Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 21.2s

Alternatives: 14

Speedup: 0.7×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{t\_0}} + \frac{1 - u}{1 + t\_0}\right)}^{-2}}{-1 + \frac{1}{\frac{u}{-1 + \frac{-1}{t\_0}} + \frac{1 - u}{-1 - t\_0}}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))))
   (*
    (- s)
    (log
     (/
      (-
       1.0
       (pow (+ (/ u (+ 1.0 (/ 1.0 t_0))) (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 t_0))) -2.0))
      (+
       -1.0
       (/ 1.0 (+ (/ u (+ -1.0 (/ -1.0 t_0))) (/ (- 1.0 u) (- -1.0 t_0))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf(((1.0f - powf(((u / (1.0f + (1.0f / t_0))) + ((1.0f - u) / (1.0f + t_0))), -2.0f)) / (-1.0f + (1.0f / ((u / (-1.0f + (-1.0f / t_0))) + ((1.0f - u) / (-1.0f - t_0)))))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) - (Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + t_0))) ^ Float32(-2.0))) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(-1.0) / t_0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) - t_0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	tmp = -s * log(((single(1.0) - (((u / (single(1.0) + (single(1.0) / t_0))) + ((single(1.0) - u) / (single(1.0) + t_0))) ^ single(-2.0))) / (single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(-1.0) + (single(-1.0) / t_0))) + ((single(1.0) - u) / (single(-1.0) - t_0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right), \left(-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}\right)} \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 + \frac{1}{\frac{u}{-1 + \frac{-1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + {\left({\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{t\_0}} + \frac{1 - u}{1 + t\_0}\right)}^{2}\right)}^{-0.5}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))))
   (*
    (- s)
    (log
     (+
      -1.0
      (pow
       (pow (+ (/ u (+ 1.0 (/ 1.0 t_0))) (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 t_0))) 2.0)
       -0.5))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf((-1.0f + powf(powf(((u / (1.0f + (1.0f / t_0))) + ((1.0f - u) / (1.0f + t_0))), 2.0f), -0.5f)));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + ((Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + t_0))) ^ Float32(2.0)) ^ Float32(-0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	tmp = -s * log((single(-1.0) + ((((u / (single(1.0) + (single(1.0) / t_0))) + ((single(1.0) - u) / (single(1.0) + t_0))) ^ single(2.0)) ^ single(-0.5))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-1}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({\left(\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), \left(\frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{{\left({\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{2}\right)}^{-0.5}} + -1\right) \]

7. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + {\left({\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{2}\right)}^{-0.5}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\mathsf{expm1}\left(-\log \left(\frac{u}{1 + \frac{1}{t\_0}} + \frac{1 - u}{1 + t\_0}\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))))
   (*
    (- s)
    (log
     (expm1
      (- (log (+ (/ u (+ 1.0 (/ 1.0 t_0))) (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 t_0))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf(expm1f(-logf(((u / (1.0f + (1.0f / t_0))) + ((1.0f - u) / (1.0f + t_0))))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	return Float32(Float32(-s) * log(expm1(Float32(-log(Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + t_0))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + -1\right)\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(1, \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(1, \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, \mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right)\right)\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right)\right)\right) \]

   6. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left({\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-1} - 1\right)\right)\right) \]

   7. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(e^{\log \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot -1} - 1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(-\log \left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s} \cdot \left(\frac{\pi}{s} \cdot \frac{s}{\pi}\right)}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ u (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s)))))
      (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 (exp (* (/ PI s) (* (/ PI s) (/ s PI))))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / ((u / (1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))))) + ((1.0f - u) / (1.0f + expf(((((float) M_PI) / s) * ((((float) M_PI) / s) * (s / ((float) M_PI)))))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(s / Float32(pi))))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(1.0) + exp((single(0.0) - (single(pi) / s))))) + ((single(1.0) - u) / (single(1.0) + exp(((single(pi) / s) * ((single(pi) / s) * (s / single(pi)))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \left(0 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 0\right)\right)}{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 0 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(0 + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 0 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)}{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(0 \cdot 0 + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 0 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)}{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   10. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(0 \cdot 0 + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 0 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   11. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 0 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + 0 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{\pi}{s} \cdot \pi}{s}}{\frac{\pi}{s}}}}}} + -1\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \cdot \frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right), \left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{\pi}{s} \cdot \left(\frac{\pi}{s} \cdot \frac{s}{\pi}\right)}}}} + -1\right) \]

9. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s} \cdot \left(\frac{\pi}{s} \cdot \frac{s}{\pi}\right)}}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 (exp (/ PI s))))
      (/ u (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / (((1.0f - u) / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)))) + (u / (1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))) + Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / (((single(1.0) - u) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)))) + (u / (single(1.0) + exp((single(0.0) - (single(pi) / s)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right), \left(-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}\right)}^{2} - {\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{2}}, \frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} - \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}, -1\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{2} - {\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + -1\right)}\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \color{blue}{\left(\frac{1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{2} - {\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + -1\right)}\right) \]

   3. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{{\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{2} - {\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{2}} \cdot \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} - \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) + -1\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]

11. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 25.0% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot \left(u \cdot \pi\right)}{1 + \frac{\pi}{s}} - s \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (- (/ (* 2.0 (* u PI)) (+ 1.0 (/ PI s))) (* s (log1p (/ PI s)))))

C

float code(float u, float s) {
	return ((2.0f * (u * ((float) M_PI))) / (1.0f + (((float) M_PI) / s))) - (s * log1pf((((float) M_PI) / s)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(u * Float32(pi))) / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(pi) / s))) - Float32(s * log1p(Float32(Float32(pi) / s))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot 4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \left(u \cdot -0.25 + 0.25\right) + \pi \cdot \left(u \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right) + 2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(s \cdot \log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot s\right) \cdot \log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right) \]

