} + {\left(b \cdot 1\right)}^{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \left(\left(b \cdot 1\right) \cdot \color{blue}{\left(b \cdot 1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot 1\right), \color{blue}{\left(b \cdot 1\right)}\right)\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(\color{blue}{b} \cdot 1\right)\right)\right) \]

      4. *-rgt-identity 85.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 85.9%

      \[\leadsto {\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}^{2} + \color{blue}{b \cdot b} \]

   10. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot angle\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(\left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot angle\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot angle\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f64 82.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

   12. Simplified 82.2%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(angle \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}}^{2} + b \cdot b \]

   if 1.99999999999999988e-11 < (/.f64 angle #s(literal 180 binary64))

   1. Initial program 63.0%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 63.2%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      11. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{angle}{180}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 63.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 63.6%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}}^{2} + {\left(b \cdot 1\right)}^{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\sin \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(b \cdot 1\right)}^{2}\right)}\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \frac{angle}{180}\right)\right)\right) + b \cdot b} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{angle}{180} \leq 2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + {\left(angle \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}^{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \frac{angle}{180}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 68.3% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 3.4 \cdot 10^{-102}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + {\left(angle\_m \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}^{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (if (<= a 3.4e-102)
   (* b b)
   (+ (* b b) (pow (* angle_m (* a (* PI 0.005555555555555556))) 2.0))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 3.4e-102) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (b * b) + pow((angle_m * (a * (((double) M_PI) * 0.005555555555555556))), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 3.4e-102) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (b * b) + Math.pow((angle_m * (a * (Math.PI * 0.005555555555555556))), 2.0);
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	tmp = 0
	if a <= 3.4e-102:
		tmp = b * b
	else:
		tmp = (b * b) + math.pow((angle_m * (a * (math.pi * 0.005555555555555556))), 2.0)
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0
	if (a <= 3.4e-102)
		tmp = Float64(b * b);
	else
		tmp = Float64(Float64(b * b) + (Float64(angle_m * Float64(a * Float64(pi * 0.005555555555555556))) ^ 2.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 3.4e-102)
		tmp = b * b;
	else
		tmp = (b * b) + ((angle_m * (a * (pi * 0.005555555555555556))) ^ 2.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := If[LessEqual[a, 3.4e-102], N[(b * b), $MachinePrecision], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[Power[N[(angle$95$m * N[(a * N[(Pi * 0.005555555555555556), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 3.40000000000000013e-102

   1. Initial program 79.8%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{b} \]

      2. *-lowering-*.f64 59.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right) \]

   5. Simplified 59.3%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b} \]

   if 3.40000000000000013e-102 < a

   1. Initial program 77.7%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 78.6%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      11. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{angle}{180}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 78.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 78.7%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}}^{2} + {\left(b \cdot 1\right)}^{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \left(\left(b \cdot 1\right) \cdot \color{blue}{\left(b \cdot 1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot 1\right), \color{blue}{\left(b \cdot 1\right)}\right)\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(\color{blue}{b} \cdot 1\right)\right)\right) \]

      4. *-rgt-identity 78.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 78.7%

      \[\leadsto {\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}^{2} + \color{blue}{b \cdot b} \]

   10. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot angle\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(\left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot angle\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot angle\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{1}{180} \cdot \left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\left(a \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f64 74.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right) \]

