math.sin on complex, real part

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 11.9s

Alternatives: 25

Speedup: 1.5×

• 48.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathsf{fma}\left(t\_0, e^{im}, \frac{t\_0}{e^{im}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re)))) (fma t_0 (exp im) (/ t_0 (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	return fma(t_0, exp(im), (t_0 / exp(im)));
}

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	return fma(t_0, exp(im), Float64(t_0 / exp(im)))
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[Exp[im], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 / N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{im} + \color{blue}{e^{0 - im}}\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{im} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{0 - im}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{im} + e^{0 - im} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re, \color{blue}{e^{im}}, e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(e^{im}\right)}, \left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \sin re\right), \left(e^{\color{blue}{im}}\right), \left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(e^{im}\right), \left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   8. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{0 - im}\right)\right) \]

   10. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right) \]

   11. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{e^{im}}\right)\right) \]

   12. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \sin re}{e^{im}}\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right), \left(e^{im}\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \sin re\right), \left(e^{im}\right)\right)\right) \]

   15. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(e^{im}\right)\right)\right) \]

   16. exp-lowering-exp.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5 \cdot \sin re, e^{im}, \frac{0.5 \cdot \sin re}{e^{im}}\right)} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5 \cdot \sin re}{e^{im}} + \sin re \cdot \left(0.5 \cdot e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+ (/ (* 0.5 (sin re)) (exp im)) (* (sin re) (* 0.5 (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	return ((0.5 * sin(re)) / exp(im)) + (sin(re) * (0.5 * exp(im)));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = ((0.5d0 * sin(re)) / exp(im)) + (sin(re) * (0.5d0 * exp(im)))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return ((0.5 * Math.sin(re)) / Math.exp(im)) + (Math.sin(re) * (0.5 * Math.exp(im)));
}

Python

def code(re, im):
	return ((0.5 * math.sin(re)) / math.exp(im)) + (math.sin(re) * (0.5 * math.exp(im)))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(Float64(0.5 * sin(re)) / exp(im)) + Float64(sin(re) * Float64(0.5 * exp(im))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = ((0.5 * sin(re)) / exp(im)) + (sin(re) * (0.5 * exp(im)));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{0 - im}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   4. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   5. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \sin re}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \sin re\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{e^{im}}\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right)\right) \]

   17. exp-lowering-exp.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sin re}{e^{im}} + \sin re \cdot \left(0.5 \cdot e^{im}\right)} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin re \cdot \cosh im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (sin re) (cosh im)))

C

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * cosh(im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) * cosh(im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) * Math.cosh(im);
}

Python

def code(re, im):
	return math.sin(re) * math.cosh(im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * cosh(im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) * cosh(im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

   5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 78.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.075:\\ \;\;\;\;\frac{\sin re \cdot \left(1 - im \cdot \left(\left(im \cdot t\_0\right) \cdot t\_1\right)\right)}{1 - t\_1}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664)))
        (t_1 (* (* im im) t_0)))
   (if (<= im 0.075)
     (/ (* (sin re) (- 1.0 (* im (* (* im t_0) t_1)))) (- 1.0 t_1))
     (if (<= im 9.6e+49)
       (*
        (cosh im)
        (*
         re
         (+
          1.0
          (*
           (* re re)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             re
             (*
              re
              (+
               0.008333333333333333
               (* (* re re) -0.0001984126984126984)))))))))
       (*
        (* 0.5 (sin re))
        (+
         2.0
         (* (* im im) (* im (* 0.002777777777777778 (* im (* im im)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 0.075) {
		tmp = (sin(re) * (1.0 - (im * ((im * t_0) * t_1)))) / (1.0 - t_1);
	} else if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)
    t_1 = (im * im) * t_0
    if (im <= 0.075d0) then
        tmp = (sin(re) * (1.0d0 - (im * ((im * t_0) * t_1)))) / (1.0d0 - t_1)
    else if (im <= 9.6d+49) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.16666666666666666d0) + (re * (re * (0.008333333333333333d0 + ((re * re) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (2.0d0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778d0 * (im * (im * im))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 0.075) {
		tmp = (Math.sin(re) * (1.0 - (im * ((im * t_0) * t_1)))) / (1.0 - t_1);
	} else if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)
	t_1 = (im * im) * t_0
	tmp = 0
	if im <= 0.075:
		tmp = (math.sin(re) * (1.0 - (im * ((im * t_0) * t_1)))) / (1.0 - t_1)
	elif im <= 9.6e+49:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.075)
		tmp = Float64(Float64(sin(re) * Float64(1.0 - Float64(im * Float64(Float64(im * t_0) * t_1)))) / Float64(1.0 - t_1));
	elseif (im <= 9.6e+49)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * -0.0001984126984126984)))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(im * Float64(0.002777777777777778 * Float64(im * Float64(im * im)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664);
	t_1 = (im * im) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.075)
		tmp = (sin(re) * (1.0 - (im * ((im * t_0) * t_1)))) / (1.0 - t_1);
	elseif (im <= 9.6e+49)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.075], N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(im * N[(N[(im * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 9.6e+49], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(re * N[(re * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * N[(0.002777777777777778 * N[(im * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.0749999999999999972

