Main:z from

Percentage Accurate: 91.5% → 98.9%

Time: 29.0s

Alternatives: 23

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 91.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ t_3 := \sqrt{1 + y}\\ t_4 := \left(t\_2 + \left(t\_3 - \sqrt{y}\right)\right) + \left(t\_1 - \sqrt{z}\right)\\ t_5 := \sqrt{1 + t}\\ \mathbf{if}\;t\_4 \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_4 \leq 2.00005:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + t\_3} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(t\_5 - \sqrt{t}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(t\_3 + \left(t\_1 + \frac{1}{t\_5 + \sqrt{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_2 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))
        (t_3 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_4 (+ (+ t_2 (- t_3 (sqrt y))) (- t_1 (sqrt z))))
        (t_5 (sqrt (+ 1.0 t))))
   (if (<= t_4 0.001)
     (+
      (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
      (+
       (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y)))))
       (* 0.0625 (sqrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))))
     (if (<= t_4 2.00005)
       (+
        t_2
        (+
         (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) t_3))
         (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) (- t_5 (sqrt t)))))
       (+
        1.0
        (-
         (+ t_3 (+ t_1 (/ 1.0 (+ t_5 (sqrt t)))))
         (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double t_3 = sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = (t_2 + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	double t_5 = sqrt((1.0 + t));
	double tmp;
	if (t_4 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * sqrt((1.0 / pow(x, 5.0)))));
	} else if (t_4 <= 2.00005) {
		tmp = t_2 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_5 - sqrt(t))));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0 / (t_5 + sqrt(t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    t_3 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_4 = (t_2 + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z))
    t_5 = sqrt((1.0d0 + t))
    if (t_4 <= 0.001d0) then
        tmp = ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + ((0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y))))) + (0.0625d0 * sqrt((1.0d0 / (x ** 5.0d0)))))
    else if (t_4 <= 2.00005d0) then
        tmp = t_2 + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + (t_5 - sqrt(t))))
    else
        tmp = 1.0d0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0d0 / (t_5 + sqrt(t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = (t_2 + (t_3 - Math.sqrt(y))) + (t_1 - Math.sqrt(z));
	double t_5 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double tmp;
	if (t_4 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * Math.sqrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))));
	} else if (t_4 <= 2.00005) {
		tmp = t_2 + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + t_3)) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + (t_5 - Math.sqrt(t))));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0 / (t_5 + Math.sqrt(t))))) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	t_3 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_4 = (t_2 + (t_3 - math.sqrt(y))) + (t_1 - math.sqrt(z))
	t_5 = math.sqrt((1.0 + t))
	tmp = 0
	if t_4 <= 0.001:
		tmp = (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * math.sqrt((1.0 / math.pow(x, 5.0)))))
	elif t_4 <= 2.00005:
		tmp = t_2 + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + t_3)) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + (t_5 - math.sqrt(t))))
	else:
		tmp = 1.0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0 / (t_5 + math.sqrt(t))))) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	t_3 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_4 = Float64(Float64(t_2 + Float64(t_3 - sqrt(y))) + Float64(t_1 - sqrt(z)))
	t_5 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	tmp = 0.0
	if (t_4 <= 0.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y))))) + Float64(0.0625 * sqrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))))));
	elseif (t_4 <= 2.00005)
		tmp = Float64(t_2 + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + t_3)) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(t_5 - sqrt(t)))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(t_3 + Float64(t_1 + Float64(1.0 / Float64(t_5 + sqrt(t))))) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	t_3 = sqrt((1.0 + y));
	t_4 = (t_2 + (t_3 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	t_5 = sqrt((1.0 + t));
	tmp = 0.0;
	if (t_4 <= 0.001)
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * sqrt((1.0 / (x ^ 5.0)))));
	elseif (t_4 <= 2.00005)
		tmp = t_2 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_3)) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_5 - sqrt(t))));
	else
		tmp = 1.0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0 / (t_5 + sqrt(t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(t$95$2 + N[(t$95$3 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$4, 0.001], N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0625 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$4, 2.00005], N[(t$95$2 + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$5 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(t$95$3 + N[(t$95$1 + N[(1.0 / N[(t$95$5 + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 1e-3

   1. Initial program 41.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 4.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 3.6%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 3.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}}\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)}\right)\right) \]

   14. Simplified 51.9%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)} \]

   if 1e-3 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.0000499999999999

   1. Initial program 96.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 67.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 55.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 55.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 55.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 2.0000499999999999 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 94.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 60.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.00005:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{1 + t}\\ t_3 := \sqrt{1 + y}\\ t_4 := \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(t\_3 - \sqrt{y}\right)\\ t_5 := t\_4 + \left(t\_1 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_5 \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_5 \leq 2.00005:\\ \;\;\;\;\left(t\_4 + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(t\_2 - \sqrt{t}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(t\_3 + \left(t\_1 + \frac{1}{t\_2 + \sqrt{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 t)))
        (t_3 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_4 (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- t_3 (sqrt y))))
        (t_5 (+ t_4 (- t_1 (sqrt z)))))
   (if (<= t_5 0.001)
     (+
      (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
      (+
       (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y)))))
       (* 0.0625 (sqrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))))
     (if (<= t_5 2.00005)
       (+ (+ t_4 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z)))) (- t_2 (sqrt t)))
       (+
        1.0
        (-
         (+ t_3 (+ t_1 (/ 1.0 (+ t_2 (sqrt t)))))
         (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y));
	double t_5 = t_4 + (t_1 - sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * sqrt((1.0 / pow(x, 5.0)))));
	} else if (t_5 <= 2.00005) {
		tmp = (t_4 + (0.5 * sqrt((1.0 / z)))) + (t_2 - sqrt(t));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0 / (t_2 + sqrt(t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_3 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_4 = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y))
    t_5 = t_4 + (t_1 - sqrt(z))
    if (t_5 <= 0.001d0) then
        tmp = ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + ((0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y))))) + (0.0625d0 * sqrt((1.0d0 / (x ** 5.0d0)))))
    else if (t_5 <= 2.00005d0) then
        tmp = (t_4 + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z)))) + (t_2 - sqrt(t))
    else
        tmp = 1.0d0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0d0 / (t_2 + sqrt(t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (t_3 - Math.sqrt(y));
	double t_5 = t_4 + (t_1 - Math.sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * Math.sqrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))));
	} else if (t_5 <= 2.00005) {
		tmp = (t_4 + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z)))) + (t_2 - Math.sqrt(t));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0 / (t_2 + Math.sqrt(t))))) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_3 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_4 = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (t_3 - math.sqrt(y))
	t_5 = t_4 + (t_1 - math.sqrt(z))
	tmp = 0
	if t_5 <= 0.001:
		tmp = (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * math.sqrt((1.0 / math.pow(x, 5.0)))))
	elif t_5 <= 2.00005:
		tmp = (t_4 + (0.5 * math.sqrt((1.0 / z)))) + (t_2 - math.sqrt(t))
	else:
		tmp = 1.0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0 / (t_2 + math.sqrt(t))))) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_3 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_4 = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(t_3 - sqrt(y)))
	t_5 = Float64(t_4 + Float64(t_1 - sqrt(z)))
	tmp = 0.0
	if (t_5 <= 0.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y))))) + Float64(0.0625 * sqrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))))));
	elseif (t_5 <= 2.00005)
		tmp = Float64(Float64(t_4 + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))) + Float64(t_2 - sqrt(t)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(t_3 + Float64(t_1 + Float64(1.0 / Float64(t_2 + sqrt(t))))) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((1.0 + t));
	t_3 = sqrt((1.0 + y));
	t_4 = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y));
	t_5 = t_4 + (t_1 - sqrt(z));
	tmp = 0.0;
	if (t_5 <= 0.001)
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * sqrt((1.0 / (x ^ 5.0)))));
	elseif (t_5 <= 2.00005)
		tmp = (t_4 + (0.5 * sqrt((1.0 / z)))) + (t_2 - sqrt(t));
	else
		tmp = 1.0 + ((t_3 + (t_1 + (1.0 / (t_2 + sqrt(t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$4 + N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$5, 0.001], N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0625 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$5, 2.00005], N[(N[(t$95$4 + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(t$95$3 + N[(t$95$1 + N[(1.0 / N[(t$95$2 + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 1e-3