   6. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right) \]

   7. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right) \]

   10. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right)\right), \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right)\right), \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right), \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   17. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 24.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) + \frac{2 \cdot \left(\pi \cdot u\right)}{1 + \frac{\pi}{s}}} \]

11. Final simplification 24.6%

    \[\leadsto \frac{2 \cdot \left(u \cdot \pi\right)}{1 + \frac{\pi}{s}} - s \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 25.0% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \frac{\pi}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (- s) (log (+ 1.0 (/ PI s)))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((1.0f + (((float) M_PI) / s)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(pi) / s))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(1.0) + (single(pi) / s)));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot 4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \left(u \cdot -0.25 + 0.25\right) + \pi \cdot \left(u \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 24.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \frac{\pi}{s}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 25.0% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (- s) (log1p (/ PI s))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * log1pf((((float) M_PI) / s));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log1p(Float32(Float32(pi) / s)))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot 4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \left(u \cdot -0.25 + 0.25\right) + \pi \cdot \left(u \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 24.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 14.0% accurate, 18.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{s \cdot s}{-s} \cdot \frac{4 \cdot \left(\left(u \cdot \pi\right) \cdot -0.25 + \pi \cdot \left(0.25 + u \cdot -0.25\right)\right)}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (/ (* s s) (- s))
  (/ (* 4.0 (+ (* (* u PI) -0.25) (* PI (+ 0.25 (* u -0.25))))) s)))

C

float code(float u, float s) {
	return ((s * s) / -s) * ((4.0f * (((u * ((float) M_PI)) * -0.25f) + (((float) M_PI) * (0.25f + (u * -0.25f))))) / s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(s * s) / Float32(-s)) * Float32(Float32(Float32(4.0) * Float32(Float32(Float32(u * Float32(pi)) * Float32(-0.25)) + Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(0.25) + Float32(u * Float32(-0.25)))))) / s))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = ((s * s) / -s) * ((single(4.0) * (((u * single(pi)) * single(-0.25)) + (single(pi) * (single(0.25) + (u * single(-0.25)))))) / s);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + 4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot 4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \left(u \cdot -0.25 + 0.25\right) + \pi \cdot \left(u \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(4, s\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(4, s\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(4, s\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(4, s\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(4, s\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(4, s\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 20.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(4, s\right)\right)}\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 20.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}} \cdot \log \left(1 + \left(\pi \cdot \left(u \cdot -0.25 + 0.25\right) + \pi \cdot \left(u \cdot -0.25\right)\right) \cdot \frac{4}{s}\right) \]

10. Taylor expanded in s around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)}{s}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \left(\frac{4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)}{\color{blue}{s}}\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(4 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{1}{4} + \frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(\frac{-1}{4} \cdot u\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(u \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 13.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(u, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), s\right)\right) \]

12. Simplified 13.9%

    \[\leadsto \frac{0 - s \cdot s}{0 + s} \cdot \color{blue}{\frac{4 \cdot \left(-0.25 \cdot \left(u \cdot \pi\right) + \pi \cdot \left(0.25 + u \cdot -0.25\right)\right)}{s}} \]

13. Final simplification 13.9%

    \[\leadsto \frac{s \cdot s}{-s} \cdot \frac{4 \cdot \left(\left(u \cdot \pi\right) \cdot -0.25 + \pi \cdot \left(0.25 + u \cdot -0.25\right)\right)}{s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 13.8% accurate, 43.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot s}{-s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (/ PI s) (/ (* s s) (- s))))

C

float code(float u, float s) {
	return (((float) M_PI) / s) * ((s * s) / -s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(Float32(s * s) / Float32(-s)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(pi) / s) * ((s * s) / -s);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 10.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 10.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(0 + s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 - s}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{0 - s \cdot s}{0 - s}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   4. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(s \cdot s\right)}{0 - s}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   5. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(s \cdot s\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   6. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{s \cdot s}{s}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   7. distribute-frac-neg2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{s \cdot s}{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(s \cdot s\right), \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   10. neg-lowering-neg.f32 13.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, s\right), \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 13.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{s \cdot s}{-s}} \cdot \frac{\pi}{s} \]

10. Final simplification 13.5%

    \[\leadsto \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot s}{-s} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 11.3% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-1}{\frac{s}{s \cdot \pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (/ -1.0 (/ s (* s PI))))

C

float code(float u, float s) {
	return -1.0f / (s / (s * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-1.0) / Float32(s / Float32(s * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(-1.0) / (s / (s * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 10.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 10.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\color{blue}{s}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{s}{\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{s}{\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 10.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 10.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{s}{\left(-s\right) \cdot \pi}}} \]

10. Final simplification 10.9%

    \[\leadsto \frac{-1}{\frac{s}{s \cdot \pi}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 11.3% accurate, 72.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{s}{\frac{-s}{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (/ s (/ (- s) PI)))

C

float code(float u, float s) {
	return s / (-s / ((float) M_PI));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s / Float32(Float32(-s) / Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s / (-s / single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 10.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 10.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(s\right)}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\frac{\color{blue}{s}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 10.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 10.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-s}{\frac{s}{\pi}}} \]

10. Final simplification 10.9%

    \[\leadsto \frac{s}{\frac{-s}{\pi}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 11.3% accurate, 216.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 10.9%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 10.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 14: 10.3% accurate, 433.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 0.0)

C

float code(float u, float s) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(u, s)
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: s
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(u, s)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{1}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 10.5%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot 0 \]

   2. mul0-rgt 10.5%

      \[\leadsto 0 \]

9. Applied egg-rr 10.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024160 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))