math.sin on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 53.5% → 99.8%

Time: 14.0s

Alternatives: 25

Speedup: 34.3×

• 48.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.1:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.1)
      (* t_0 (* 0.5 (cos re)))
      (* (cos re) (* im_m (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.1) {
		tmp = t_0 * (0.5 * cos(re));
	} else {
		tmp = cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.1d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * cos(re))
    else
        tmp = cos(re) * (im_m * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.1) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.cos(re));
	} else {
		tmp = Math.cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.1:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.cos(re))
	else:
		tmp = math.cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.1)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * cos(re)));
	else
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.1)
		tmp = t_0 * (0.5 * cos(re));
	else
		tmp = cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.1], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im)) < -0.10000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.10000000000000001 < (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) - \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) - \cos re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} - \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) - im \cdot \cos re \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re - \color{blue}{im} \cdot \cos re \]

      11. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)}\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   5. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -0.1:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 96.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.072:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{1}{e^{im\_m}} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.072)
    (* (cos re) (* im_m (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))
    (if (<= im_m 1.2e+62)
      (*
       (- (/ 1.0 (exp im_m)) (exp im_m))
       (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* re (* re 0.020833333333333332)))))))
      (*
       im_m
       (*
        (cos re)
        (+
         -1.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.16666666666666666
           (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.072) {
		tmp = cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = ((1.0 / exp(im_m)) - exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * 0.020833333333333332))))));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.072d0) then
        tmp = cos(re) * (im_m * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
    else if (im_m <= 1.2d+62) then
        tmp = ((1.0d0 / exp(im_m)) - exp(im_m)) * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + (re * (re * 0.020833333333333332d0))))))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.072) {
		tmp = Math.cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = ((1.0 / Math.exp(im_m)) - Math.exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * 0.020833333333333332))))));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.072:
		tmp = math.cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))
	elif im_m <= 1.2e+62:
		tmp = ((1.0 / math.exp(im_m)) - math.exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * 0.020833333333333332))))))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.072)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))));
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 / exp(im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(re * Float64(re * 0.020833333333333332)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.072)
		tmp = cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = ((1.0 / exp(im_m)) - exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * 0.020833333333333332))))));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.072], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.2e+62], N[(N[(N[(1.0 / N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(re * N[(re * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.0719999999999999946

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) - \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) - \cos re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} - \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) - im \cdot \cos re \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re - \color{blue}{im} \cdot \cos re \]

      11. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)}\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   5. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 0.0719999999999999946 < im < 1.2e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{{re}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \frac{1}{48} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{{re}^{2}} \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) \cdot {re}^{2} \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{re}}^{2} \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot {re}^{2} \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot {re}^{2} \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {re}^{2} \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right) \cdot {re}^{2}\right)} \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)}\right) \]

   5. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.2e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.9% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 6.2:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.3 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + 0.020833333333333332 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 6.2)
    (*
     im_m
     (*
      (cos re)
      (+
       (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))
       (*
        (+ -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))
        (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))))))
    (if (<= im_m 1.3e+62)
      (*
       (- 1.0 (exp im_m))
       (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* 0.020833333333333332 (* re re)))))))
      (*
       im_m
       (*
        (cos re)
        (+
         -1.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.16666666666666666
           (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 6.2) {
		tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))));
	} else if (im_m <= 1.3e+62) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 6.2d0) then
        tmp = im_m * (cos(re) * (((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))) + (((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))))
    else if (im_m <= 1.3d+62) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + (0.020833333333333332d0 * (re * re))))))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 6.2) {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))));
	} else if (im_m <= 1.3e+62) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 6.2:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))))
	elif im_m <= 1.3e+62:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 6.2)
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))) + Float64(Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))))));
	elseif (im_m <= 1.3e+62)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(0.020833333333333332 * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 6.2)
		tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))));
	elseif (im_m <= 1.3e+62)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 6.2], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.3e+62], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(0.020833333333333332 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 6.20000000000000018