   1. Initial program 41.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 39.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 4.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 3.6%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 3.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}}\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)}\right)\right) \]

   14. Simplified 51.9%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)} \]

   if 1e-3 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.0000499999999999

   1. Initial program 96.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 55.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 2.0000499999999999 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 94.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 60.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.00005:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1}\\ t_2 := t\_1 - \sqrt{x}\\ t_3 := t\_2 + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_3 \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_3 \leq 1.99998:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(t\_1 + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(t\_2 + \left(1 - \sqrt{y}\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_2 (- t_1 (sqrt x)))
        (t_3 (+ t_2 (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))))
   (if (<= t_3 0.001)
     (+
      (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
      (+
       (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y)))))
       (* 0.0625 (sqrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))))
     (if (<= t_3 1.99998)
       (/
        (+
         (* 0.5 (sqrt t))
         (*
          t
          (+
           t_1
           (- (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) (pow (+ 1.0 y) 0.5))) (sqrt x)))))
        t)
       (+
        (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
        (+ (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)) (+ t_2 (- 1.0 (sqrt y)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = t_1 - sqrt(x);
	double t_3 = t_2 + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	double tmp;
	if (t_3 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * sqrt((1.0 / pow(x, 5.0)))));
	} else if (t_3 <= 1.99998) {
		tmp = ((0.5 * sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + pow((1.0 + y), 0.5))) - sqrt(x))))) / t;
	} else {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (t_2 + (1.0 - sqrt(y))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_2 = t_1 - sqrt(x)
    t_3 = t_2 + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))
    if (t_3 <= 0.001d0) then
        tmp = ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + ((0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y))))) + (0.0625d0 * sqrt((1.0d0 / (x ** 5.0d0)))))
    else if (t_3 <= 1.99998d0) then
        tmp = ((0.5d0 * sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0d0 + y) ** 0.5d0))) - sqrt(x))))) / t
    else
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + ((sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)) + (t_2 + (1.0d0 - sqrt(y))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = t_1 - Math.sqrt(x);
	double t_3 = t_2 + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y));
	double tmp;
	if (t_3 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * Math.sqrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))));
	} else if (t_3 <= 1.99998) {
		tmp = ((0.5 * Math.sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + Math.pow((1.0 + y), 0.5))) - Math.sqrt(x))))) / t;
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)) + (t_2 + (1.0 - Math.sqrt(y))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_2 = t_1 - math.sqrt(x)
	t_3 = t_2 + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))
	tmp = 0
	if t_3 <= 0.001:
		tmp = (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * math.sqrt((1.0 / math.pow(x, 5.0)))))
	elif t_3 <= 1.99998:
		tmp = ((0.5 * math.sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + math.pow((1.0 + y), 0.5))) - math.sqrt(x))))) / t
	else:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)) + (t_2 + (1.0 - math.sqrt(y))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_2 = Float64(t_1 - sqrt(x))
	t_3 = Float64(t_2 + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)))
	tmp = 0.0
	if (t_3 <= 0.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y))))) + Float64(0.0625 * sqrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))))));
	elseif (t_3 <= 1.99998)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * sqrt(t)) + Float64(t * Float64(t_1 + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + (Float64(1.0 + y) ^ 0.5))) - sqrt(x))))) / t);
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z)) + Float64(t_2 + Float64(1.0 - sqrt(y)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0));
	t_2 = t_1 - sqrt(x);
	t_3 = t_2 + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y));
	tmp = 0.0;
	if (t_3 <= 0.001)
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * sqrt((1.0 / (x ^ 5.0)))));
	elseif (t_3 <= 1.99998)
		tmp = ((0.5 * sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0 + y) ^ 0.5))) - sqrt(x))))) / t;
	else
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (t_2 + (1.0 - sqrt(y))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$3, 0.001], N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0625 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$3, 1.99998], N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t * N[(t$95$1 + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + y), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 + N[(1.0 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1e-3

   1. Initial program 68.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}}\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)}\right)\right) \]

   14. Simplified 29.7%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)} \]

   if 1e-3 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1.99998000000000009

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 37.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 21.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}{t}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \color{blue}{t}\right) \]

   11. Simplified 21.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) - \sqrt{x}\right)\right)}{t}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       2. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       4. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       5. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       10. pow1/2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(y + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       11. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(y + 1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + y\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

   13. Applied egg-rr 21.9%

       \[\leadsto \frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{1 + x} + \left(\color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{{\left(1 + y\right)}^{0.5} + \sqrt{y}}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t} \]

   if 1.99998000000000009 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y)))

