UniformSampleCone, y

Percentage Accurate: 57.7% → 98.2%

Time: 20.9s

Alternatives: 20

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.2% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\\ t_1 := t\_0 - maxCos\\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{\frac{1 + t\_1 \cdot \left(t\_0 + \left(-1 - maxCos\right)\right)}{1 + t\_1 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right)}}{ux}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))))
        (t_1 (- t_0 maxCos)))
   (*
    (sin (* uy (* 2.0 PI)))
    (sqrt
     (/
      1.0
      (/
       (/ (+ 1.0 (* t_1 (+ t_0 (- -1.0 maxCos)))) (+ 1.0 (* t_1 (* t_1 t_1))))
       ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)));
	float t_1 = t_0 - maxCos;
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((1.0f / (((1.0f + (t_1 * (t_0 + (-1.0f - maxCos)))) / (1.0f + (t_1 * (t_1 * t_1)))) / ux)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))))
	t_1 = Float32(t_0 - maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(t_0 + Float32(Float32(-1.0) - maxCos)))) / Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(t_1 * t_1)))) / ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)));
	t_1 = t_0 - maxCos;
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((single(1.0) / (((single(1.0) + (t_1 * (t_0 + (single(-1.0) - maxCos)))) / (single(1.0) + (t_1 * (t_1 * t_1)))) / ux)));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) - 1 \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) - 1 \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}{{1}^{3} + {\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)}^{3}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) - 1 \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}{{1}^{3} + {\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) - 1 \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)\right), \left({1}^{3} + {\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{ux}{\frac{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{\frac{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}}{ux}}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.3%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - \left(1 + maxCos\right)\right)}{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}}{ux}}}} \]

12. Final simplification 98.3%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\frac{\frac{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 - maxCos\right)\right)}{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}}{ux}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.3% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \frac{1}{\frac{1 + t\_0 \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{1 + t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (- (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) maxCos)))
   (*
    (sin (* uy (* 2.0 PI)))
    (sqrt
     (*
      ux
      (/ 1.0 (/ (+ 1.0 (* t_0 (+ -1.0 t_0))) (+ 1.0 (* t_0 (* t_0 t_0))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos;
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (1.0f / ((1.0f + (t_0 * (-1.0f + t_0))) / (1.0f + (t_0 * (t_0 * t_0)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(Float32(-1.0) + t_0))) / Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(t_0 * t_0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos;
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(1.0) / ((single(1.0) + (t_0 * (single(-1.0) + t_0))) / (single(1.0) + (t_0 * (t_0 * t_0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) - 1 \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) - 1 \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}{{1}^{3} + {\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)}^{3}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) - 1 \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}{{1}^{3} + {\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right) - 1 \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)\right), \left({1}^{3} + {\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}}}} \]

10. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \frac{1}{\frac{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(-1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}{1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \frac{2 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)}{ux}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (*
    (* ux ux)
    (/
     (+ 2.0 (- (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (* 2.0 maxCos)))
     ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((ux * ux) * ((2.0f + (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) - (2.0f * maxCos))) / ux)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos))) / ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt(((ux * ux) * ((single(2.0) + (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) - (single(2.0) * maxCos))) / ux)));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{maxCos - 1}{ux}\right)\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right), \left(\frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos}{ux}\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.2%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\frac{2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)}{ux}}} \]

11. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \frac{2 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)}{ux}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* PI (* uy 2.0)))
  (sqrt
   (*
    (* ux ux)
    (+ (* 2.0 (/ (- 1.0 maxCos) ux)) (* (+ maxCos -1.0) (- 1.0 maxCos)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf(((ux * ux) * ((2.0f * ((1.0f - maxCos) / ux)) + ((maxCos + -1.0f) * (1.0f - maxCos)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) / ux)) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(1.0) - maxCos))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt(((ux * ux) * ((single(2.0) * ((single(1.0) - maxCos) / ux)) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(1.0) - maxCos)))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) - {\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

6. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ 1.0 (- (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) maxCos))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (1.0f + (((maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(1.0) + (((maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (+ (* ux (- 2.0 ux)) (* (* maxCos ux) (+ (* 2.0 ux) -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((ux * (2.0f - ux)) + ((maxCos * ux) * ((2.0f * ux) + -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)) + Float32(Float32(maxCos * ux) * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt(((ux * (single(2.0) - ux)) + ((maxCos * ux) * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{maxCos - 1}{ux}\right)\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right), \left(\frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos}{ux}\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.2%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\frac{2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)}{ux}}} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot ux\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 97.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{neg.f32}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 97.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + \left(-ux\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)}} \]

14. Final simplification 97.4%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.014999999664723873:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \pi + uy \cdot \left(\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.014999999664723873)
   (*
    (+ (* 2.0 PI) (* uy (* (* uy (* PI (* PI PI))) -1.3333333333333333)))
    (*
     uy
     (pow
      (*
       ux
       (+ (- 1.0 maxCos) (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos))))))
      0.5)))
   (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.014999999664723873f) {
		tmp = ((2.0f * ((float) M_PI)) + (uy * ((uy * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * -1.3333333333333333f))) * (uy * powf((ux * ((1.0f - maxCos) + ((maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))))), 0.5f));
	} else {
		tmp = sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.014999999664723873))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(uy * Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(-1.3333333333333333)))) * Float32(uy * (Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))))) ^ Float32(0.5))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.014999999664723873))
		tmp = ((single(2.0) * single(pi)) + (uy * ((uy * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * single(-1.3333333333333333)))) * (uy * ((ux * ((single(1.0) - maxCos) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))))) ^ single(0.5)));
	else
		tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0149999997

   1. Initial program 60.7%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 60.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)} \]

   12. Applied egg-rr 98.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \pi + uy \cdot \left(\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}^{0.5}\right)} \]

   if 0.0149999997 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 65.9%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{maxCos - 1}{ux}\right)\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right), \left(\frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.3%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos}{ux}\right)}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 97.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 97.4%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\frac{2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)}{ux}}} \]

   11. Taylor expanded in maxCos around -inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}{maxCos} + ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)}{maxCos} + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}{maxCos} + ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)}{maxCos} + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}{maxCos} + ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)}{maxCos} + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}{maxCos} + ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)}{maxCos} + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1 \cdot \frac{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}{maxCos} + ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)}{maxCos} + {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \left(\frac{-1 \cdot \frac{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}{maxCos} + ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)}{maxCos} + {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot \frac{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}{maxCos} + ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)}{maxCos}\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 49.1%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\frac{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right) + \left(-ux \cdot \frac{2 + \left(-ux\right)}{maxCos}\right)}{maxCos} + ux \cdot ux\right)\right)}} \]

   14. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)}\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

       2. --lowering--.f32 90.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 90.0%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.014999999664723873:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \pi + uy \cdot \left(\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.2% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\frac{1}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (+ (* 2.0 PI) (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy uy)))))
  (sqrt
   (*
    (* ux ux)
    (+
     (/ (- 1.0 maxCos) ux)
     (- (+ (/ 1.0 ux) (* (+ maxCos -1.0) (- 1.0 maxCos))) (/ maxCos ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * uy))))) * sqrtf(((ux * ux) * (((1.0f - maxCos) / ux) + (((1.0f / ux) + ((maxCos + -1.0f) * (1.0f - maxCos))) - (maxCos / ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * uy))))) * sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) / ux) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / ux) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) - Float32(maxCos / ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * uy))))) * sqrt(((ux * ux) * (((single(1.0) - maxCos) / ux) + (((single(1.0) / ux) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(1.0) - maxCos))) - (maxCos / ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{maxCos - 1}{ux}\right)\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right), \left(\frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, ux\right)\right), \color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(maxCos, ux\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 89.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)} \]

11. Final simplification 89.2%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\frac{1}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 89.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \pi + uy \cdot \left(\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (+ (* 2.0 PI) (* uy (* (* uy (* PI (* PI PI))) -1.3333333333333333)))
  (*
   uy
   (pow
    (*
     ux
     (+ (- 1.0 maxCos) (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos))))))
    0.5))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((2.0f * ((float) M_PI)) + (uy * ((uy * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * -1.3333333333333333f))) * (uy * powf((ux * ((1.0f - maxCos) + ((maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))))), 0.5f));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(uy * Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(-1.3333333333333333)))) * Float32(uy * (Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))))) ^ Float32(0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = ((single(2.0) * single(pi)) + (uy * ((uy * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * single(-1.3333333333333333)))) * (uy * ((ux * ((single(1.0) - maxCos) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))))) ^ single(0.5)));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 89.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)} \]