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   if 6.20000000000000018 < im < 1.29999999999999992e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{1440} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 48.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 93.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 93.2%

       \[\leadsto \left(1 - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)} \]

   if 1.29999999999999992e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.2:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.3 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + 0.020833333333333332 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.9% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 8.2:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.5 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + 0.020833333333333332 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 8.2)
    (*
     (* 0.5 (cos re))
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.016666666666666666
           (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
    (if (<= im_m 1.5e+62)
      (*
       (- 1.0 (exp im_m))
       (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* 0.020833333333333332 (* re re)))))))
      (*
       im_m
       (*
        (cos re)
        (+
         -1.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.16666666666666666
           (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 8.2) {
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else if (im_m <= 1.5e+62) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 8.2d0) then
        tmp = (0.5d0 * cos(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    else if (im_m <= 1.5d+62) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + (0.020833333333333332d0 * (re * re))))))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 8.2) {
		tmp = (0.5 * Math.cos(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else if (im_m <= 1.5e+62) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 8.2:
		tmp = (0.5 * math.cos(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))
	elif im_m <= 1.5e+62:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 8.2)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	elseif (im_m <= 1.5e+62)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(0.020833333333333332 * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 8.2)
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	elseif (im_m <= 1.5e+62)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 8.2], N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.5e+62], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(0.020833333333333332 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 8.1999999999999993

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 96.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   if 8.1999999999999993 < im < 1.5e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{1440} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 48.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 93.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 93.2%

       \[\leadsto \left(1 - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)} \]

   if 1.5e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 8.2:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.5 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + 0.020833333333333332 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.8% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 6.8:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.35 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + 0.020833333333333332 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (*
           (cos re)
           (+
            -1.0
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.16666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 6.8)
      t_0
      (if (<= im_m 1.35e+62)
        (*
         (- 1.0 (exp im_m))
         (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* 0.020833333333333332 (* re re)))))))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 6.8) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.35e+62) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    if (im_m <= 6.8d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 1.35d+62) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + (0.020833333333333332d0 * (re * re))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 6.8) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.35e+62) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 6.8:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 1.35e+62:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 6.8)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.35e+62)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(0.020833333333333332 * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 6.8)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.35e+62)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (0.020833333333333332 * (re * re))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 6.8], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 1.35e+62], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(0.020833333333333332 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 6.79999999999999982 or 1.35e62 < im

   1. Initial program 45.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 6.79999999999999982 < im < 1.35e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{1440} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 48.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 48.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 93.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 93.2%

       \[\leadsto \left(1 - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.8:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + 0.020833333333333332 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.8% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 4.6:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;0.5 + e^{im\_m} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (*
           (cos re)
           (+
            -1.0
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.16666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 4.6)
      t_0
      (if (<= im_m 1.2e+62) (+ 0.5 (* (exp im_m) -0.5)) t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 4.6) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = 0.5 + (exp(im_m) * -0.5);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    if (im_m <= 4.6d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 1.2d+62) then
        tmp = 0.5d0 + (exp(im_m) * (-0.5d0))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 4.6) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = 0.5 + (Math.exp(im_m) * -0.5);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 4.6:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 1.2e+62:
		tmp = 0.5 + (math.exp(im_m) * -0.5)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4.6)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = Float64(0.5 + Float64(exp(im_m) * -0.5));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4.6)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = 0.5 + (exp(im_m) * -0.5);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4.6], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 1.2e+62], N[(0.5 + N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.5999999999999996 or 1.2e62 < im