   12. Simplified 74.2%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(angle \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}}^{2} + b \cdot b \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 3.4 \cdot 10^{-102}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + {\left(angle \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot 0.005555555555555556\right)\right)\right)}^{2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 68.3% accurate, 9.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(-0.005555555555555556 + \frac{0.005555555555555556 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -0.005555555555555556}{\pi + -1}\right) \cdot \left(angle\_m \cdot a\right)\\ \mathbf{if}\;a \leq 4 \cdot 10^{-102}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + t\_0 \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (+
           -0.005555555555555556
           (/
            (+ (* 0.005555555555555556 (* PI PI)) -0.005555555555555556)
            (+ PI -1.0)))
          (* angle_m a))))
   (if (<= a 4e-102) (* b b) (+ (* b b) (* t_0 t_0)))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double t_0 = (-0.005555555555555556 + (((0.005555555555555556 * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) + -0.005555555555555556) / (((double) M_PI) + -1.0))) * (angle_m * a);
	double tmp;
	if (a <= 4e-102) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (b * b) + (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double t_0 = (-0.005555555555555556 + (((0.005555555555555556 * (Math.PI * Math.PI)) + -0.005555555555555556) / (Math.PI + -1.0))) * (angle_m * a);
	double tmp;
	if (a <= 4e-102) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (b * b) + (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	t_0 = (-0.005555555555555556 + (((0.005555555555555556 * (math.pi * math.pi)) + -0.005555555555555556) / (math.pi + -1.0))) * (angle_m * a)
	tmp = 0
	if a <= 4e-102:
		tmp = b * b
	else:
		tmp = (b * b) + (t_0 * t_0)
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	t_0 = Float64(Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(Float64(0.005555555555555556 * Float64(pi * pi)) + -0.005555555555555556) / Float64(pi + -1.0))) * Float64(angle_m * a))
	tmp = 0.0
	if (a <= 4e-102)
		tmp = Float64(b * b);
	else
		tmp = Float64(Float64(b * b) + Float64(t_0 * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	t_0 = (-0.005555555555555556 + (((0.005555555555555556 * (pi * pi)) + -0.005555555555555556) / (pi + -1.0))) * (angle_m * a);
	tmp = 0.0;
	if (a <= 4e-102)
		tmp = b * b;
	else
		tmp = (b * b) + (t_0 * t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(N[(0.005555555555555556 * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] / N[(Pi + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(angle$95$m * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a, 4e-102], N[(b * b), $MachinePrecision], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 3.99999999999999973e-102

   1. Initial program 79.8%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{b} \]

      2. *-lowering-*.f64 59.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right) \]

   5. Simplified 59.3%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b} \]

   if 3.99999999999999973e-102 < a

   1. Initial program 77.7%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 78.6%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{180}{angle}} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      3. *-un-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      4. expm1-log1p-u N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      5. expm1-undefine N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)} - 1}{\frac{180}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      6. log1p-undefine N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{e^{\log \left(1 + \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - 1}{\frac{180}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{e^{\log \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right)} - 1}{\frac{180}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      8. rem-exp-log N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right) - 1}{\frac{180}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      9. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) + 1}{\frac{180}{angle}} - \frac{1}{\frac{180}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      10. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) + 1}{\frac{180}{angle}} - \frac{1}{180 \cdot \frac{1}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      11. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) + 1}{\frac{180}{angle}} - \frac{\frac{1}{180}}{\frac{1}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) + 1}{\frac{180}{angle}} - \frac{\frac{1}{180}}{\frac{1}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      13. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right) \cdot \frac{1}{\frac{180}{angle}} - \frac{\frac{1}{180}}{\frac{1}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      14. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 1 \cdot 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} \cdot \frac{1}{\frac{180}{angle}} - \frac{\frac{1}{180}}{\frac{1}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      15. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 1 \cdot 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} \cdot \frac{angle}{180} - \frac{\frac{1}{180}}{\frac{1}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      16. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{angle}{180}}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{\frac{1}{180}}{\frac{1}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      17. frac-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{angle}{180}\right) \cdot \frac{1}{angle} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) - 1\right) \cdot \frac{1}{180}}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) - 1\right) \cdot \frac{1}{angle}}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 78.6%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \color{blue}{\left(\frac{\left(\left(\pi \cdot \pi + -1\right) \cdot \frac{angle}{180}\right) \cdot \frac{1}{angle} - \left(\pi + -1\right) \cdot 0.005555555555555556}{\left(\pi + -1\right) \cdot \frac{1}{angle}}\right)}\right)}^{2} + {\left(b \cdot 1\right)}^{2} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2}\right) + {b}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({angle}^{2} \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2}\right) \cdot {a}^{2} + {\color{blue}{b}}^{2} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {angle}^{2} \cdot \left({\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2} \cdot {a}^{2}\right) + {\color{blue}{b}}^{2} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {angle}^{2} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2}\right) + {b}^{2} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto {b}^{2} + \color{blue}{{angle}^{2} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2}\right)} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \color{blue}{\left({angle}^{2} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\color{blue}{{angle}^{2}} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\color{blue}{{angle}^{2}} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(\color{blue}{{a}^{2}} \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) - 1} - \frac{1}{180}\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 74.2%