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \sqrt{y}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 96.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(1 - \sqrt{y}\right)}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 40.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 1.99998:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{x + 1} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(1 - \sqrt{y}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\\ t_2 := \sqrt{x + 1}\\ t_3 := \sqrt{1 + y}\\ t_4 := \left(t\_2 - \sqrt{x}\right) + \left(t\_3 - \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_4 \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + t\_1\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_4 \leq 1.2:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{y \cdot \left(y \cdot y\right)}} + \left(0.5 \cdot t\_1 - \sqrt{x}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(t\_3 + t\_2\right) + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y))))
        (t_2 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_3 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_4 (+ (- t_2 (sqrt x)) (- t_3 (sqrt y)))))
   (if (<= t_4 0.001)
     (+
      (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
      (+
       (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) t_1))
       (* 0.0625 (sqrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))))
     (if (<= t_4 1.2)
       (+
        t_2
        (+ (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* y (* y y))))) (- (* 0.5 t_1) (sqrt x))))
       (-
        (+ (+ t_3 t_2) (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
        (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y));
	double t_2 = sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = (t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y));
	double tmp;
	if (t_4 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + t_1)) + (0.0625 * sqrt((1.0 / pow(x, 5.0)))));
	} else if (t_4 <= 1.2) {
		tmp = t_2 + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (y * (y * y))))) + ((0.5 * t_1) - sqrt(x)));
	} else {
		tmp = ((t_3 + t_2) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y))
    t_2 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_3 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_4 = (t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y))
    if (t_4 <= 0.001d0) then
        tmp = ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + ((0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + t_1)) + (0.0625d0 * sqrt((1.0d0 / (x ** 5.0d0)))))
    else if (t_4 <= 1.2d0) then
        tmp = t_2 + (((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (y * (y * y))))) + ((0.5d0 * t_1) - sqrt(x)))
    else
        tmp = ((t_3 + t_2) + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y));
	double t_2 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_4 = (t_2 - Math.sqrt(x)) + (t_3 - Math.sqrt(y));
	double tmp;
	if (t_4 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + t_1)) + (0.0625 * Math.sqrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))));
	} else if (t_4 <= 1.2) {
		tmp = t_2 + ((-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (y * (y * y))))) + ((0.5 * t_1) - Math.sqrt(x)));
	} else {
		tmp = ((t_3 + t_2) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y))
	t_2 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_3 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_4 = (t_2 - math.sqrt(x)) + (t_3 - math.sqrt(y))
	tmp = 0
	if t_4 <= 0.001:
		tmp = (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + t_1)) + (0.0625 * math.sqrt((1.0 / math.pow(x, 5.0)))))
	elif t_4 <= 1.2:
		tmp = t_2 + ((-0.125 * math.sqrt((1.0 / (y * (y * y))))) + ((0.5 * t_1) - math.sqrt(x)))
	else:
		tmp = ((t_3 + t_2) + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y)))
	t_2 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_3 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_4 = Float64(Float64(t_2 - sqrt(x)) + Float64(t_3 - sqrt(y)))
	tmp = 0.0
	if (t_4 <= 0.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + t_1)) + Float64(0.0625 * sqrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))))));
	elseif (t_4 <= 1.2)
		tmp = Float64(t_2 + Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(y * Float64(y * y))))) + Float64(Float64(0.5 * t_1) - sqrt(x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_3 + t_2) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y));
	t_2 = sqrt((x + 1.0));
	t_3 = sqrt((1.0 + y));
	t_4 = (t_2 - sqrt(x)) + (t_3 - sqrt(y));
	tmp = 0.0;
	if (t_4 <= 0.001)
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + t_1)) + (0.0625 * sqrt((1.0 / (x ^ 5.0)))));
	elseif (t_4 <= 1.2)
		tmp = t_2 + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (y * (y * y))))) + ((0.5 * t_1) - sqrt(x)));
	else
		tmp = ((t_3 + t_2) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(t$95$2 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$4, 0.001], N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0625 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$4, 1.2], N[(t$95$2 + N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(y * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * t$95$1), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(t$95$3 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1e-3

   1. Initial program 68.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}}\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)}\right)\right) \]

   14. Simplified 29.7%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)} \]

   if 1e-3 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1.19999999999999996

   1. Initial program 96.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 37.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 20.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{y}^{3}}\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({y}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y, \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 17.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{y \cdot \left(y \cdot y\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)} \]

   if 1.19999999999999996 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y)))

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 56.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 29.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 1.2:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{y \cdot \left(y \cdot y\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1}\\ t_2 := \sqrt{1 + y}\\ t_3 := \left(t\_1 - \sqrt{x}\right) + \left(t\_2 - \sqrt{y}\right)\\ t_4 := \sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \mathbf{if}\;t\_3 \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + t\_4\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_3 \leq 1.2:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{y \cdot \left(y \cdot y\right)}} + \left(0.5 \cdot t\_4 - \sqrt{x}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(t\_2 + t\_1\right) + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_3 (+ (- t_1 (sqrt x)) (- t_2 (sqrt y))))
        (t_4 (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y)))))
   (if (<= t_3 0.001)
     (+
      (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
      (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) t_4)))
     (if (<= t_3 1.2)
       (+
        t_1
        (+ (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* y (* y y))))) (- (* 0.5 t_4) (sqrt x))))
       (-
        (+ (+ t_2 t_1) (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
        (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = sqrt((1.0 + y));
	double t_3 = (t_1 - sqrt(x)) + (t_2 - sqrt(y));
	double t_4 = sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y));
	double tmp;
	if (t_3 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + t_4));
	} else if (t_3 <= 1.2) {
		tmp = t_1 + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (y * (y * y))))) + ((0.5 * t_4) - sqrt(x)));
	} else {
		tmp = ((t_2 + t_1) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_3 = (t_1 - sqrt(x)) + (t_2 - sqrt(y))
    t_4 = sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y))
    if (t_3 <= 0.001d0) then
        tmp = ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + t_4))
    else if (t_3 <= 1.2d0) then
        tmp = t_1 + (((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (y * (y * y))))) + ((0.5d0 * t_4) - sqrt(x)))
    else
        tmp = ((t_2 + t_1) + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_3 = (t_1 - Math.sqrt(x)) + (t_2 - Math.sqrt(y));
	double t_4 = Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y));
	double tmp;
	if (t_3 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + t_4));
	} else if (t_3 <= 1.2) {
		tmp = t_1 + ((-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (y * (y * y))))) + ((0.5 * t_4) - Math.sqrt(x)));
	} else {
		tmp = ((t_2 + t_1) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_3 = (t_1 - math.sqrt(x)) + (t_2 - math.sqrt(y))
	t_4 = math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y))
	tmp = 0
	if t_3 <= 0.001:
		tmp = (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + t_4))
	elif t_3 <= 1.2:
		tmp = t_1 + ((-0.125 * math.sqrt((1.0 / (y * (y * y))))) + ((0.5 * t_4) - math.sqrt(x)))
	else:
		tmp = ((t_2 + t_1) + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_3 = Float64(Float64(t_1 - sqrt(x)) + Float64(t_2 - sqrt(y)))
	t_4 = Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y)))
	tmp = 0.0
	if (t_3 <= 0.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + t_4)));
	elseif (t_3 <= 1.2)
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(y * Float64(y * y))))) + Float64(Float64(0.5 * t_4) - sqrt(x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_2 + t_1) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0));
	t_2 = sqrt((1.0 + y));
	t_3 = (t_1 - sqrt(x)) + (t_2 - sqrt(y));
	t_4 = sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y));
	tmp = 0.0;
	if (t_3 <= 0.001)
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + t_4));
	elseif (t_3 <= 1.2)
		tmp = t_1 + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (y * (y * y))))) + ((0.5 * t_4) - sqrt(x)));
	else
		tmp = ((t_2 + t_1) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(t$95$1 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$3, 0.001], N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$3, 1.2], N[(t$95$1 + N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(y * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * t$95$4), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(t$95$2 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1e-3

