2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.2% → 99.6%

Time: 18.6s

Alternatives: 14

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := t\_0 \cdot \left(t\_0 + 1\right)\\ t_2 := t\_0 \cdot -0.3333333333333333\\ t_3 := \tan x + {\tan x}^{3}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(t\_3 + \varepsilon \cdot \left(\left(t\_1 + \left(0.3333333333333333 - t\_2\right)\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \left(\left(\left(t\_1 - 0.16666666666666666\right) - t\_2\right) - -0.5\right) - t\_3 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (* t_0 (+ t_0 1.0)))
        (t_2 (* t_0 -0.3333333333333333))
        (t_3 (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        t_3
        (*
         eps
         (+
          (+ t_1 (- 0.3333333333333333 t_2))
          (*
           eps
           (-
            (* (tan x) (- (- (- t_1 0.16666666666666666) t_2) -0.5))
            (* t_3 -0.3333333333333333))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 * (t_0 + 1.0);
	double t_2 = t_0 * -0.3333333333333333;
	double t_3 = tan(x) + pow(tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_3 + (eps * ((t_1 + (0.3333333333333333 - t_2)) + (eps * ((tan(x) * (((t_1 - 0.16666666666666666) - t_2) - -0.5)) - (t_3 * -0.3333333333333333)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = t_0 * (t_0 + 1.0d0)
    t_2 = t_0 * (-0.3333333333333333d0)
    t_3 = tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_3 + (eps * ((t_1 + (0.3333333333333333d0 - t_2)) + (eps * ((tan(x) * (((t_1 - 0.16666666666666666d0) - t_2) - (-0.5d0))) - (t_3 * (-0.3333333333333333d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 * (t_0 + 1.0);
	double t_2 = t_0 * -0.3333333333333333;
	double t_3 = Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_3 + (eps * ((t_1 + (0.3333333333333333 - t_2)) + (eps * ((Math.tan(x) * (((t_1 - 0.16666666666666666) - t_2) - -0.5)) - (t_3 * -0.3333333333333333)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = t_0 * (t_0 + 1.0)
	t_2 = t_0 * -0.3333333333333333
	t_3 = math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_3 + (eps * ((t_1 + (0.3333333333333333 - t_2)) + (eps * ((math.tan(x) * (((t_1 - 0.16666666666666666) - t_2) - -0.5)) - (t_3 * -0.3333333333333333)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(t_0 * Float64(t_0 + 1.0))
	t_2 = Float64(t_0 * -0.3333333333333333)
	t_3 = Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(t_3 + Float64(eps * Float64(Float64(t_1 + Float64(0.3333333333333333 - t_2)) + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) * Float64(Float64(Float64(t_1 - 0.16666666666666666) - t_2) - -0.5)) - Float64(t_3 * -0.3333333333333333))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = t_0 * (t_0 + 1.0);
	t_2 = t_0 * -0.3333333333333333;
	t_3 = tan(x) + (tan(x) ^ 3.0);
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_3 + (eps * ((t_1 + (0.3333333333333333 - t_2)) + (eps * ((tan(x) * (((t_1 - 0.16666666666666666) - t_2) - -0.5)) - (t_3 * -0.3333333333333333)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(t$95$3 + N[(eps * N[(N[(t$95$1 + N[(0.3333333333333333 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$1 - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] - t$95$2), $MachinePrecision] - -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$3 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \left(\left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) - 0.16666666666666666\right) - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - -0.5\right) - \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := {\tan x}^{3}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left(t\_1 + \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + \left({\tan x}^{4} + \left(0.3333333333333333 + t\_0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(\tan x + \left(\tan x + t\_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)) (t_1 (pow (tan x) 3.0)))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        (tan x)
        (+
         t_1
         (*
          eps
          (-
           (+
            t_0
            (+
             (pow (tan x) 4.0)
             (+ 0.3333333333333333 (* t_0 0.3333333333333333))))
           (*
            eps
            (* -0.3333333333333333 (+ (tan x) (+ (tan x) t_1))))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = pow(tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (tan(x) + (t_1 + (eps * ((t_0 + (pow(tan(x), 4.0) + (0.3333333333333333 + (t_0 * 0.3333333333333333)))) - (eps * (-0.3333333333333333 * (tan(x) + (tan(x) + t_1)))))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = tan(x) ** 3.0d0
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps * (tan(x) + (t_1 + (eps * ((t_0 + ((tan(x) ** 4.0d0) + (0.3333333333333333d0 + (t_0 * 0.3333333333333333d0)))) - (eps * ((-0.3333333333333333d0) * (tan(x) + (tan(x) + t_1)))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (Math.tan(x) + (t_1 + (eps * ((t_0 + (Math.pow(Math.tan(x), 4.0) + (0.3333333333333333 + (t_0 * 0.3333333333333333)))) - (eps * (-0.3333333333333333 * (Math.tan(x) + (Math.tan(x) + t_1)))))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.tan(x), 3.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (math.tan(x) + (t_1 + (eps * ((t_0 + (math.pow(math.tan(x), 4.0) + (0.3333333333333333 + (t_0 * 0.3333333333333333)))) - (eps * (-0.3333333333333333 * (math.tan(x) + (math.tan(x) + t_1)))))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = tan(x) ^ 3.0
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(tan(x) + Float64(t_1 + Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + Float64((tan(x) ^ 4.0) + Float64(0.3333333333333333 + Float64(t_0 * 0.3333333333333333)))) - Float64(eps * Float64(-0.3333333333333333 * Float64(tan(x) + Float64(tan(x) + t_1))))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = tan(x) ^ 3.0;
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps * (tan(x) + (t_1 + (eps * ((t_0 + ((tan(x) ^ 4.0) + (0.3333333333333333 + (t_0 * 0.3333333333333333)))) - (eps * (-0.3333333333333333 * (tan(x) + (tan(x) + t_1)))))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 + N[(t$95$0 * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(-0.3333333333333333 * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{-1}{3}}, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 99.8%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{-0.3333333333333333} \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