       \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b + \left(\left(\frac{0.005555555555555556 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -0.005555555555555556}{\pi + -1} + -0.005555555555555556\right) \cdot \left(a \cdot angle\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{0.005555555555555556 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -0.005555555555555556}{\pi + -1} + -0.005555555555555556\right) \cdot \left(a \cdot angle\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 4 \cdot 10^{-102}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + \left(\left(-0.005555555555555556 + \frac{0.005555555555555556 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -0.005555555555555556}{\pi + -1}\right) \cdot \left(angle \cdot a\right)\right) \cdot \left(\left(-0.005555555555555556 + \frac{0.005555555555555556 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -0.005555555555555556}{\pi + -1}\right) \cdot \left(angle \cdot a\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 65.5% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.36 \cdot 10^{-102}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{elif}\;a \leq 4.5 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + \left(a \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle\_m \cdot angle\_m\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(angle\_m \cdot \left(angle\_m \cdot a\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (if (<= a 1.36e-102)
   (* b b)
   (if (<= a 4.5e+153)
     (+
      (* b b)
      (* (* a (* a (* PI PI))) (* 3.08641975308642e-5 (* angle_m angle_m))))
     (* (* angle_m (* angle_m a)) (* a (* (* PI PI) 3.08641975308642e-5))))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 1.36e-102) {
		tmp = b * b;
	} else if (a <= 4.5e+153) {
		tmp = (b * b) + ((a * (a * (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * angle_m)));
	} else {
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 3.08641975308642e-5));
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 1.36e-102) {
		tmp = b * b;
	} else if (a <= 4.5e+153) {
		tmp = (b * b) + ((a * (a * (Math.PI * Math.PI))) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * angle_m)));
	} else {
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((Math.PI * Math.PI) * 3.08641975308642e-5));
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	tmp = 0
	if a <= 1.36e-102:
		tmp = b * b
	elif a <= 4.5e+153:
		tmp = (b * b) + ((a * (a * (math.pi * math.pi))) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * angle_m)))
	else:
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((math.pi * math.pi) * 3.08641975308642e-5))
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0
	if (a <= 1.36e-102)
		tmp = Float64(b * b);
	elseif (a <= 4.5e+153)
		tmp = Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(a * Float64(a * Float64(pi * pi))) * Float64(3.08641975308642e-5 * Float64(angle_m * angle_m))));
	else
		tmp = Float64(Float64(angle_m * Float64(angle_m * a)) * Float64(a * Float64(Float64(pi * pi) * 3.08641975308642e-5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 1.36e-102)
		tmp = b * b;
	elseif (a <= 4.5e+153)
		tmp = (b * b) + ((a * (a * (pi * pi))) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * angle_m)));
	else
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((pi * pi) * 3.08641975308642e-5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := If[LessEqual[a, 1.36e-102], N[(b * b), $MachinePrecision], If[LessEqual[a, 4.5e+153], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(a * N[(a * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(3.08641975308642e-5 * N[(angle$95$m * angle$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(angle$95$m * N[(angle$95$m * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 3.08641975308642e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 1.36000000000000001e-102

   1. Initial program 79.8%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{b} \]

      2. *-lowering-*.f64 59.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right) \]

   5. Simplified 59.3%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b} \]

   if 1.36000000000000001e-102 < a < 4.5000000000000001e153

   1. Initial program 64.6%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 66.2%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]

   6. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + {b}^{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {angle}^{2}\right)\right) + {b}^{2} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {angle}^{2}\right) + {b}^{2} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {angle}^{2} + {\color{blue}{b}}^{2} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto {b}^{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {angle}^{2}} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {angle}^{2}\right)}\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot {\color{blue}{angle}}^{2}\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 59.1%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b + \left(a \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right)} \]

   if 4.5000000000000001e153 < a

   1. Initial program 99.8%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\color{blue}{\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}^{2}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(\color{blue}{b} \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      9. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot {\color{blue}{angle}}^{2} \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)} \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)}\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \color{blue}{\left({angle}^{2}\right)}\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \left(angle \cdot \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 69.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 69.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot angle\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(angle \cdot angle\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot angle\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 72.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 72.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(angle \cdot angle\right) \cdot a\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(angle \cdot angle\right) \cdot a\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot \left(angle \cdot a\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot \left(a \cdot angle\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot angle\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(angle \cdot a\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       9. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\frac{1}{180}}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