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)} \cdot \sin \color{blue}{re} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \cdot \sin re}{\color{blue}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - im \cdot \left(\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right) \cdot \sin re}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)}} \]

   if 0.0749999999999999972 < im < 9.5999999999999999e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{6} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 77.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 77.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 9.5999999999999999e49 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360} + \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) + \frac{1}{12} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) + im \cdot \left(im \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{360} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{360}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{\color{blue}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \color{blue}{\left({im}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.1%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.075:\\ \;\;\;\;\frac{\sin re \cdot \left(1 - im \cdot \left(\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 87.0% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.041:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (if (<= im 0.041)
     (* t_0 (+ (* im im) 2.0))
     (if (<= im 9.6e+49)
       (*
        (cosh im)
        (*
         re
         (+
          1.0
          (*
           (* re re)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             re
             (*
              re
              (+
               0.008333333333333333
               (* (* re re) -0.0001984126984126984)))))))))
       (*
        t_0
        (+
         2.0
         (* (* im im) (* im (* 0.002777777777777778 (* im (* im im)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im <= 0.041) {
		tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = t_0 * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im <= 0.041d0) then
        tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0d0)
    else if (im <= 9.6d+49) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.16666666666666666d0) + (re * (re * (0.008333333333333333d0 + ((re * re) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else
        tmp = t_0 * (2.0d0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778d0 * (im * (im * im))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im <= 0.041) {
		tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = t_0 * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im <= 0.041:
		tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0)
	elif im <= 9.6e+49:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))))
	else:
		tmp = t_0 * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.041)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(im * im) + 2.0));
	elseif (im <= 9.6e+49)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * -0.0001984126984126984)))))))));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(im * Float64(0.002777777777777778 * Float64(im * Float64(im * im)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.041)
		tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0);
	elseif (im <= 9.6e+49)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	else
		tmp = t_0 * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.041], N[(t$95$0 * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 9.6e+49], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(re * N[(re * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * N[(0.002777777777777778 * N[(im * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.0410000000000000017