12. Applied egg-rr 99.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left({\tan x}^{3} + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \left({\tan x}^{4} + \left(0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(\tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon} + \varepsilon \]

13. Final simplification 99.8%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left({\tan x}^{3} + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \left({\tan x}^{4} + \left(0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(\tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := \tan x + {\tan x}^{3}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(t\_1 + \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 \cdot \left(t\_0 + 1\right) + \left(0.3333333333333333 - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(t\_1 \cdot -0.3333333333333333 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)) (t_1 (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        t_1
        (*
         eps
         (-
          (+
           (* t_0 (+ t_0 1.0))
           (- 0.3333333333333333 (* t_0 -0.3333333333333333)))
          (*
           eps
           (+ (* t_1 -0.3333333333333333) (* x -0.3333333333333333))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = tan(x) + pow(tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0)) + (0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0d0)) + (0.3333333333333333d0 - (t_0 * (-0.3333333333333333d0)))) - (eps * ((t_1 * (-0.3333333333333333d0)) + (x * (-0.3333333333333333d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0)) + (0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0)) + (0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(t_1 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(t_0 * Float64(t_0 + 1.0)) + Float64(0.3333333333333333 - Float64(t_0 * -0.3333333333333333))) - Float64(eps * Float64(Float64(t_1 * -0.3333333333333333) + Float64(x * -0.3333333333333333))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = tan(x) + (tan(x) ^ 3.0);
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0)) + (0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(t$95$1 + N[(eps * N[(N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(t$95$1 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.7%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{x \cdot -0.3333333333333333} + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 \cdot \left(t\_0 + 1\right) + \left(0.3333333333333333 - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333 + \tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))
        (*
         eps
         (-
          (+
           (* t_0 (+ t_0 1.0))
           (- 0.3333333333333333 (* t_0 -0.3333333333333333)))
          (*
           eps
           (+
            (* x -0.3333333333333333)
            (* (tan x) -0.3333333333333333))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0)) + (0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((x * -0.3333333333333333) + (tan(x) * -0.3333333333333333)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0d0)) + (0.3333333333333333d0 - (t_0 * (-0.3333333333333333d0)))) - (eps * ((x * (-0.3333333333333333d0)) + (tan(x) * (-0.3333333333333333d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0)) + (0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((x * -0.3333333333333333) + (Math.tan(x) * -0.3333333333333333)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0)) + (0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((x * -0.3333333333333333) + (math.tan(x) * -0.3333333333333333)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(t_0 * Float64(t_0 + 1.0)) + Float64(0.3333333333333333 - Float64(t_0 * -0.3333333333333333))) - Float64(eps * Float64(Float64(x * -0.3333333333333333) + Float64(tan(x) * -0.3333333333333333))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + (eps * (((t_0 * (t_0 + 1.0)) + (0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((x * -0.3333333333333333) + (tan(x) * -0.3333333333333333)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{-1}{3}}, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 99.8%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{-0.3333333333333333} \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \left(x \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 99.7%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \tan x + \color{blue}{x \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

14. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333 + \tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (pow (tan x) 2.0)
    (*
     eps
     (+
      (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))
      (+
       (* eps 0.3333333333333333)
       (* 0.6666666666666666 (* x (* eps eps))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (pow(tan(x), 2.0) + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + ((eps * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * (x * (eps * eps))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + ((eps * 0.3333333333333333d0) + (0.6666666666666666d0 * (x * (eps * eps))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + ((eps * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * (x * (eps * eps))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + ((eps * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * (x * (eps * eps))))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(Float64(eps * 0.3333333333333333) + Float64(0.6666666666666666 * Float64(x * Float64(eps * eps)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((tan(x) ^ 2.0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + ((eps * 0.3333333333333333) + (0.6666666666666666 * (x * (eps * eps))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * N[(x * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon + \frac{2}{3} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon + \left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon\right), \left(\left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right), \left(\left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(x \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)}\right)\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (pow (tan x) 2.0)
    (* eps (+ (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0)) (* eps 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (pow(tan(x), 2.0) + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + (eps * 0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(eps * 0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((tan(x) ^ 2.0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot 0.3333333333333333}\right)\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.1% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (pow (tan x) 2.0)
    (+
     (* 0.3333333333333333 (* eps eps))
     (* (* eps x) (+ 1.0 (* 0.6666666666666666 (* eps eps)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (pow(tan(x), 2.0) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0 + (0.6666666666666666 * (eps * eps)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + ((0.3333333333333333d0 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0d0 + (0.6666666666666666d0 * (eps * eps)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0 + (0.6666666666666666 * (eps * eps)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0 + (0.6666666666666666 * (eps * eps)))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)) + Float64(Float64(eps * x) * Float64(1.0 + Float64(0.6666666666666666 * Float64(eps * eps))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((tan(x) ^ 2.0) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0 + (0.6666666666666666 * (eps * eps)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(eps * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.6666666666666666 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot x\right), \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+ eps (* eps (+ (pow (tan x) 2.0) (* 0.3333333333333333 (* eps eps))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (pow(tan(x), 2.0) + (0.3333333333333333 * (eps * eps))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + (0.3333333333333333d0 * (eps * eps))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + (0.3333333333333333 * (eps * eps))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + (0.3333333333333333 * (eps * eps))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((tan(x) ^ 2.0) + (0.3333333333333333 * (eps * eps))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.5% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (* 0.3333333333333333 (* eps eps))
    (*
     x
     (+
      (* x (+ 1.0 (* (* eps eps) 1.3333333333333333)))
      (* eps (+ 1.0 (* 0.6666666666666666 (* eps eps))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (x * ((x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))) + (eps * (1.0 + (0.6666666666666666 * (eps * eps))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((0.3333333333333333d0 * (eps * eps)) + (x * ((x * (1.0d0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333d0))) + (eps * (1.0d0 + (0.6666666666666666d0 * (eps * eps))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (x * ((x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))) + (eps * (1.0 + (0.6666666666666666 * (eps * eps))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (x * ((x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))) + (eps * (1.0 + (0.6666666666666666 * (eps * eps))))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)) + Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(eps * eps) * 1.3333333333333333))) + Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(0.6666666666666666 * Float64(eps * eps)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (x * ((x * (1.0 + ((eps * eps) * 1.3333333333333333))) + (eps * (1.0 + (0.6666666666666666 * (eps * eps))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[(x * N[(1.0 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 1.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(1.0 + N[(0.6666666666666666 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + \left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)} + \varepsilon \]

11. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.5% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ (* 0.3333333333333333 (* eps eps)) (+ 1.0 (* x (+ eps x))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (1.0 + (x * (eps + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((0.3333333333333333d0 * (eps * eps)) + (1.0d0 + (x * (eps + x))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (1.0 + (x * (eps + x))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (1.0 + (x * (eps + x))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)) + Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (1.0 + (x * (eps + x))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(x * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right) + \color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot x + {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot x + x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    3. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 98.4% accurate, 22.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ 1.0 (* x (+ eps x)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * (eps + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (x * (eps + x)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * (eps + x)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (x * (eps + x)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (x * (eps + x)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(x * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right) + \color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot x + {x}^{2}\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\varepsilon \cdot x + {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot x + x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    4. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 98.4% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* eps (* x x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * (x * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (x * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (x * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * (x * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right) + \color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + {x}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(x \cdot x + \color{blue}{1}\right) \]

    2. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon + \color{blue}{1 \cdot \varepsilon} \]

    3. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon + \varepsilon \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right) + \varepsilon} \]

14. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 13: 98.4% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ 1.0 (* x x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (x * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + 1\right) + \color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + {x}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 98.0% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 65.0%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \varepsilon, \color{blue}{\cos \varepsilon}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \cos \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 98.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right) \]

5. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024160 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))