       11. unpow-prod-down N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

       15. unpow-prod-down N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\frac{1}{180}}^{2}}\right)\right)\right) \]

       16. pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\color{blue}{\frac{1}{180}}}^{2}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       20. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       21. PI-lowering-PI.f64 76.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 76.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(angle \cdot \left(angle \cdot a\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 65.5% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.72 \cdot 10^{-102}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{elif}\;a \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle\_m \cdot \left(angle\_m \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(angle\_m \cdot \left(angle\_m \cdot a\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (if (<= a 1.72e-102)
   (* b b)
   (if (<= a 1.32e+154)
     (+
      (* b b)
      (* (* a a) (* 3.08641975308642e-5 (* angle_m (* angle_m (* PI PI))))))
     (* (* angle_m (* angle_m a)) (* a (* (* PI PI) 3.08641975308642e-5))))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 1.72e-102) {
		tmp = b * b;
	} else if (a <= 1.32e+154) {
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * (angle_m * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))))));
	} else {
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 3.08641975308642e-5));
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 1.72e-102) {
		tmp = b * b;
	} else if (a <= 1.32e+154) {
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * (angle_m * (Math.PI * Math.PI)))));
	} else {
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((Math.PI * Math.PI) * 3.08641975308642e-5));
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	tmp = 0
	if a <= 1.72e-102:
		tmp = b * b
	elif a <= 1.32e+154:
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * (angle_m * (math.pi * math.pi)))))
	else:
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((math.pi * math.pi) * 3.08641975308642e-5))
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0
	if (a <= 1.72e-102)
		tmp = Float64(b * b);
	elseif (a <= 1.32e+154)
		tmp = Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(a * a) * Float64(3.08641975308642e-5 * Float64(angle_m * Float64(angle_m * Float64(pi * pi))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(angle_m * Float64(angle_m * a)) * Float64(a * Float64(Float64(pi * pi) * 3.08641975308642e-5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 1.72e-102)
		tmp = b * b;
	elseif (a <= 1.32e+154)
		tmp = (b * b) + ((a * a) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * (angle_m * (pi * pi)))));
	else
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((pi * pi) * 3.08641975308642e-5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := If[LessEqual[a, 1.72e-102], N[(b * b), $MachinePrecision], If[LessEqual[a, 1.32e+154], N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * N[(3.08641975308642e-5 * N[(angle$95$m * N[(angle$95$m * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(angle$95$m * N[(angle$95$m * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 3.08641975308642e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 1.72000000000000009e-102

   1. Initial program 79.8%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{b} \]

      2. *-lowering-*.f64 59.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right) \]

   5. Simplified 59.3%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b} \]

   if 1.72000000000000009e-102 < a < 1.31999999999999998e154

   1. Initial program 64.6%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(angle, 180\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{1}\right), 2\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 66.2%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \color{blue}{1}\right)}^{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right) \cdot a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{b}, 1\right), 2\right)\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      5. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \frac{1}{180}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      11. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{angle}{180}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{180}{angle}}\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\frac{180}{angle}\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 66.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(180, angle\right)\right)\right), a\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 1\right), 2\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 66.2%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\pi}{\frac{180}{angle}}\right) \cdot a\right)}}^{2} + {\left(b \cdot 1\right)}^{2} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + {b}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {angle}^{2}\right)\right) + {b}^{2} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {angle}^{2}\right) + {b}^{2} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {angle}^{2} + {\color{blue}{b}}^{2} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto {b}^{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {angle}^{2}} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {angle}^{2}\right)}\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot \color{blue}{\left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {angle}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {angle}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left({a}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2}\right), \color{blue}{\left(\left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot a\right), \left(\color{blue}{\left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \left(\color{blue}{\left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, a\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.1%

       \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(\left(angle \cdot \left(angle \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)} \]

   if 1.31999999999999998e154 < a

   1. Initial program 99.8%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\color{blue}{\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}^{2}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(\color{blue}{b} \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      9. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot {\color{blue}{angle}}^{2} \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)} \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)}\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \color{blue}{\left({angle}^{2}\right)}\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \left(angle \cdot \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 69.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 69.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot angle\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(angle \cdot angle\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot angle\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 72.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 72.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(angle \cdot angle\right) \cdot a\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(angle \cdot angle\right) \cdot a\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot \left(angle \cdot a\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot \left(a \cdot angle\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot angle\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(angle \cdot a\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       9. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\frac{1}{180}}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