   1. Initial program 68.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)}\right) \]

       3. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)}\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 29.7%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

   if 1e-3 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1.19999999999999996

   1. Initial program 96.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 37.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 20.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{y}^{3}}}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{y}^{3}}\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({y}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y, \left(y \cdot y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y, \mathsf{*.f64}\left(y, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 17.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{y \cdot \left(y \cdot y\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)} \]

   if 1.19999999999999996 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y)))

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{z + 1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 56.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 29.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 1.2:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{y \cdot \left(y \cdot y\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 91.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{\frac{1}{t}}\\ t_2 := \sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\\ \mathbf{if}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + t\_2 \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(t\_1 + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(t\_2 + \left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + 0.5 \cdot t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (/ 1.0 t))) (t_2 (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))))
   (if (<= (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) t_2) 0.001)
     (+
      (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
      (+
       (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ t_1 (sqrt (/ 1.0 y)))))
       (* 0.0625 (sqrt (/ 1.0 (pow x 5.0))))))
     (+
      (+
       (+ t_2 (+ 1.0 (- (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))) (sqrt x))))
       (/ (- (+ 1.0 z) z) (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
      (* 0.5 t_1)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 / t));
	double t_2 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	double tmp;
	if (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_2) <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (t_1 + sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * sqrt((1.0 / pow(x, 5.0)))));
	} else {
		tmp = ((t_2 + (1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - sqrt(x)))) + (((1.0 + z) - z) / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) + (0.5 * t_1);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 / t))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)
    if (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + t_2) <= 0.001d0) then
        tmp = ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + ((0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (t_1 + sqrt((1.0d0 / y))))) + (0.0625d0 * sqrt((1.0d0 / (x ** 5.0d0)))))
    else
        tmp = ((t_2 + (1.0d0 + ((x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))) - sqrt(x)))) + (((1.0d0 + z) - z) / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) + (0.5d0 * t_1)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 / t));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y);
	double tmp;
	if (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + t_2) <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (t_1 + Math.sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * Math.sqrt((1.0 / Math.pow(x, 5.0)))));
	} else {
		tmp = ((t_2 + (1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - Math.sqrt(x)))) + (((1.0 + z) - z) / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) + (0.5 * t_1);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 / t))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)
	tmp = 0
	if ((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + t_2) <= 0.001:
		tmp = (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (t_1 + math.sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * math.sqrt((1.0 / math.pow(x, 5.0)))))
	else:
		tmp = ((t_2 + (1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - math.sqrt(x)))) + (((1.0 + z) - z) / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) + (0.5 * t_1)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 / t))
	t_2 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_2) <= 0.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(t_1 + sqrt(Float64(1.0 / y))))) + Float64(0.0625 * sqrt(Float64(1.0 / (x ^ 5.0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_2 + Float64(1.0 + Float64(Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625))))) - sqrt(x)))) + Float64(Float64(Float64(1.0 + z) - z) / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) + Float64(0.5 * t_1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 / t));
	t_2 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	tmp = 0.0;
	if (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + t_2) <= 0.001)
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + ((0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (t_1 + sqrt((1.0 / y))))) + (0.0625 * sqrt((1.0 / (x ^ 5.0)))));
	else
		tmp = ((t_2 + (1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - sqrt(x)))) + (((1.0 + z) - z) / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) + (0.5 * t_1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision], 0.001], N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0625 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(t$95$2 + N[(1.0 + N[(N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(1.0 + z), $MachinePrecision] - z), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1e-3

   1. Initial program 68.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 24.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.0%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{{x}^{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{\color{blue}{5}}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}}\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)}\right)\right) \]

   14. Simplified 29.7%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)} \]

   if 1e-3 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y)))

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 54.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 54.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.2%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 35.5%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 34.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + 0.0625 \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{5}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 91.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))
   (if (<= t_1 0.001)
     (+
      (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
      (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y))))))
     (+ t_1 (+ (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)) (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y)))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    if (t_1 <= 0.001d0) then
        tmp = ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y)))))
    else
        tmp = t_1 + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= 0.001) {
		tmp = (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y)))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)) + (Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	tmp = 0
	if t_1 <= 0.001:
		tmp = (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y)))))
	else:
		tmp = t_1 + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)) + (math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 0.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y))))));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 0.001)
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y)))));
	else
		tmp = t_1 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 0.001], N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 1e-3

   1. Initial program 83.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.5%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)}\right) \]

       3. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)}\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 17.3%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

   if 1e-3 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 96.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 70.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 55.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0.001:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.7% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ \mathbf{if}\;t \leq 315000:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + t} + \left(t\_1 + \sqrt{x + 1}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + t\_1}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z))))
   (if (<= t 315000.0)
     (+
      1.0
      (-
       (+ (sqrt (+ 1.0 t)) (+ t_1 (sqrt (+ x 1.0))))
       (+ (sqrt t) (+ (sqrt y) (+ (sqrt x) (sqrt z))))))
     (+
      (+
       (+
        (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))
        (+ 1.0 (- (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625))))) (sqrt x))))
       (/ (- (+ 1.0 z) z) (+ (sqrt z) t_1)))
      (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (t <= 315000.0) {
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + t)) + (t_1 + sqrt((x + 1.0)))) - (sqrt(t) + (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))));
	} else {
		tmp = (((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - sqrt(x)))) + (((1.0 + z) - z) / (sqrt(z) + t_1))) + (0.5 * sqrt((1.0 / t)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    if (t <= 315000.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + t)) + (t_1 + sqrt((x + 1.0d0)))) - (sqrt(t) + (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))))
    else
        tmp = (((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)) + (1.0d0 + ((x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))) - sqrt(x)))) + (((1.0d0 + z) - z) / (sqrt(z) + t_1))) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (t <= 315000.0) {
		tmp = 1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + t)) + (t_1 + Math.sqrt((x + 1.0)))) - (Math.sqrt(t) + (Math.sqrt(y) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(z)))));
	} else {
		tmp = (((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)) + (1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - Math.sqrt(x)))) + (((1.0 + z) - z) / (Math.sqrt(z) + t_1))) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / t)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	tmp = 0
	if t <= 315000.0:
		tmp = 1.0 + ((math.sqrt((1.0 + t)) + (t_1 + math.sqrt((x + 1.0)))) - (math.sqrt(t) + (math.sqrt(y) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(z)))))
	else:
		tmp = (((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)) + (1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - math.sqrt(x)))) + (((1.0 + z) - z) / (math.sqrt(z) + t_1))) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / t)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	tmp = 0.0
	if (t <= 315000.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) + Float64(t_1 + sqrt(Float64(x + 1.0)))) - Float64(sqrt(t) + Float64(sqrt(y) + Float64(sqrt(x) + sqrt(z))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)) + Float64(1.0 + Float64(Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625))))) - sqrt(x)))) + Float64(Float64(Float64(1.0 + z) - z) / Float64(sqrt(z) + t_1))) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	tmp = 0.0;
	if (t <= 315000.0)
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + t)) + (t_1 + sqrt((x + 1.0)))) - (sqrt(t) + (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))));
	else
		tmp = (((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)) + (1.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - sqrt(x)))) + (((1.0 + z) - z) / (sqrt(z) + t_1))) + (0.5 * sqrt((1.0 / t)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t, 315000.0], N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(1.0 + z), $MachinePrecision] - z), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 315000