   1. Initial program 45.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 4.5999999999999996 < im < 1.2e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 92.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 92.8%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.6:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;0.5 + e^{im} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 94.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.8:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.05 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;0.5 + e^{im\_m} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (cos re)
          (* im_m (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 2.8)
      t_0
      (if (<= im_m 1.05e+103) (+ 0.5 (* (exp im_m) -0.5)) t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	double tmp;
	if (im_m <= 2.8) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.05e+103) {
		tmp = 0.5 + (exp(im_m) * -0.5);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(re) * (im_m * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
    if (im_m <= 2.8d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 1.05d+103) then
        tmp = 0.5d0 + (exp(im_m) * (-0.5d0))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	double tmp;
	if (im_m <= 2.8) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.05e+103) {
		tmp = 0.5 + (Math.exp(im_m) * -0.5);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))
	tmp = 0
	if im_m <= 2.8:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 1.05e+103:
		tmp = 0.5 + (math.exp(im_m) * -0.5)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(cos(re) * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.8)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.05e+103)
		tmp = Float64(0.5 + Float64(exp(im_m) * -0.5));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = cos(re) * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.8)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.05e+103)
		tmp = 0.5 + (exp(im_m) * -0.5);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.8], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 1.05e+103], N[(0.5 + N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.7999999999999998 or 1.0500000000000001e103 < im

   1. Initial program 44.1%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) - \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) - \cos re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} - \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) - im \cdot \cos re \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re - \color{blue}{im} \cdot \cos re \]

      11. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)}\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   5. Simplified 94.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 2.7999999999999998 < im < 1.0500000000000001e103

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 87.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 87.6%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.8:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.05 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;0.5 + e^{im} \cdot -0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 86.3% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.4:\\ \;\;\;\;0 - im\_m \cdot \cos re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 + e^{im\_m} \cdot -0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 2.4) (- 0.0 (* im_m (cos re))) (+ 0.5 (* (exp im_m) -0.5)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.4) {
		tmp = 0.0 - (im_m * cos(re));
	} else {
		tmp = 0.5 + (exp(im_m) * -0.5);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 2.4d0) then
        tmp = 0.0d0 - (im_m * cos(re))
    else
        tmp = 0.5d0 + (exp(im_m) * (-0.5d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.4) {
		tmp = 0.0 - (im_m * Math.cos(re));
	} else {
		tmp = 0.5 + (Math.exp(im_m) * -0.5);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 2.4:
		tmp = 0.0 - (im_m * math.cos(re))
	else:
		tmp = 0.5 + (math.exp(im_m) * -0.5)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.4)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(im_m * cos(re)));
	else
		tmp = Float64(0.5 + Float64(exp(im_m) * -0.5));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.4)
		tmp = 0.0 - (im_m * cos(re));
	else
		tmp = 0.5 + (exp(im_m) * -0.5);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.4], N[(0.0 - N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 + N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.39999999999999991

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 74.2%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 74.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \cos re\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 74.2%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 74.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \cos re} \]

   if 2.39999999999999991 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 80.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 80.9%

      \[\leadsto e^{im} \cdot -0.5 + \color{blue}{0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.4:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \cos re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 + e^{im} \cdot -0.5\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 82.6% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.00046:\\ \;\;\;\;0 - im\_m \cdot \cos re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right) + 1\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.00046)
    (- 0.0 (* im_m (cos re)))
    (*
     im_m
     (*
      (+
       (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))
       (*
        (+ -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))
        (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))))
      (+ (* 0.041666666666666664 (* (* re re) (* re re))) 1.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.00046) {
		tmp = 0.0 - (im_m * cos(re));
	} else {
		tmp = im_m * (((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.00046d0) then
        tmp = 0.0d0 - (im_m * cos(re))
    else
        tmp = im_m * ((((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))) + (((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664d0 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.00046) {
		tmp = 0.0 - (im_m * Math.cos(re));
	} else {
		tmp = im_m * (((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.00046:
		tmp = 0.0 - (im_m * math.cos(re))
	else:
		tmp = im_m * (((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.00046)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(im_m * cos(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))) + Float64(Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))))) * Float64(Float64(0.041666666666666664 * Float64(Float64(re * re) * Float64(re * re))) + 1.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.00046)
		tmp = 0.0 - (im_m * cos(re));
	else
		tmp = im_m * (((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.00046], N[(0.0 - N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.041666666666666664 * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.6000000000000001e-4