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 87.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 0.0410000000000000017 < im < 9.5999999999999999e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{6} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 77.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 77.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 9.5999999999999999e49 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360} + \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) + \frac{1}{12} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) + im \cdot \left(im \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{360} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{360}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{\color{blue}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \color{blue}{\left({im}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.1%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.041:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 86.9% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.0225:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (if (<= im 0.0225)
     (* t_0 (+ (* im im) 2.0))
     (if (<= im 9.6e+49)
       (* (cosh im) (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666)))))
       (*
        t_0
        (+
         2.0
         (* (* im im) (* im (* 0.002777777777777778 (* im (* im im)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im <= 0.0225) {
		tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = t_0 * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im <= 0.0225d0) then
        tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0d0)
    else if (im <= 9.6d+49) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0)))))
    else
        tmp = t_0 * (2.0d0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778d0 * (im * (im * im))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im <= 0.0225) {
		tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = t_0 * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im <= 0.0225:
		tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0)
	elif im <= 9.6e+49:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = t_0 * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.0225)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(im * im) + 2.0));
	elseif (im <= 9.6e+49)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(im * Float64(0.002777777777777778 * Float64(im * Float64(im * im)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.0225)
		tmp = t_0 * ((im * im) + 2.0);
	elseif (im <= 9.6e+49)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = t_0 * (2.0 + ((im * im) * (im * (0.002777777777777778 * (im * (im * im))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.0225], N[(t$95$0 * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 9.6e+49], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * N[(0.002777777777777778 * N[(im * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.022499999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 87.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 0.022499999999999999 < im < 9.5999999999999999e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 75.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 75.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 9.5999999999999999e49 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360} + \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) + \frac{1}{12} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) + im \cdot \left(im \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{360} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{360}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{\color{blue}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \color{blue}{\left({im}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.1%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0225:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 86.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.022:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 0.022)
   (* (* 0.5 (sin re)) (+ (* im im) 2.0))
   (if (<= im 2.6e+77)
     (* (cosh im) (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666)))))
     (* (sin re) (* im (* im (* im (* im 0.041666666666666664))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.022) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 0.022d0) then
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0d0)
    else if (im <= 2.6d+77) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0)))))
    else
        tmp = sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.022) {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 0.022:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * ((im * im) + 2.0)
	elif im <= 2.6e+77:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.022)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(im * im) + 2.0));
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(im * Float64(im * Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.022)
		tmp = (0.5 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 0.022], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.6e+77], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.021999999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 87.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 0.021999999999999999 < im < 2.6000000000000002e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 73.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 73.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 2.6000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{24}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.022:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 86.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.064:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 0.064)
   (* (* 0.5 (sin re)) (+ (* im im) 2.0))
   (if (<= im 2.6e+77)
     (* re (cosh im))
     (* (sin re) (* im (* im (* im (* im 0.041666666666666664))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.064) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 0.064d0) then
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0d0)
    else if (im <= 2.6d+77) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.064) {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 0.064:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * ((im * im) + 2.0)
	elif im <= 2.6e+77:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = math.sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.064)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(im * im) + 2.0));
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(im * Float64(im * Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.064)
		tmp = (0.5 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = sin(re) * (im * (im * (im * (im * 0.041666666666666664))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 0.064], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.6e+77], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.064000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 87.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 0.064000000000000001 < im < 2.6000000000000002e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 65.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 2.6000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{24}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.064:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 84.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.024:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (* im im) 2.0))))
   (if (<= im 0.024) t_0 (if (<= im 1.35e+154) (* re (cosh im)) t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	double tmp;
	if (im <= 0.024) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (0.5d0 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0d0)
    if (im <= 0.024d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 1.35d+154) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (0.5 * Math.sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	double tmp;
	if (im <= 0.024) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (0.5 * math.sin(re)) * ((im * im) + 2.0)
	tmp = 0
	if im <= 0.024:
		tmp = t_0
	elif im <= 1.35e+154:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(im * im) + 2.0))
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.024)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (0.5 * sin(re)) * ((im * im) + 2.0);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.024)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.024], t$95$0, If[LessEqual[im, 1.35e+154], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.024 or 1.35000000000000003e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 88.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 0.024 < im < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.024:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 69.8% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.00066:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 0.00066)
   (sin re)
   (if (<= im 1.8e+149)
     (* re (cosh im))
     (*
      (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
      (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.00066) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 1.8e+149) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 0.00066d0) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 1.8d+149) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.00066) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 1.8e+149) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 0.00066:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 1.8e+149:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.00066)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.8e+149)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.00066)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.8e+149)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 0.00066], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.8e+149], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 6.6e-4

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 73.4%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 73.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 6.6e-4 < im < 1.79999999999999997e149