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 28.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{1 + x}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)\right)} \]

   if 315000 < t

   1. Initial program 85.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 90.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 48.5%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(z + 1\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(z + 1\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(z + 1\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 48.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 48.9%

       \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 39.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 315000:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + t} + \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{x + 1}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)\right) + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 84.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{\frac{1}{t}}\\ \mathbf{if}\;y \leq 8.2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot t\_1 + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(2 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.05 \cdot 10^{+145}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{x + 1} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(t\_1 + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (/ 1.0 t))))
   (if (<= y 8.2e-11)
     (+
      (* 0.5 t_1)
      (+
       (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z))
       (+
        2.0
        (-
         (* x (+ 0.5 (* x (+ -0.125 (* x 0.0625)))))
         (+ (sqrt x) (sqrt y))))))
     (if (<= y 1.05e+145)
       (/
        (+
         (* 0.5 (sqrt t))
         (*
          t
          (+
           (sqrt (+ x 1.0))
           (- (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) (pow (+ 1.0 y) 0.5))) (sqrt x)))))
        t)
       (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ t_1 (sqrt (/ 1.0 y)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 / t));
	double tmp;
	if (y <= 8.2e-11) {
		tmp = (0.5 * t_1) + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (2.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))));
	} else if (y <= 1.05e+145) {
		tmp = ((0.5 * sqrt(t)) + (t * (sqrt((x + 1.0)) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + pow((1.0 + y), 0.5))) - sqrt(x))))) / t;
	} else {
		tmp = 0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (t_1 + sqrt((1.0 / y))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 / t))
    if (y <= 8.2d-11) then
        tmp = (0.5d0 * t_1) + ((sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)) + (2.0d0 + ((x * (0.5d0 + (x * ((-0.125d0) + (x * 0.0625d0))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))))
    else if (y <= 1.05d+145) then
        tmp = ((0.5d0 * sqrt(t)) + (t * (sqrt((x + 1.0d0)) + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0d0 + y) ** 0.5d0))) - sqrt(x))))) / t
    else
        tmp = 0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (t_1 + sqrt((1.0d0 / y))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 / t));
	double tmp;
	if (y <= 8.2e-11) {
		tmp = (0.5 * t_1) + ((Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)) + (2.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)))));
	} else if (y <= 1.05e+145) {
		tmp = ((0.5 * Math.sqrt(t)) + (t * (Math.sqrt((x + 1.0)) + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + Math.pow((1.0 + y), 0.5))) - Math.sqrt(x))))) / t;
	} else {
		tmp = 0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (t_1 + Math.sqrt((1.0 / y))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 / t))
	tmp = 0
	if y <= 8.2e-11:
		tmp = (0.5 * t_1) + ((math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)) + (2.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))))
	elif y <= 1.05e+145:
		tmp = ((0.5 * math.sqrt(t)) + (t * (math.sqrt((x + 1.0)) + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + math.pow((1.0 + y), 0.5))) - math.sqrt(x))))) / t
	else:
		tmp = 0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (t_1 + math.sqrt((1.0 / y))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 / t))
	tmp = 0.0
	if (y <= 8.2e-11)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * t_1) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z)) + Float64(2.0 + Float64(Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(-0.125 + Float64(x * 0.0625))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))))));
	elseif (y <= 1.05e+145)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * sqrt(t)) + Float64(t * Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + (Float64(1.0 + y) ^ 0.5))) - sqrt(x))))) / t);
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(t_1 + sqrt(Float64(1.0 / y)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 / t));
	tmp = 0.0;
	if (y <= 8.2e-11)
		tmp = (0.5 * t_1) + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (2.0 + ((x * (0.5 + (x * (-0.125 + (x * 0.0625))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))));
	elseif (y <= 1.05e+145)
		tmp = ((0.5 * sqrt(t)) + (t * (sqrt((x + 1.0)) + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0 + y) ^ 0.5))) - sqrt(x))))) / t;
	else
		tmp = 0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (t_1 + sqrt((1.0 / y))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 8.2e-11], N[(N[(0.5 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 + N[(N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(-0.125 + N[(x * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.05e+145], N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t * N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + y), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 8.2000000000000001e-11

   1. Initial program 96.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 55.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 26.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 26.2%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(2 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       7. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 26.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 26.2%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(2 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   if 8.2000000000000001e-11 < y < 1.04999999999999995e145

   1. Initial program 90.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 25.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 25.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 23.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 23.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}{t}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \color{blue}{t}\right) \]

   11. Simplified 24.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) - \sqrt{x}\right)\right)}{t}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       2. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       4. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       5. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       10. pow1/2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(y + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       11. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(y + 1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + y\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.4%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

   13. Applied egg-rr 24.4%

       \[\leadsto \frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{1 + x} + \left(\color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{{\left(1 + y\right)}^{0.5} + \sqrt{y}}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t} \]