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 74.2%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 74.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \cos re\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 74.2%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 74.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \cos re} \]

   if 4.6000000000000001e-4 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 70.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 70.6%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{4}\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 70.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 70.6%

       \[\leadsto im \cdot \left(\left(1 + \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.00046:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \cos re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right) + 1\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 60.8% accurate, 6.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\frac{im\_m \cdot \left(1 - t\_0 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\right)\right)}{-1 - im\_m \cdot t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 2e+53)
      (/ (* im_m (- 1.0 (* t_0 (* (* im_m im_m) t_0)))) (- -1.0 (* im_m t_0)))
      (*
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
       (+
        0.5
        (*
         re
         (*
          re
          (+
           -0.25
           (*
            re
            (*
             re
             (+
              0.020833333333333332
              (* (* re re) -0.0006944444444444445)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333));
	double tmp;
	if (im_m <= 2e+53) {
		tmp = (im_m * (1.0 - (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0)))) / (-1.0 - (im_m * t_0));
	} else {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * (0.020833333333333332 + ((re * re) * -0.0006944444444444445))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))
    if (im_m <= 2d+53) then
        tmp = (im_m * (1.0d0 - (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0)))) / ((-1.0d0) - (im_m * t_0))
    else
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))) * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + (re * (re * (0.020833333333333332d0 + ((re * re) * (-0.0006944444444444445d0)))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333));
	double tmp;
	if (im_m <= 2e+53) {
		tmp = (im_m * (1.0 - (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0)))) / (-1.0 - (im_m * t_0));
	} else {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * (0.020833333333333332 + ((re * re) * -0.0006944444444444445))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))
	tmp = 0
	if im_m <= 2e+53:
		tmp = (im_m * (1.0 - (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0)))) / (-1.0 - (im_m * t_0))
	else:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * (0.020833333333333332 + ((re * re) * -0.0006944444444444445))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2e+53)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(1.0 - Float64(t_0 * Float64(Float64(im_m * im_m) * t_0)))) / Float64(-1.0 - Float64(im_m * t_0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.020833333333333332 + Float64(Float64(re * re) * -0.0006944444444444445)))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2e+53)
		tmp = (im_m * (1.0 - (t_0 * ((im_m * im_m) * t_0)))) / (-1.0 - (im_m * t_0));
	else
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * (0.020833333333333332 + ((re * re) * -0.0006944444444444445))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2e+53], N[(N[(im$95$m * N[(1.0 - N[(t$95$0 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(-1.0 - N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(re * N[(re * N[(0.020833333333333332 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.0006944444444444445), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2e53

   1. Initial program 39.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 56.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 56.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{-1 \cdot -1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)}{-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \cdot im \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(-1 \cdot -1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \cdot im}{\color{blue}{-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot -1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 45.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im}{-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}} \]

   if 2e53 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{1440} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 52.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \left(1 - \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)}{-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 61.2% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.014:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right) + 1\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.014)
    (-
     (*
      (* im_m im_m)
      (*
       im_m
       (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))
     im_m)
    (*
     im_m
     (*
      (+
       (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))
       (*
        (+ -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))
        (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))))
      (+ (* 0.041666666666666664 (* (* re re) (* re re))) 1.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.014) {
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.014d0) then
        tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))) - im_m
    else
        tmp = im_m * ((((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))) + (((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664d0 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.014) {
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.014:
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m
	else:
		tmp = im_m * (((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.014)
		tmp = Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m);
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))) + Float64(Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))))) * Float64(Float64(0.041666666666666664 * Float64(Float64(re * re) * Float64(re * re))) + 1.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.014)
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	else
		tmp = im_m * (((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))) * ((0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) + 1.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.014], N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.041666666666666664 * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.0140000000000000003

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 62.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)} \cdot im \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \left(0 - im\right) + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)} \cdot im \]