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 1.79999999999999997e149 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im}\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 84.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 74.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.00066:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 68.4% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\\ t_1 := im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - t\_0\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.0022:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + t\_0\right)\right)\right) \cdot t\_1\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)}{2 + t\_1}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.5 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))
        (t_1 (* im (* im (- -1.0 t_0)))))
   (if (<= im 0.0022)
     (sin re)
     (if (<= im 9.6e+49)
       (/ (* (+ 4.0 (* (* im (* im (+ 1.0 t_0))) t_1)) (* 0.5 re)) (+ 2.0 t_1))
       (if (<= im 1.5e+149)
         (*
          re
          (+
           1.0
           (*
            im
            (*
             im
             (+
              0.5
              (*
               (* im im)
               (+
                0.041666666666666664
                (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
         (*
          (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
          (+
           1.0
           (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 0.0022) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (0.5 * re)) / (2.0 + t_1);
	} else if (im <= 1.5e+149) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))
    t_1 = im * (im * ((-1.0d0) - t_0))
    if (im <= 0.0022d0) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 9.6d+49) then
        tmp = ((4.0d0 + ((im * (im * (1.0d0 + t_0))) * t_1)) * (0.5d0 * re)) / (2.0d0 + t_1)
    else if (im <= 1.5d+149) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 0.0022) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (0.5 * re)) / (2.0 + t_1);
	} else if (im <= 1.5e+149) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0))
	tmp = 0
	if im <= 0.0022:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 9.6e+49:
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (0.5 * re)) / (2.0 + t_1)
	elif im <= 1.5e+149:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))
	t_1 = Float64(im * Float64(im * Float64(-1.0 - t_0)))
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.0022)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 9.6e+49)
		tmp = Float64(Float64(Float64(4.0 + Float64(Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + t_0))) * t_1)) * Float64(0.5 * re)) / Float64(2.0 + t_1));
	elseif (im <= 1.5e+149)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.0022)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 9.6e+49)
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (0.5 * re)) / (2.0 + t_1);
	elseif (im <= 1.5e+149)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im * N[(im * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.0022], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 9.6e+49], N[(N[(N[(4.0 + N[(N[(im * N[(im * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.5e+149], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 0.00220000000000000013

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 73.4%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 73.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 0.00220000000000000013 < im < 9.5999999999999999e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 4.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 8.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 8.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \frac{1}{2}\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \frac{1}{2}\right)}{\color{blue}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \color{blue}{\left(2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 48.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot 0.5\right)}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]

   if 9.5999999999999999e49 < im < 1.50000000000000002e149

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 85.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 85.7%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.50000000000000002e149 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im}\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 84.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 73.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0022:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)}{2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.5 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 45.8% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\\ t_1 := im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - t\_0\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + t\_0\right)\right)\right) \cdot t\_1\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)}{2 + t\_1}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))
        (t_1 (* im (* im (- -1.0 t_0)))))
   (if (<= im 9.6e+49)
     (/ (* (+ 4.0 (* (* im (* im (+ 1.0 t_0))) t_1)) (* 0.5 re)) (+ 2.0 t_1))
     (if (<= im 5e+149)
       (*
        re
        (+
         1.0
         (*
          im
          (*
           im
           (+
            0.5
            (*
             (* im im)
             (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
       (*
        (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
        (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (0.5 * re)) / (2.0 + t_1);
	} else if (im <= 5e+149) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))
    t_1 = im * (im * ((-1.0d0) - t_0))
    if (im <= 9.6d+49) then
        tmp = ((4.0d0 + ((im * (im * (1.0d0 + t_0))) * t_1)) * (0.5d0 * re)) / (2.0d0 + t_1)
    else if (im <= 5d+149) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (0.5 * re)) / (2.0 + t_1);
	} else if (im <= 5e+149) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0))
	tmp = 0
	if im <= 9.6e+49:
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (0.5 * re)) / (2.0 + t_1)
	elif im <= 5e+149:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))
	t_1 = Float64(im * Float64(im * Float64(-1.0 - t_0)))
	tmp = 0.0
	if (im <= 9.6e+49)
		tmp = Float64(Float64(Float64(4.0 + Float64(Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + t_0))) * t_1)) * Float64(0.5 * re)) / Float64(2.0 + t_1));
	elseif (im <= 5e+149)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 9.6e+49)
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (0.5 * re)) / (2.0 + t_1);
	elseif (im <= 5e+149)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im * N[(im * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 9.6e+49], N[(N[(N[(4.0 + N[(N[(im * N[(im * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 5e+149], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 9.5999999999999999e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 54.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \frac{1}{2}\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \frac{1}{2}\right)}{\color{blue}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \color{blue}{\left(2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 42.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot 0.5\right)}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]