   if 1.04999999999999995e145 < y

   1. Initial program 79.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 18.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 19.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 19.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 17.1%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 17.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)}\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{t}}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{t}}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{y}}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 21.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 21.0%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 24.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 8.2 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(2 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.125 + x \cdot 0.0625\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.05 \cdot 10^{+145}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{x + 1} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 85.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1}\\ t_2 := \sqrt{\frac{1}{t}}\\ \mathbf{if}\;z \leq 0.25:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot t\_2 + \left(\left(t\_1 + 2\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 5.2 \cdot 10^{+27}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + t\_1\right) + 0.5 \cdot \left(y + \left(t\_2 + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(t\_1 + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ x 1.0))) (t_2 (sqrt (/ 1.0 t))))
   (if (<= z 0.25)
     (+ (* 0.5 t_2) (- (+ t_1 2.0) (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))
     (if (<= z 5.2e+27)
       (-
        (+ (+ 1.0 t_1) (* 0.5 (+ y (+ t_2 (sqrt (/ 1.0 z))))))
        (+ (sqrt x) (sqrt y)))
       (/
        (+
         (* 0.5 (sqrt t))
         (*
          t
          (+
           t_1
           (- (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) (pow (+ 1.0 y) 0.5))) (sqrt x)))))
        t)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = sqrt((1.0 / t));
	double tmp;
	if (z <= 0.25) {
		tmp = (0.5 * t_2) + ((t_1 + 2.0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	} else if (z <= 5.2e+27) {
		tmp = ((1.0 + t_1) + (0.5 * (y + (t_2 + sqrt((1.0 / z)))))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	} else {
		tmp = ((0.5 * sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + pow((1.0 + y), 0.5))) - sqrt(x))))) / t;
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_2 = sqrt((1.0d0 / t))
    if (z <= 0.25d0) then
        tmp = (0.5d0 * t_2) + ((t_1 + 2.0d0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    else if (z <= 5.2d+27) then
        tmp = ((1.0d0 + t_1) + (0.5d0 * (y + (t_2 + sqrt((1.0d0 / z)))))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    else
        tmp = ((0.5d0 * sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0d0 + y) ** 0.5d0))) - sqrt(x))))) / t
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 / t));
	double tmp;
	if (z <= 0.25) {
		tmp = (0.5 * t_2) + ((t_1 + 2.0) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	} else if (z <= 5.2e+27) {
		tmp = ((1.0 + t_1) + (0.5 * (y + (t_2 + Math.sqrt((1.0 / z)))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = ((0.5 * Math.sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + Math.pow((1.0 + y), 0.5))) - Math.sqrt(x))))) / t;
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_2 = math.sqrt((1.0 / t))
	tmp = 0
	if z <= 0.25:
		tmp = (0.5 * t_2) + ((t_1 + 2.0) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	elif z <= 5.2e+27:
		tmp = ((1.0 + t_1) + (0.5 * (y + (t_2 + math.sqrt((1.0 / z)))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	else:
		tmp = ((0.5 * math.sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + math.pow((1.0 + y), 0.5))) - math.sqrt(x))))) / t
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 / t))
	tmp = 0.0
	if (z <= 0.25)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * t_2) + Float64(Float64(t_1 + 2.0) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	elseif (z <= 5.2e+27)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + t_1) + Float64(0.5 * Float64(y + Float64(t_2 + sqrt(Float64(1.0 / z)))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * sqrt(t)) + Float64(t * Float64(t_1 + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + (Float64(1.0 + y) ^ 0.5))) - sqrt(x))))) / t);
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0));
	t_2 = sqrt((1.0 / t));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 0.25)
		tmp = (0.5 * t_2) + ((t_1 + 2.0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	elseif (z <= 5.2e+27)
		tmp = ((1.0 + t_1) + (0.5 * (y + (t_2 + sqrt((1.0 / z)))))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	else
		tmp = ((0.5 * sqrt(t)) + (t * (t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + ((1.0 + y) ^ 0.5))) - sqrt(x))))) / t;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 0.25], N[(N[(0.5 * t$95$2), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 + 2.0), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 5.2e+27], N[(N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(y + N[(t$95$2 + N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t * N[(t$95$1 + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + y), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 0.25

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 53.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

   6. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 18.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   if 0.25 < z < 5.20000000000000018e27

   1. Initial program 76.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 53.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

   10. Simplified 18.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

   13. Simplified 18.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + x}\right) + 0.5 \cdot \left(y + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]

   if 5.20000000000000018e27 < z

   1. Initial program 85.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 62.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 62.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 30.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}{t}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \color{blue}{t}\right) \]

   11. Simplified 35.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) - \sqrt{x}\right)\right)}{t}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       2. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       4. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       5. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       10. pow1/2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(y + 1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       11. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(y + 1\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + y\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right), t\right) \]

   13. Applied egg-rr 35.9%

       \[\leadsto \frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{1 + x} + \left(\color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{{\left(1 + y\right)}^{0.5} + \sqrt{y}}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 26.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 0.25:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \left(\left(\sqrt{x + 1} + 2\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 5.2 \cdot 10^{+27}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) + 0.5 \cdot \left(y + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5 \cdot \sqrt{t} + t \cdot \left(\sqrt{x + 1} + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}} - \sqrt{x}\right)\right)}{t}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 83.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1}\\ \mathbf{if}\;z \leq 0.0145:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \left(\left(t\_1 + 2\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ x 1.0))))
   (if (<= z 0.0145)
     (+
      (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t)))
      (- (+ t_1 2.0) (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))
     (+
      t_1
      (-
       (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))))
       (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (z <= 0.0145) {
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / t))) + ((t_1 + 2.0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((sqrt((1.0 + y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0))
    if (z <= 0.0145d0) then
        tmp = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t))) + ((t_1 + 2.0d0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    else
        tmp = t_1 + ((sqrt((1.0d0 + y)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (z <= 0.0145) {
		tmp = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / t))) + ((t_1 + 2.0) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z)))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0))
	tmp = 0
	if z <= 0.0145:
		tmp = (0.5 * math.sqrt((1.0 / t))) + ((t_1 + 2.0) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	else:
		tmp = t_1 + ((math.sqrt((1.0 + y)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / z)))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (z <= 0.0145)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t))) + Float64(Float64(t_1 + 2.0) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 0.0145)
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / t))) + ((t_1 + 2.0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	else
		tmp = t_1 + ((sqrt((1.0 + y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 0.0145], N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 + 2.0), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 0.0145000000000000007

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 53.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

   6. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 18.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   if 0.0145000000000000007 < z

   1. Initial program 84.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 35.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 87.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 31.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 24.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 0.0145:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \left(\left(\sqrt{x + 1} + 2\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 83.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1}\\ \mathbf{if}\;z \leq 0.022:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(t\_1 + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ x 1.0))))
   (if (<= z 0.022)
     (+
      2.0
      (- (+ t_1 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t)))) (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))
     (+
      t_1
      (-
       (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))))
       (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (z <= 0.022) {
		tmp = 2.0 + ((t_1 + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((sqrt((1.0 + y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0))
    if (z <= 0.022d0) then
        tmp = 2.0d0 + ((t_1 + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    else
        tmp = t_1 + ((sqrt((1.0d0 + y)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (z <= 0.022) {
		tmp = 2.0 + ((t_1 + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / t)))) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z)))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0))
	tmp = 0
	if z <= 0.022:
		tmp = 2.0 + ((t_1 + (0.5 * math.sqrt((1.0 / t)))) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	else:
		tmp = t_1 + ((math.sqrt((1.0 + y)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / z)))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (z <= 0.022)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(t_1 + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t)))) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 0.022)
		tmp = 2.0 + ((t_1 + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	else
		tmp = t_1 + ((sqrt((1.0 + y)) + (0.5 * sqrt((1.0 / z)))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 0.022], N[(2.0 + N[(N[(t$95$1 + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 0.021999999999999999