      4. associate-+l- N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{\left(im - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)}\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 62.2%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 62.2%

       \[\leadsto \color{blue}{0 - \left(im - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.0140000000000000003 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 70.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 70.6%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{4}\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 70.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 70.6%

       \[\leadsto im \cdot \left(\left(1 + \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.014:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right) + 1\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 61.2% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.033:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.033)
    (-
     (*
      (* im_m im_m)
      (*
       im_m
       (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))
     im_m)
    (*
     (+ 0.5 (* re (* re (+ -0.25 (* re (* re 0.020833333333333332))))))
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.033) {
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	} else {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * 0.020833333333333332)))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.033d0) then
        tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))) - im_m
    else
        tmp = (0.5d0 + (re * (re * ((-0.25d0) + (re * (re * 0.020833333333333332d0)))))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.033) {
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	} else {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * 0.020833333333333332)))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.033:
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m
	else:
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * 0.020833333333333332)))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.033)
		tmp = Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(re * Float64(re * 0.020833333333333332)))))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.033)
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	else
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.25 + (re * (re * 0.020833333333333332)))))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.033], N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(re * N[(re * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.033000000000000002

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 62.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)} \cdot im \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \left(0 - im\right) + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)} \cdot im \]

      4. associate-+l- N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{\left(im - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)}\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 62.2%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 62.2%

       \[\leadsto \color{blue}{0 - \left(im - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.033000000000000002 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{1440} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{48} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{48} \cdot re\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 70.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{1}{48}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot 0.020833333333333332\right)}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.033:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + re \cdot \left(re \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 61.1% accurate, 7.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 420:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) + t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+ -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 420.0)
      (*
       im_m
       (+
        (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))
        (* t_0 (* im_m (* im_m (* im_m im_m))))))
      (if (<= im_m 3.6e+44)
        (*
         im_m
         (*
          (+
           -1.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))
          (+ (* re (* re (+ -0.5 (* (* re re) 0.041666666666666664)))) 1.0)))
        (*
         im_m
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) t_0))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	double tmp;
	if (im_m <= 420.0) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	} else if (im_m <= 3.6e+44) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * t_0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))
    if (im_m <= 420.0d0) then
        tmp = im_m * (((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))))
    else if (im_m <= 3.6d+44) then
        tmp = im_m * (((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))) * ((re * (re * ((-0.5d0) + ((re * re) * 0.041666666666666664d0)))) + 1.0d0))
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * t_0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	double tmp;
	if (im_m <= 420.0) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	} else if (im_m <= 3.6e+44) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * t_0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)
	tmp = 0
	if im_m <= 420.0:
		tmp = im_m * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))))
	elif im_m <= 3.6e+44:
		tmp = im_m * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0))
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * t_0))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 420.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))) + Float64(t_0 * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))))));
	elseif (im_m <= 3.6e+44)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * Float64(Float64(re * Float64(re * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * t_0)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 420.0)
		tmp = im_m * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	elseif (im_m <= 3.6e+44)
		tmp = im_m * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0));
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * t_0))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 420.0], N[(im$95$m * N[(N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.6e+44], N[(im$95$m * N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(re * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 420

   1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 62.8%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   if 420 < im < 3.6e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 55.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.5%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   if 3.6e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 77.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 77.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 65.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 420:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 61.0% accurate, 8.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 500:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) + t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.4 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+ -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 500.0)
      (*
       im_m
       (+
        (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m)))
        (* t_0 (* im_m (* im_m (* im_m im_m))))))
      (if (<= im_m 3.4e+44)
        (*
         (* 0.041666666666666664 (* (* re re) (* re re)))
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.16666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))
        (*
         im_m
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) t_0))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	double tmp;
	if (im_m <= 500.0) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	} else if (im_m <= 3.4e+44) {
		tmp = (0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * t_0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))
    if (im_m <= 500.0d0) then
        tmp = im_m * (((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))))
    else if (im_m <= 3.4d+44) then
        tmp = (0.041666666666666664d0 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * t_0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	double tmp;
	if (im_m <= 500.0) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	} else if (im_m <= 3.4e+44) {
		tmp = (0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * t_0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)
	tmp = 0
	if im_m <= 500.0:
		tmp = im_m * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))))
	elif im_m <= 3.4e+44:
		tmp = (0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * t_0))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 500.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))) + Float64(t_0 * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))))));
	elseif (im_m <= 3.4e+44)
		tmp = Float64(Float64(0.041666666666666664 * Float64(Float64(re * re) * Float64(re * re))) * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * t_0)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 500.0)
		tmp = im_m * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))) + (t_0 * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))));
	elseif (im_m <= 3.4e+44)
		tmp = (0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * t_0))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 500.0], N[(im$95$m * N[(N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.4e+44], N[(N[(0.041666666666666664 * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 500