       11. unpow-prod-down N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

       15. unpow-prod-down N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\frac{1}{180}}^{2}}\right)\right)\right) \]

       16. pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\color{blue}{\frac{1}{180}}}^{2}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       20. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       21. PI-lowering-PI.f64 76.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 76.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(angle \cdot \left(angle \cdot a\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.72 \cdot 10^{-102}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{elif}\;a \leq 1.32 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle \cdot \left(angle \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(angle \cdot \left(angle \cdot a\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 63.7% accurate, 23.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.9 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(angle\_m \cdot \left(angle\_m \cdot a\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (if (<= a 1.9e+151)
   (* b b)
   (* (* angle_m (* angle_m a)) (* a (* (* PI PI) 3.08641975308642e-5)))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 1.9e+151) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 3.08641975308642e-5));
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 1.9e+151) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((Math.PI * Math.PI) * 3.08641975308642e-5));
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	tmp = 0
	if a <= 1.9e+151:
		tmp = b * b
	else:
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((math.pi * math.pi) * 3.08641975308642e-5))
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0
	if (a <= 1.9e+151)
		tmp = Float64(b * b);
	else
		tmp = Float64(Float64(angle_m * Float64(angle_m * a)) * Float64(a * Float64(Float64(pi * pi) * 3.08641975308642e-5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 1.9e+151)
		tmp = b * b;
	else
		tmp = (angle_m * (angle_m * a)) * (a * ((pi * pi) * 3.08641975308642e-5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := If[LessEqual[a, 1.9e+151], N[(b * b), $MachinePrecision], N[(N[(angle$95$m * N[(angle$95$m * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 3.08641975308642e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 1.9e151

   1. Initial program 76.5%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{b} \]

      2. *-lowering-*.f64 58.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right) \]

   5. Simplified 58.6%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b} \]

   if 1.9e151 < a

   1. Initial program 99.8%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\color{blue}{\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}^{2}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(\color{blue}{b} \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      9. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot {\color{blue}{angle}}^{2} \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)} \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)}\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \color{blue}{\left({angle}^{2}\right)}\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \left(angle \cdot \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 69.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 69.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot angle\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(angle \cdot angle\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot angle\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 72.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 72.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(angle \cdot angle\right) \cdot a\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(angle \cdot angle\right) \cdot a\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot \left(angle \cdot a\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot \left(a \cdot angle\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(a \cdot angle\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \left(angle \cdot a\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       9. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\frac{1}{180}}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

       11. unpow-prod-down N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot {\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \left(a \cdot {\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

       15. unpow-prod-down N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\frac{1}{180}}^{2}}\right)\right)\right) \]

       16. pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\color{blue}{\frac{1}{180}}}^{2}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       20. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       21. PI-lowering-PI.f64 76.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(angle, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 76.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(angle \cdot \left(angle \cdot a\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 61.7% accurate, 23.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.6 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(angle\_m \cdot angle\_m\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (if (<= a 1.6e+154)
   (* b b)
   (* (* angle_m angle_m) (* a (* (* a (* PI PI)) 3.08641975308642e-5)))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 1.6e+154) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (angle_m * angle_m) * (a * ((a * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) * 3.08641975308642e-5));
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 1.6e+154) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (angle_m * angle_m) * (a * ((a * (Math.PI * Math.PI)) * 3.08641975308642e-5));
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	tmp = 0
	if a <= 1.6e+154:
		tmp = b * b
	else:
		tmp = (angle_m * angle_m) * (a * ((a * (math.pi * math.pi)) * 3.08641975308642e-5))
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0
	if (a <= 1.6e+154)
		tmp = Float64(b * b);
	else
		tmp = Float64(Float64(angle_m * angle_m) * Float64(a * Float64(Float64(a * Float64(pi * pi)) * 3.08641975308642e-5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 1.6e+154)
		tmp = b * b;
	else
		tmp = (angle_m * angle_m) * (a * ((a * (pi * pi)) * 3.08641975308642e-5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := If[LessEqual[a, 1.6e+154], N[(b * b), $MachinePrecision], N[(N[(angle$95$m * angle$95$m), $MachinePrecision] * N[(a * N[(N[(a * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 3.08641975308642e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 1.6e154