   if 9.5999999999999999e49 < im < 4.9999999999999999e149

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 85.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 85.7%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   if 4.9999999999999999e149 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im}\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 84.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 50.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)}{2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 45.5% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right) - 4}{im \cdot t\_0 - 2}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+149}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im
          (+
           1.0
           (*
            (* im im)
            (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
   (if (<= im 9.6e+49)
     (* (* 0.5 re) (/ (- (* (* im im) (* t_0 t_0)) 4.0) (- (* im t_0) 2.0)))
     (if (<= im 1e+149)
       (*
        re
        (+
         1.0
         (*
          im
          (*
           im
           (+
            0.5
            (*
             (* im im)
             (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
       (*
        (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
        (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))));
	double tmp;
	if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = (0.5 * re) * ((((im * im) * (t_0 * t_0)) - 4.0) / ((im * t_0) - 2.0));
	} else if (im <= 1e+149) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im * (1.0d0 + ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))
    if (im <= 9.6d+49) then
        tmp = (0.5d0 * re) * ((((im * im) * (t_0 * t_0)) - 4.0d0) / ((im * t_0) - 2.0d0))
    else if (im <= 1d+149) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))));
	double tmp;
	if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = (0.5 * re) * ((((im * im) * (t_0 * t_0)) - 4.0) / ((im * t_0) - 2.0));
	} else if (im <= 1e+149) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = im * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))
	tmp = 0
	if im <= 9.6e+49:
		tmp = (0.5 * re) * ((((im * im) * (t_0 * t_0)) - 4.0) / ((im * t_0) - 2.0))
	elif im <= 1e+149:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(im * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 9.6e+49)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(t_0 * t_0)) - 4.0) / Float64(Float64(im * t_0) - 2.0)));
	elseif (im <= 1e+149)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = im * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 9.6e+49)
		tmp = (0.5 * re) * ((((im * im) * (t_0 * t_0)) - 4.0) / ((im * t_0) - 2.0));
	elseif (im <= 1e+149)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(im * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 9.6e+49], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(N[(im * t$95$0), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1e+149], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 9.5999999999999999e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 54.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{360}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{360}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 54.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 54.8%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(\left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\right)} \]

   13. Applied egg-rr 42.2%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778 + 0.08333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778 + 0.08333333333333333\right)\right)\right)\right) - 4}{im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778 + 0.08333333333333333\right)\right)\right) - 2}} \]