   1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 62.8%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   if 500 < im < 3.4e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 55.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.5%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot \left({re}^{4} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{{re}^{4}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \frac{1}{24} \cdot \left(\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right) \cdot \color{blue}{{re}^{4}}\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{{re}^{4}} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto {re}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right)} \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({re}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{4}\right) \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{4}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)}\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{4}\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       10. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 54.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 3.4e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 77.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 77.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 65.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 500:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.4 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 61.0% accurate, 8.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 680:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.16666666666666666
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.008333333333333333
               (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 680.0)
      t_0
      (if (<= im_m 3.6e+44)
        (*
         (* 0.041666666666666664 (* (* re re) (* re re)))
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.16666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 680.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.6e+44) {
		tmp = (0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))
    if (im_m <= 680.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 3.6d+44) then
        tmp = (0.041666666666666664d0 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 680.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.6e+44) {
		tmp = (0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 680.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 3.6e+44:
		tmp = (0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 680.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.6e+44)
		tmp = Float64(Float64(0.041666666666666664 * Float64(Float64(re * re) * Float64(re * re))) * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 680.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.6e+44)
		tmp = (0.041666666666666664 * ((re * re) * (re * re))) * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 680.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 3.6e+44], N[(N[(0.041666666666666664 * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 680 or 3.6e44 < im

   1. Initial program 47.3%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 65.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 65.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} \]

   if 680 < im < 3.6e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 55.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.5%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot \left({re}^{4} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{{re}^{4}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \frac{1}{24} \cdot \left(\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right) \cdot \color{blue}{{re}^{4}}\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{{re}^{4}} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto {re}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right)} \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({re}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{4}\right) \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{4}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)}\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{4}\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       10. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 54.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 61.0% accurate, 9.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 410:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right) + 1\right) \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.16666666666666666
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.008333333333333333
               (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 410.0)
      t_0
      (if (<= im_m 3.6e+44)
        (*
         im_m
         (*
          (+ (* (* re re) (+ -0.5 (* (* re re) 0.041666666666666664))) 1.0)
          (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 410.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.6e+44) {
		tmp = im_m * ((((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))) + 1.0) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))
    if (im_m <= 410.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 3.6d+44) then
        tmp = im_m * ((((re * re) * ((-0.5d0) + ((re * re) * 0.041666666666666664d0))) + 1.0d0) * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 410.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.6e+44) {
		tmp = im_m * ((((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))) + 1.0) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 410.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 3.6e+44:
		tmp = im_m * ((((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))) + 1.0) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 410.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.6e+44)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * 0.041666666666666664))) + 1.0) * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 410.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.6e+44)
		tmp = im_m * ((((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))) + 1.0) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 410.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 3.6e+44], N[(im$95$m * N[(N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 410 or 3.6e44 < im

   1. Initial program 47.3%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 65.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 65.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} \]

   if 410 < im < 3.6e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 56.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 56.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 49.1%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664 + -0.5\right)\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 410:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right) + 1\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 59.4% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 450:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - im\_m\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.5 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.041666666666666664\right)\right) - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 450.0)
    (-
     (*
      (* im_m im_m)
      (*
       im_m
       (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))
     im_m)
    (if (<= im_m 5.5e+53)
      (- (* (* re re) (* im_m (* (* re re) -0.041666666666666664))) im_m)
      (*
       im_m
       (+ -1.0 (* -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 450.0) {
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	} else if (im_m <= 5.5e+53) {
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 450.0d0) then
        tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))) - im_m
    else if (im_m <= 5.5d+53) then
        tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * (-0.041666666666666664d0)))) - im_m
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((-0.008333333333333333d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 450.0) {
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	} else if (im_m <= 5.5e+53) {
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 450.0:
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m
	elif im_m <= 5.5e+53:
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 450.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m);
	elseif (im_m <= 5.5e+53)
		tmp = Float64(Float64(Float64(re * re) * Float64(im_m * Float64(Float64(re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m);
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.008333333333333333 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 450.0)
		tmp = ((im_m * im_m) * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) - im_m;
	elseif (im_m <= 5.5e+53)
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 450.0], N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5.5e+53], N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.008333333333333333 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 450