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 53.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

   6. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.3%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 28.3%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   if 0.021999999999999999 < z

   1. Initial program 84.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 35.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 87.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 31.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 30.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 0.022:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{x + 1} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 81.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\\ t_2 := \sqrt{x + 1}\\ \mathbf{if}\;z \leq 0.062:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(t\_2 + t\_1\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + t\_1\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t)))) (t_2 (sqrt (+ x 1.0))))
   (if (<= z 0.062)
     (+ 2.0 (- (+ t_2 t_1) (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))
     (+ t_2 (- (+ (sqrt (+ 1.0 y)) t_1) (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = 0.5 * sqrt((1.0 / t));
	double t_2 = sqrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (z <= 0.062) {
		tmp = 2.0 + ((t_2 + t_1) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	} else {
		tmp = t_2 + ((sqrt((1.0 + y)) + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = 0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t))
    t_2 = sqrt((x + 1.0d0))
    if (z <= 0.062d0) then
        tmp = 2.0d0 + ((t_2 + t_1) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    else
        tmp = t_2 + ((sqrt((1.0d0 + y)) + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = 0.5 * Math.sqrt((1.0 / t));
	double t_2 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (z <= 0.062) {
		tmp = 2.0 + ((t_2 + t_1) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	} else {
		tmp = t_2 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) + t_1) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = 0.5 * math.sqrt((1.0 / t))
	t_2 = math.sqrt((x + 1.0))
	tmp = 0
	if z <= 0.062:
		tmp = 2.0 + ((t_2 + t_1) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	else:
		tmp = t_2 + ((math.sqrt((1.0 + y)) + t_1) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t)))
	t_2 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (z <= 0.062)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(t_2 + t_1) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	else
		tmp = Float64(t_2 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + t_1) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = 0.5 * sqrt((1.0 / t));
	t_2 = sqrt((x + 1.0));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 0.062)
		tmp = 2.0 + ((t_2 + t_1) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	else
		tmp = t_2 + ((sqrt((1.0 + y)) + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 0.062], N[(2.0 + N[(N[(t$95$2 + t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 0.062

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 53.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

   6. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.3%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 28.3%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   if 0.062 < z

   1. Initial program 84.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 60.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 28.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 28.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 0.062:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{x + 1} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 81.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1}\\ \mathbf{if}\;z \leq 0.085:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(t\_1 + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ x 1.0))))
   (if (<= z 0.085)
     (+
      2.0
      (- (+ t_1 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t)))) (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))
     (+ t_1 (- (sqrt (+ 1.0 y)) (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (z <= 0.085) {
		tmp = 2.0 + ((t_1 + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	} else {
		tmp = t_1 + (sqrt((1.0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0))
    if (z <= 0.085d0) then
        tmp = 2.0d0 + ((t_1 + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    else
        tmp = t_1 + (sqrt((1.0d0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if (z <= 0.085) {
		tmp = 2.0 + ((t_1 + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / t)))) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	} else {
		tmp = t_1 + (Math.sqrt((1.0 + y)) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0))
	tmp = 0
	if z <= 0.085:
		tmp = 2.0 + ((t_1 + (0.5 * math.sqrt((1.0 / t)))) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	else:
		tmp = t_1 + (math.sqrt((1.0 + y)) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (z <= 0.085)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(t_1 + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t)))) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 0.085)
		tmp = 2.0 + ((t_1 + (0.5 * sqrt((1.0 / t)))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	else
		tmp = t_1 + (sqrt((1.0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 0.085], N[(2.0 + N[(N[(t$95$1 + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 0.0850000000000000061

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 53.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 53.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

   6. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(1 - \sqrt{z}\right)}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

   9. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.3%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 28.3%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

   if 0.0850000000000000061 < z

   1. Initial program 84.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 60.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 30.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 29.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 0.085:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{x + 1} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 69.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 520000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= x 520000.0)
   (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (+ (sqrt x) (sqrt y))))
   (+
    (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
    (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 520000.0) {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + (sqrt((1.0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (x <= 520000.0d0) then
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = ((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 520000.0) {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y)))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if x <= 520000.0:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y)))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (x <= 520000.0)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 520000.0)
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + (sqrt((1.0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = (-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[x, 520000.0], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.2e5

   1. Initial program 96.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 34.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   if 5.2e5 < x

   1. Initial program 83.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.5%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + \color{blue}{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)}\right) \]

       3. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{8}} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)}\right)\right) \]

       14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 17.3%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 27.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 520000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 69.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 460000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= x 460000.0)
   (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (+ (sqrt x) (sqrt y))))
   (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 460000.0) {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + (sqrt((1.0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = 0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (x <= 460000.0d0) then
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = 0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 460000.0) {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = 0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if x <= 460000.0:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = 0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (x <= 460000.0)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 460000.0)
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + (sqrt((1.0 + y)) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = 0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[x, 460000.0], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.6e5

   1. Initial program 96.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 34.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 35.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   if 4.6e5 < x

   1. Initial program 83.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.5%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)}\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{t}}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{t}}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{y}}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 17.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 17.3%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 27.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 460000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 41.4% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 320000000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= x 320000000.0)
   (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))
   (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (+ (sqrt (/ 1.0 t)) (sqrt (/ 1.0 y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 320000000.0) {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	} else {
		tmp = 0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (x <= 320000000.0d0) then
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    else
        tmp = 0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + (sqrt((1.0d0 / t)) + sqrt((1.0d0 / y))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 320000000.0) {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	} else {
		tmp = 0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + (Math.sqrt((1.0 / t)) + Math.sqrt((1.0 / y))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if x <= 320000000.0:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	else:
		tmp = 0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + (math.sqrt((1.0 / t)) + math.sqrt((1.0 / y))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (x <= 320000000.0)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / t)) + sqrt(Float64(1.0 / y)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 320000000.0)
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	else
		tmp = 0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + (sqrt((1.0 / t)) + sqrt((1.0 / y))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[x, 320000000.0], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2e8

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 34.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 30.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sqrt{x}\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(0 - \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.3%

       \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(0 - \sqrt{x}\right)} \]

   if 3.2e8 < x

   1. Initial program 83.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.5%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)}\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{t}}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{t}}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{y}}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 17.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 17.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 23.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 320000000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 40.7% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 56000000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot {x}^{-0.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= x 56000000.0) (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (* 0.5 (pow x -0.5))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 56000000.0) {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	} else {
		tmp = 0.5 * pow(x, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (x <= 56000000.0d0) then
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    else
        tmp = 0.5d0 * (x ** (-0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 56000000.0) {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	} else {
		tmp = 0.5 * Math.pow(x, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if x <= 56000000.0:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	else:
		tmp = 0.5 * math.pow(x, -0.5)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (x <= 56000000.0)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x));
	else
		tmp = Float64(0.5 * (x ^ -0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 56000000.0)
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	else
		tmp = 0.5 * (x ^ -0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[x, 56000000.0], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.6e7