   if 9.5999999999999999e49 < im < 1.00000000000000005e149

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 85.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 85.7%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.00000000000000005e149 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im}\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 84.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 50.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+149}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 46.1% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_1\right)\right)}{1 - t\_1}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.5 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))
        (t_1 (* (* im im) t_0)))
   (if (<= im 9.6e+49)
     (*
      (* 0.5 re)
      (+ 2.0 (/ (* (* im im) (- 1.0 (* (* im im) (* t_0 t_1)))) (- 1.0 t_1))))
     (if (<= im 1.5e+150)
       (*
        re
        (+
         1.0
         (*
          im
          (*
           im
           (+
            0.5
            (*
             (* im im)
             (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
       (*
        (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
        (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (1.0 - t_1)));
	} else if (im <= 1.5e+150) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0)
    t_1 = (im * im) * t_0
    if (im <= 9.6d+49) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (2.0d0 + (((im * im) * (1.0d0 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (1.0d0 - t_1)))
    else if (im <= 1.5d+150) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 9.6e+49) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (1.0 - t_1)));
	} else if (im <= 1.5e+150) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)
	t_1 = (im * im) * t_0
	tmp = 0
	if im <= 9.6e+49:
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (1.0 - t_1)))
	elif im <= 1.5e+150:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im <= 9.6e+49)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 - Float64(Float64(im * im) * Float64(t_0 * t_1)))) / Float64(1.0 - t_1))));
	elseif (im <= 1.5e+150)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778);
	t_1 = (im * im) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 9.6e+49)
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (1.0 - t_1)));
	elseif (im <= 1.5e+150)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 9.6e+49], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.5e+150], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 9.5999999999999999e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 54.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)} \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{\color{blue}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 41.7%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)}}\right) \]

   if 9.5999999999999999e49 < im < 1.50000000000000006e150

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 85.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 85.7%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.50000000000000006e150 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im}\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 84.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 49.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 9.6 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.5 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 54.1% accurate, 9.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 9.2 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+147}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 9.2e+44)
   (*
    (+
     0.5
     (*
      re
      (*
       re
       (+
        -0.08333333333333333
        (*
         (* re re)
         (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5)))))))
    (* re (+ (* im im) 2.0)))
   (if (<= im 1e+147)
     (*
      re
      (+
       1.0
       (*
        im
        (*
         im
         (+
          0.5
          (*
           (* im im)
           (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
     (*
      (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
      (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 9.2e+44) {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	} else if (im <= 1e+147) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 9.2d+44) then
        tmp = (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5)))))))) * (re * ((im * im) + 2.0d0))
    else if (im <= 1d+147) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 9.2e+44) {
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	} else if (im <= 1e+147) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 9.2e+44:
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * (re * ((im * im) + 2.0))
	elif im <= 1e+147:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 9.2e+44)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * Float64(re * Float64(Float64(im * im) + 2.0)));
	elseif (im <= 1e+147)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 9.2e+44)
		tmp = (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * (re * ((im * im) + 2.0));
	elseif (im <= 1e+147)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 9.2e+44], N[(N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1e+147], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 9.20000000000000018e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) + \color{blue}{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) + \left(2 \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)} \]

       4. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot re + 2 \cdot re\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot re + 2 \cdot re\right)}\right) \]

   11. Simplified 52.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\right)} \]

   if 9.20000000000000018e44 < im < 9.9999999999999998e146

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 78.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 78.9%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   if 9.9999999999999998e146 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im}\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 84.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 58.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 9.2 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+147}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 56.8% accurate, 9.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 3 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
          (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))))))
   (if (<= im 3e+44)
     t_0
     (if (<= im 4e+150)
       (*
        re
        (+
         1.0
         (*
          im
          (*
           im
           (+
            0.5
            (*
             (* im im)
             (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
       t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	double tmp;
	if (im <= 3e+44) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 4e+150) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
    if (im <= 3d+44) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 4d+150) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	double tmp;
	if (im <= 3e+44) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 4e+150) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))
	tmp = 0
	if im <= 3e+44:
		tmp = t_0
	elif im <= 4e+150:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666)))) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 3e+44)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 4e+150)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3e+44)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 4e+150)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 3e+44], t$95$0, If[LessEqual[im, 4e+150], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.99999999999999987e44 or 3.99999999999999992e150 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 89.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 89.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 89.1%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im}\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 60.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right), im\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 60.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot im\right) \]

   if 2.99999999999999987e44 < im < 3.99999999999999992e150

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 87.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 78.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 78.9%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4 \cdot 10^{+150}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 57.9% accurate, 10.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* re (+ 0.5 (* (* re re) -0.08333333333333333)))
  (+
   2.0
   (*
    (* im im)
    (+
     1.0
     (*
      (* im im)
      (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (re * (0.5d0 + ((re * re) * (-0.08333333333333333d0)))) * (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
}