   1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 61.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)} \cdot im \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \left(0 - im\right) + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)} \cdot im \]

      4. associate-+l- N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{\left(im - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)}\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot im\right)}\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 61.6%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 61.6%

       \[\leadsto \color{blue}{0 - \left(im - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   if 450 < im < 5.49999999999999975e53

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot im\right)\right), im\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), im\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 46.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{2}\right)\right)\right), im\right) \]

   8. Simplified 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im \cdot 0.5\right) - im} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right), im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right)\right), im\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 46.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

   11. Simplified 46.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.041666666666666664\right)\right)} - im \]

   if 5.49999999999999975e53 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 72.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 72.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 72.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 62.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 450:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) - im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.5 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.041666666666666664\right)\right) - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 59.4% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 400:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.5 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.041666666666666664\right)\right) - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 400.0)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (*
        im_m
        (+ -0.16666666666666666 (* im_m (* im_m -0.008333333333333333)))))))
    (if (<= im_m 5.5e+53)
      (- (* (* re re) (* im_m (* (* re re) -0.041666666666666664))) im_m)
      (*
       im_m
       (+ -1.0 (* -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 400.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	} else if (im_m <= 5.5e+53) {
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 400.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333d0)))))))
    else if (im_m <= 5.5d+53) then
        tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * (-0.041666666666666664d0)))) - im_m
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((-0.008333333333333333d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 400.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	} else if (im_m <= 5.5e+53) {
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 400.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))))
	elif im_m <= 5.5e+53:
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 400.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.008333333333333333)))))));
	elseif (im_m <= 5.5e+53)
		tmp = Float64(Float64(Float64(re * re) * Float64(im_m * Float64(Float64(re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m);
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.008333333333333333 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 400.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333))))));
	elseif (im_m <= 5.5e+53)
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 400.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5.5e+53], N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.008333333333333333 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 400

   1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 61.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{120}\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 61.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{120}\right), im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 61.6%

       \[\leadsto im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot im}\right)\right)\right) \]

   if 400 < im < 5.49999999999999975e53

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot im\right)\right), im\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), im\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 46.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{2}\right)\right)\right), im\right) \]

   8. Simplified 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im \cdot 0.5\right) - im} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right), im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right)\right), im\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 46.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

   11. Simplified 46.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.041666666666666664\right)\right)} - im \]

   if 5.49999999999999975e53 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 72.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 72.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 72.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 62.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 400:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.5 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.041666666666666664\right)\right) - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 59.3% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 410:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.5 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.041666666666666664\right)\right) - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 410.0)
    (* im_m (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))
    (if (<= im_m 5.5e+53)
      (- (* (* re re) (* im_m (* (* re re) -0.041666666666666664))) im_m)
      (*
       im_m
       (+ -1.0 (* -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 410.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else if (im_m <= 5.5e+53) {
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 410.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))
    else if (im_m <= 5.5d+53) then
        tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * (-0.041666666666666664d0)))) - im_m
    else
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((-0.008333333333333333d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 410.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else if (im_m <= 5.5e+53) {
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 410.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))
	elif im_m <= 5.5e+53:
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m
	else:
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 410.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))));
	elseif (im_m <= 5.5e+53)
		tmp = Float64(Float64(Float64(re * re) * Float64(im_m * Float64(Float64(re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m);
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.008333333333333333 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 410.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	elseif (im_m <= 5.5e+53)
		tmp = ((re * re) * (im_m * ((re * re) * -0.041666666666666664))) - im_m;
	else
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 410.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5.5e+53], N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.008333333333333333 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 410

   1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 27.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 27.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 59.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 410 < im < 5.49999999999999975e53

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot im\right)\right), im\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), im\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 46.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{2}\right)\right)\right), im\right) \]

