Trigonometry B

Percentage Accurate: 99.5% → 99.5%

Time: 10.5s

Alternatives: 6

Speedup: N/A×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_1 := \frac{0.5 + t\_0 \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot t\_0}\\ \frac{1 - t\_1}{1 + t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* x 2.0)))
        (t_1 (/ (+ 0.5 (* t_0 -0.5)) (+ 0.5 (* 0.5 t_0)))))
   (/ (- 1.0 t_1) (+ 1.0 t_1))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cos((x * 2.0));
	double t_1 = (0.5 + (t_0 * -0.5)) / (0.5 + (0.5 * t_0));
	return (1.0 - t_1) / (1.0 + t_1);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((x * 2.0d0))
    t_1 = (0.5d0 + (t_0 * (-0.5d0))) / (0.5d0 + (0.5d0 * t_0))
    code = (1.0d0 - t_1) / (1.0d0 + t_1)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cos((x * 2.0));
	double t_1 = (0.5 + (t_0 * -0.5)) / (0.5 + (0.5 * t_0));
	return (1.0 - t_1) / (1.0 + t_1);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.cos((x * 2.0))
	t_1 = (0.5 + (t_0 * -0.5)) / (0.5 + (0.5 * t_0))
	return (1.0 - t_1) / (1.0 + t_1)

Julia

function code(x)
	t_0 = cos(Float64(x * 2.0))
	t_1 = Float64(Float64(0.5 + Float64(t_0 * -0.5)) / Float64(0.5 + Float64(0.5 * t_0)))
	return Float64(Float64(1.0 - t_1) / Float64(1.0 + t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = cos((x * 2.0));
	t_1 = (0.5 + (t_0 * -0.5)) / (0.5 + (0.5 * t_0));
	tmp = (1.0 - t_1) / (1.0 + t_1);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(0.5 + N[(t$95$0 * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.5 + N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\cos x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos x \cdot \cos x\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. sqr-sin-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{1}{\frac{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   4. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \left(2 \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(2 \cdot x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - \frac{1}{\frac{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}{1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \left(2 \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(2 \cdot x\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}}{1 + \frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right)}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 61.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(x \cdot 2\right)\\ t_1 := 0.5 + t\_0 \cdot -0.5\\ \frac{1 - \frac{t\_1}{0.5 + 0.5 \cdot t\_0}}{1 + t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* x 2.0))) (t_1 (+ 0.5 (* t_0 -0.5))))
   (/ (- 1.0 (/ t_1 (+ 0.5 (* 0.5 t_0)))) (+ 1.0 t_1))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cos((x * 2.0));
	double t_1 = 0.5 + (t_0 * -0.5);
	return (1.0 - (t_1 / (0.5 + (0.5 * t_0)))) / (1.0 + t_1);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((x * 2.0d0))
    t_1 = 0.5d0 + (t_0 * (-0.5d0))
    code = (1.0d0 - (t_1 / (0.5d0 + (0.5d0 * t_0)))) / (1.0d0 + t_1)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cos((x * 2.0));
	double t_1 = 0.5 + (t_0 * -0.5);
	return (1.0 - (t_1 / (0.5 + (0.5 * t_0)))) / (1.0 + t_1);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.cos((x * 2.0))
	t_1 = 0.5 + (t_0 * -0.5)
	return (1.0 - (t_1 / (0.5 + (0.5 * t_0)))) / (1.0 + t_1)

Julia

function code(x)
	t_0 = cos(Float64(x * 2.0))
	t_1 = Float64(0.5 + Float64(t_0 * -0.5))
	return Float64(Float64(1.0 - Float64(t_1 / Float64(0.5 + Float64(0.5 * t_0)))) / Float64(1.0 + t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = cos((x * 2.0));
	t_1 = 0.5 + (t_0 * -0.5);
	tmp = (1.0 - (t_1 / (0.5 + (0.5 * t_0)))) / (1.0 + t_1);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 + N[(t$95$0 * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - N[(t$95$1 / N[(0.5 + N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\cos x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\cos x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \sin x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos x \cdot \cos x\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\sin x \cdot \sin x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   12. sqr-sin-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{1}{\frac{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
5. Step-by-step derivation

   1. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   4. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \left(2 \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(2 \cdot x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \frac{1 - \frac{1}{\frac{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}{1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \left(2 \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(2 \cdot x\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}}{1 + \frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 61.3%

    \[\leadsto \frac{1 - \frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}{1 + \frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{\color{blue}{1}}} \]

13. Final simplification 61.3%

    \[\leadsto \frac{1 - \frac{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}{1 + \left(0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 61.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + \frac{1}{\frac{1}{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (- 1.0 (pow (tan x) 2.0))
  (+ 1.0 (/ 1.0 (/ 1.0 (+ 0.5 (* (cos (* x 2.0)) -0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 - pow(tan(x), 2.0)) / (1.0 + (1.0 / (1.0 / (0.5 + (cos((x * 2.0)) * -0.5)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 - (tan(x) ** 2.0d0)) / (1.0d0 + (1.0d0 / (1.0d0 / (0.5d0 + (cos((x * 2.0d0)) * (-0.5d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 - Math.pow(Math.tan(x), 2.0)) / (1.0 + (1.0 / (1.0 / (0.5 + (Math.cos((x * 2.0)) * -0.5)))));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 - math.pow(math.tan(x), 2.0)) / (1.0 + (1.0 / (1.0 / (0.5 + (math.cos((x * 2.0)) * -0.5)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 - (tan(x) ^ 2.0)) / Float64(1.0 + Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(0.5 + Float64(cos(Float64(x * 2.0)) * -0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 - (tan(x) ^ 2.0)) / (1.0 + (1.0 / (1.0 / (0.5 + (cos((x * 2.0)) * -0.5)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 - N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(1.0 / N[(1.0 / N[(0.5 + N[(N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right)}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \color{blue}{\tan x}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   3. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\color{blue}{\sin x}}{\cos x}\right)\right)\right) \]

   4. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x}\right)\right)\right) \]

   6. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}\right)\right)\right) \]

   8. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)}^{\color{blue}{-1}}\right)\right)\right) \]

   9. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)}^{-1}\right)\right)\right) \]

   10. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}^{-1}\right)\right)\right) \]

   11. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)}^{-1} \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}^{-1}}\right)\right)\right) \]

   12. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)}^{-1} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)}^{-1}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}} \cdot \frac{1}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 61.3%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + \frac{1}{\frac{1}{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}} \cdot \frac{1}{\color{blue}{1}}} \]

10. Final simplification 61.3%

    \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + \frac{1}{\frac{1}{0.5 + \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 59.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - {\tan x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (pow (tan x) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - pow(tan(x), 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - (tan(x) ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.pow(math.tan(x), 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - (tan(x) ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - (tan(x) ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right)}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 59.4%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{1}} \]

8. Final simplification 59.4%

   \[\leadsto 1 - {\tan x}^{2} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 55.6% accurate, 411.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 55.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024160 
(FPCore (x)
  :name "Trigonometry B"
  :precision binary64
  (/ (- 1.0 (* (tan x) (tan x))) (+ 1.0 (* (tan x) (tan x)))))