   1. Initial program 76.6%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{b} \]

      2. *-lowering-*.f64 58.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right) \]

   5. Simplified 58.8%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b} \]

   if 1.6e154 < a

   1. Initial program 99.7%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\color{blue}{\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}^{2}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(\color{blue}{b} \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      9. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot {\color{blue}{angle}}^{2} \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)} \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)}\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \color{blue}{\left({angle}^{2}\right)}\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \left(angle \cdot \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 71.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 71.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot angle\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(angle \cdot angle\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(angle \cdot angle\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{32400}\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \left(a \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{32400}\right)}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{32400}}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f64 75.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{1}{32400}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 75.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(a \cdot \left(\left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 61.6% accurate, 23.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 4 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;b \cdot b\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle\_m \cdot angle\_m\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m)
 :precision binary64
 (if (<= a 4e+154)
   (* b b)
   (* (* a (* a (* PI PI))) (* 3.08641975308642e-5 (* angle_m angle_m)))))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 4e+154) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (a * (a * (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * angle_m));
	}
	return tmp;
}

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	double tmp;
	if (a <= 4e+154) {
		tmp = b * b;
	} else {
		tmp = (a * (a * (Math.PI * Math.PI))) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * angle_m));
	}
	return tmp;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	tmp = 0
	if a <= 4e+154:
		tmp = b * b
	else:
		tmp = (a * (a * (math.pi * math.pi))) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * angle_m))
	return tmp

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0
	if (a <= 4e+154)
		tmp = Float64(b * b);
	else
		tmp = Float64(Float64(a * Float64(a * Float64(pi * pi))) * Float64(3.08641975308642e-5 * Float64(angle_m * angle_m)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp_2 = code(a, b, angle_m)
	tmp = 0.0;
	if (a <= 4e+154)
		tmp = b * b;
	else
		tmp = (a * (a * (pi * pi))) * (3.08641975308642e-5 * (angle_m * angle_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := If[LessEqual[a, 4e+154], N[(b * b), $MachinePrecision], N[(N[(a * N[(a * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(3.08641975308642e-5 * N[(angle$95$m * angle$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 4.00000000000000015e154

   1. Initial program 76.6%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{b}^{2}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto b \cdot \color{blue}{b} \]

      2. *-lowering-*.f64 58.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right) \]

   5. Simplified 58.8%

      \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b} \]

   if 4.00000000000000015e154 < a

   1. Initial program 99.7%

      \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\color{blue}{\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}^{2}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(\color{blue}{b} \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{180}\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \left({\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right) \]

      9. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 180\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto {\left(a \cdot \color{blue}{\left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({angle}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{32400} \cdot \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{32400} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{{angle}^{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{32400}\right) \cdot {\color{blue}{angle}}^{2} \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)} \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)}\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(a \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{32400}} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{32400} \cdot {angle}^{2}\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \color{blue}{\left({angle}^{2}\right)}\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \left(angle \cdot \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 71.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{32400}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \color{blue}{angle}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 71.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 57.5% accurate, 139.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} angle_m = \left|angle\right| \\ b \cdot b \end{array} \]

FPCore

angle_m = (fabs.f64 angle)
(FPCore (a b angle_m) :precision binary64 (* b b))

C

angle_m = fabs(angle);
double code(double a, double b, double angle_m) {
	return b * b;
}

Fortran

angle_m = abs(angle)
real(8) function code(a, b, angle_m)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: angle_m
    code = b * b
end function

Java

angle_m = Math.abs(angle);
public static double code(double a, double b, double angle_m) {
	return b * b;
}

Python

angle_m = math.fabs(angle)
def code(a, b, angle_m):
	return b * b

Julia

angle_m = abs(angle)
function code(a, b, angle_m)
	return Float64(b * b)
end

MATLAB

angle_m = abs(angle);
function tmp = code(a, b, angle_m)
	tmp = b * b;
end

Wolfram

angle_m = N[Abs[angle], $MachinePrecision]
code[a_, b_, angle$95$m_] := N[(b * b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 79.1%

   \[{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{b}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto b \cdot \color{blue}{b} \]

   2. *-lowering-*.f64 55.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right) \]

5. Simplified 55.8%

   \[\leadsto \color{blue}{b \cdot b} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024160 
(FPCore (a b angle)
  :name "ab-angle->ABCF A"
  :precision binary64
  (+ (pow (* a (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)))