   8. Simplified 46.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im \cdot 0.5\right) - im} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right), im\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right)\right), im\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(im \cdot \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), im\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 46.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{24}\right)\right)\right), im\right) \]

   11. Simplified 46.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.041666666666666664\right)\right)} - im \]

   if 5.49999999999999975e53 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 72.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 72.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 72.2%

       \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 20: 59.8% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   im_m
   (+
    -1.0
    (*
     (* im_m im_m)
     (+
      -0.16666666666666666
      (*
       (* im_m im_m)
       (+
        -0.008333333333333333
        (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   12. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

   16. exp-lowering-exp.f64 41.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

5. Simplified 41.6%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

6. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f64 62.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 62.2%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 21: 57.9% accurate, 19.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5.0)
    (* im_m (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))
    (* im_m (* -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else {
		tmp = im_m * (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))
    else
        tmp = im_m * ((-0.008333333333333333d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else {
		tmp = im_m * (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))
	else:
		tmp = im_m * (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	else
		tmp = im_m * (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5

   1. Initial program 33.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 28.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 28.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 60.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 5 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 51.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{4}\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 51.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 51.8%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 22: 57.8% accurate, 23.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + -0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (* im_m (+ -1.0 (* -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * ((-1.0d0) + ((-0.008333333333333333d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.008333333333333333 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.008333333333333333 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.008333333333333333 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   10. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 88.7%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 59.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 59.5%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in im around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left({im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({\color{blue}{im}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 59.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 59.4%

    \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 23: 47.5% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{-32}:\\ \;\;\;\;0 - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{im\_m \cdot im\_m}{im\_m}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= im_m 2e-32) (- 0.0 im_m) (- 0.0 (/ (* im_m im_m) im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2e-32) {
		tmp = 0.0 - im_m;
	} else {
		tmp = 0.0 - ((im_m * im_m) / im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 2d-32) then
        tmp = 0.0d0 - im_m
    else
        tmp = 0.0d0 - ((im_m * im_m) / im_m)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2e-32) {
		tmp = 0.0 - im_m;
	} else {
		tmp = 0.0 - ((im_m * im_m) / im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 2e-32:
		tmp = 0.0 - im_m
	else:
		tmp = 0.0 - ((im_m * im_m) / im_m)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2e-32)
		tmp = Float64(0.0 - im_m);
	else
		tmp = Float64(0.0 - Float64(Float64(im_m * im_m) / im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2e-32)
		tmp = 0.0 - im_m;
	else
		tmp = 0.0 - ((im_m * im_m) / im_m);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2e-32], N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision], N[(0.0 - N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] / im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.00000000000000011e-32

   1. Initial program 33.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 73.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 73.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 44.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 44.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 44.3%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

   10. Applied egg-rr 44.3%

       \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

   if 2.00000000000000011e-32 < im

   1. Initial program 94.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 12.9%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 12.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 8.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 8.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{0 \cdot 0 - im \cdot im}{\color{blue}{0 + im}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot im}{0 + im} \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(im \cdot im\right)}{\color{blue}{0} + im} \]

      4. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(im \cdot im\right)}{im} \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      6. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 - im \cdot im\right), im\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(im \cdot im\right)\right), im\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 33.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right) \]

   10. Applied egg-rr 33.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - im \cdot im}{im}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 41.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2 \cdot 10^{-32}:\\ \;\;\;\;0 - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{im \cdot im}{im}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 53.7% accurate, 34.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (* im_m (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   12. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

   16. exp-lowering-exp.f64 41.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

5. Simplified 41.6%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

6. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 56.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 56.1%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 25: 30.7% accurate, 103.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(0 - im\_m\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (- 0.0 im_m)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - im_m);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (0.0d0 - im_m)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - im_m);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (0.0 - im_m)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(0.0 - im_m))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (0.0 - im_m);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

5. Simplified 56.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

   3. --lowering--.f64 34.2%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

8. Simplified 34.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 34.2%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

10. Applied egg-rr 34.2%

    \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

11. Final simplification 34.2%

    \[\leadsto 0 - im \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (cos re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(cos(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024160 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))