Python

def code(re, im):
	return (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.08333333333333333))) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 89.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 89.9%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 61.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 61.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 18: 57.8% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.7 \cdot 10^{+40}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 3.7e+40)
   (*
    re
    (+
     1.0
     (*
      im
      (*
       im
       (+
        0.5
        (*
         (* im im)
         (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
   (*
    re
    (+
     1.0
     (*
      (* re re)
      (+
       -0.16666666666666666
       (*
        (* re re)
        (+ 0.008333333333333333 (* (* re re) -0.0001984126984126984)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 3.7e+40) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 3.7d+40) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * (0.008333333333333333d0 + ((re * re) * (-0.0001984126984126984d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 3.7e+40) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 3.7e+40:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 3.7e+40)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * -0.0001984126984126984)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 3.7e+40)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 3.7e+40], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 3.7e40

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 76.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 70.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 70.6%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   if 3.7e40 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 58.2%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 58.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 26.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 26.7%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 19: 57.9% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  re
  (+
   1.0
   (*
    im
    (*
     im
     (+
      0.5
      (*
       (* im im)
       (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

   5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

7. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 64.9%

   \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

10. Taylor expanded in im around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 59.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 59.6%

    \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 20: 55.7% accurate, 20.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re + re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+ re (* re (* (* im im) (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))))

C

double code(double re, double im) {
	return re + (re * ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re + (re * ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re + (re * ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
}

Python

def code(re, im):
	return re + (re * ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re + Float64(re * Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re + (re * ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re + N[(re * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 89.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 89.9%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 59.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 59.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right) \cdot im\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{360}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{360}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 59.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right), im\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 59.6%

    \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(\left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\right)} \]

12. Taylor expanded in im around 0

    \[\leadsto \color{blue}{re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)}\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]

    3. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot re\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)}\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(\left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot re + {\color{blue}{im}}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

    7. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot re + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{re}\right)\right) \]

    8. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    10. distribute-lft-in N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    15. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 58.0%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 58.0%

    \[\leadsto \color{blue}{re + re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 21: 55.7% accurate, 20.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* re (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0)))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

   14. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

5. Simplified 87.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 58.0%

   \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 22: 48.8% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.6 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im + 2\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 2.6e+86)
   (* (+ (* im im) 2.0) (* 0.5 re))
   (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 2.6e+86) {
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 2.6d+86) then
        tmp = ((im * im) + 2.0d0) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 2.6e+86) {
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 2.6e+86:
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.6e+86)
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) + 2.0) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.6e+86)
		tmp = ((im * im) + 2.0) * (0.5 * re);
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 2.6e+86], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 2.5999999999999998e86

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 90.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 69.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 69.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 57.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 57.3%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 2.5999999999999998e86 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.0%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 25.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 25.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 25.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 25.2%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.6 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im + 2\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 31.5% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.6 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 2.6e+86) re (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 2.6e+86) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 2.6d+86) then
        tmp = re
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 2.6e+86) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 2.6e+86:
		tmp = re
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.6e+86)
		tmp = re;
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.6e+86)
		tmp = re;
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 2.6e+86], re, N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 2.5999999999999998e86

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 54.1%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 37.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]

   if 2.5999999999999998e86 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.0%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 25.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 25.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 25.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 25.2%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 24: 35.4% accurate, 34.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666)))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 55.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 37.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 37.7%

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{-1}{6}\right), \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 37.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right), re\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 37.7%

    \[\leadsto re \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot re}\right) \]

11. Final simplification 37.7%

    \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 25: 27.6% accurate, 309.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 re)

C

double code(double re, double im) {
	return re;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re;
}

Python

def code(re, im):
	return re

Julia

function code(re, im)
	return re
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re;
end

Wolfram

code[re_, im_] := re

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 55.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 30.9%

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024160 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, real part"
  :precision binary64
  (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))