   1. Initial program 96.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 34.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 30.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sqrt{x}\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(0 - \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.5%

       \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(0 - \sqrt{x}\right)} \]

   if 5.6e7 < x

   1. Initial program 83.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 89.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 11.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 11.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{x}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

      3. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{\frac{1}{2}}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      6. pow-flip N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

      8. metadata-eval 11.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. Applied egg-rr 11.4%

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{-0.5} \cdot 0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 20.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 56000000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot {x}^{-0.5}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 12.7% accurate, 7.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 7.2 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot {x}^{-0.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= x 7.2e-84) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) (* 0.5 (pow x -0.5))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 7.2e-84) {
		tmp = 0.5 * sqrt((1.0 / z));
	} else {
		tmp = 0.5 * pow(x, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (x <= 7.2d-84) then
        tmp = 0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))
    else
        tmp = 0.5d0 * (x ** (-0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 7.2e-84) {
		tmp = 0.5 * Math.sqrt((1.0 / z));
	} else {
		tmp = 0.5 * Math.pow(x, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if x <= 7.2e-84:
		tmp = 0.5 * math.sqrt((1.0 / z))
	else:
		tmp = 0.5 * math.pow(x, -0.5)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (x <= 7.2e-84)
		tmp = Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z)));
	else
		tmp = Float64(0.5 * (x ^ -0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 7.2e-84)
		tmp = 0.5 * sqrt((1.0 / z));
	else
		tmp = 0.5 * (x ^ -0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[x, 7.2e-84], N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 7.20000000000000007e-84

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 71.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 46.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 46.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 6.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 6.9%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}} \]

   if 7.20000000000000007e-84 < x

   1. Initial program 86.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 70.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 70.4%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 11.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 11.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{x}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

      3. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{\frac{1}{2}}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      6. pow-flip N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

      8. metadata-eval 11.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. Applied egg-rr 11.1%

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{-0.5} \cdot 0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 9.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 7.2 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot {x}^{-0.5}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 12.5% accurate, 7.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.9 \cdot 10^{-49}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot {x}^{-0.5}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.9e-49) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))) (* 0.5 (pow x -0.5))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 2.9e-49) {
		tmp = 0.5 * sqrt((1.0 / y));
	} else {
		tmp = 0.5 * pow(x, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.9d-49) then
        tmp = 0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))
    else
        tmp = 0.5d0 * (x ** (-0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 2.9e-49) {
		tmp = 0.5 * Math.sqrt((1.0 / y));
	} else {
		tmp = 0.5 * Math.pow(x, -0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if x <= 2.9e-49:
		tmp = 0.5 * math.sqrt((1.0 / y))
	else:
		tmp = 0.5 * math.pow(x, -0.5)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.9e-49)
		tmp = Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y)));
	else
		tmp = Float64(0.5 * (x ^ -0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.9e-49)
		tmp = 0.5 * sqrt((1.0 / y));
	else
		tmp = 0.5 * (x ^ -0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[x, 2.9e-49], N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.9e-49

   1. Initial program 97.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 31.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 26.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 26.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 17.7%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 17.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{t}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)} \]

   12. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 7.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 7.3%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]

   if 2.9e-49 < x

   1. Initial program 84.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 77.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.7%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 11.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 11.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{x}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

      3. sqrt-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{\frac{1}{2}}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      6. pow-flip N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

      8. metadata-eval 11.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. Applied egg-rr 11.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{-0.5} \cdot 0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 9.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.9 \cdot 10^{-49}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot {x}^{-0.5}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 10.8% accurate, 7.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.5 \cdot {x}^{-0.5} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.5 (pow x -0.5)))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * pow(x, -0.5);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.5d0 * (x ** (-0.5d0))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * Math.pow(x, -0.5);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.5 * math.pow(x, -0.5)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.5 * (x ^ -0.5))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.5 * (x ^ -0.5);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.5 * N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 90.5%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 44.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 44.4%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 9.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

8. Simplified 9.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{x}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   3. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{\frac{1}{2}}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. metadata-eval 9.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

10. Applied egg-rr 9.0%

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{-0.5} \cdot 0.5} \]

11. Final simplification 9.0%

    \[\leadsto 0.5 \cdot {x}^{-0.5} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 22: 10.8% accurate, 8.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \frac{0.5}{\sqrt{x}} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (/ 0.5 (sqrt x)))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 / sqrt(x);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.5d0 / sqrt(x)
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 / Math.sqrt(x);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.5 / math.sqrt(x)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.5 / sqrt(x))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.5 / sqrt(x);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.5 / N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 90.5%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 44.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 44.4%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 9.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

8. Simplified 9.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{x}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{x}}} \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\sqrt{x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 9.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 9.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\sqrt{x}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 23: 3.5% accurate, 117.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.0625 \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* (* x (* x x)) 0.0625))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (x * (x * x)) * 0.0625;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (x * (x * x)) * 0.0625d0
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (x * (x * x)) * 0.0625;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return (x * (x * x)) * 0.0625

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(x * Float64(x * x)) * 0.0625)
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (x * (x * x)) * 0.0625;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.0625), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 90.5%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 51.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 51.5%

   \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{16} \cdot x + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot x\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

   12. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{16}\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 28.4%

   \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.0625 + -0.125\right)\right) - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot {x}^{3}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 3.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 3.9%

    \[\leadsto \color{blue}{0.0625 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

12. Final simplification 3.9%

    \[\leadsto \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.0625 \]
13. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right) + \frac{1}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))))
   (/ 1.0 (+ (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((1.0d0 / (sqrt((x + 1.0d0)) + sqrt(x))) + (1.0d0 / (sqrt((y + 1.0d0)) + sqrt(y)))) + (1.0d0 / (sqrt((z + 1.0d0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (Math.sqrt((x + 1.0)) + Math.sqrt(x))) + (1.0 / (Math.sqrt((y + 1.0)) + Math.sqrt(y)))) + (1.0 / (Math.sqrt((z + 1.0)) + Math.sqrt(z)))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((1.0 / (math.sqrt((x + 1.0)) + math.sqrt(x))) + (1.0 / (math.sqrt((y + 1.0)) + math.sqrt(y)))) + (1.0 / (math.sqrt((z + 1.0)) + math.sqrt(z)))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + sqrt(x))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) + sqrt(y)))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) + sqrt(z)))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024160 
(FPCore (x y z t)
  :name "Main:z from "
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ (+ (+ (/ 1 (+ (sqrt (+ x 1)) (sqrt x))) (/ 1 (+ (sqrt (+ y 1)) (sqrt y)))) (/ 1 (+ (sqrt (+ z 1)) (sqrt z)))) (- (sqrt (+ t 1)) (sqrt t))))

  (+ (+ (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))) (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))) (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))