12. Applied egg-rr 89.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \pi + uy \cdot \left(\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}^{0.5}\right)} \]

13. Final simplification 89.2%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \pi + uy \cdot \left(\left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot -1.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(uy \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 89.3% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ 1.0 (- (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) maxCos))))
  (*
   uy
   (+ (* 2.0 PI) (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy uy)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (1.0f + (((maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos)))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * uy)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos)))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * uy))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(1.0) + (((maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos)))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * uy)))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 89.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)} \]

11. Final simplification 89.1%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 88.7% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + \left(1 - ux\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (+ (* 2.0 PI) (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy uy)))))
  (sqrt (* ux (+ 1.0 (+ (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)) (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * uy))))) * sqrtf((ux * (1.0f + ((maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f)) + (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * uy))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) + Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * uy))))) * sqrt((ux * (single(1.0) + ((maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) + (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 89.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 88.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 88.6%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\left(-\left(ux + -1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)}} \]

14. Final simplification 88.6%

    \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 12: 87.6% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0003000000142492354:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + maxCos \cdot -2}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.0003000000142492354)
   (*
    (* 2.0 (* uy PI))
    (sqrt
     (*
      (* ux ux)
      (+ (/ (+ 2.0 (* maxCos -2.0)) ux) (* (+ maxCos -1.0) (- 1.0 maxCos))))))
   (*
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy uy)))))
    (sqrt (* ux (+ 1.0 (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.0003000000142492354f) {
		tmp = (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * ux) * (((2.0f + (maxCos * -2.0f)) / ux) + ((maxCos + -1.0f) * (1.0f - maxCos)))));
	} else {
		tmp = (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * uy))))) * sqrtf((ux * (1.0f + (1.0f - ux))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.0003000000142492354))
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))) / ux) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(1.0) - maxCos))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * uy))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.0003000000142492354))
		tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt(((ux * ux) * (((single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))) / ux) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(1.0) - maxCos)))));
	else
		tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * uy))))) * sqrt((ux * (single(1.0) + (single(1.0) - ux))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 3.00000014e-4

   1. Initial program 61.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 61.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2}{ux} - \frac{2 \cdot maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\frac{2 - 2 \cdot maxCos}{ux} - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{2 - 2 \cdot maxCos}{ux}\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. +-lowering-+.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + -2 \cdot maxCos}{ux} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

   if 3.00000014e-4 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 63.0%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 75.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 75.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f32 73.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 73.1%

       \[\leadsto \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0003000000142492354:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + maxCos \cdot -2}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 87.6% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0003000000142492354:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + maxCos \cdot -2}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.0003000000142492354)
   (*
    (* 2.0 (* uy PI))
    (sqrt
     (*
      (* ux ux)
      (+ (/ (+ 2.0 (* maxCos -2.0)) ux) (* (+ maxCos -1.0) (- 1.0 maxCos))))))
   (*
    (sqrt (* ux (+ 1.0 (- 1.0 ux))))
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* PI (* PI PI)) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.0003000000142492354f) {
		tmp = (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * ux) * (((2.0f + (maxCos * -2.0f)) / ux) + ((maxCos + -1.0f) * (1.0f - maxCos)))));
	} else {
		tmp = sqrtf((ux * (1.0f + (1.0f - ux)))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.0003000000142492354))
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))) / ux) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(1.0) - maxCos))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) - ux)))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.0003000000142492354))
		tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt(((ux * ux) * (((single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))) / ux) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(1.0) - maxCos)))));
	else
		tmp = sqrt((ux * (single(1.0) + (single(1.0) - ux)))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 3.00000014e-4

   1. Initial program 61.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 61.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2}{ux} - \frac{2 \cdot maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\frac{2 - 2 \cdot maxCos}{ux} - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{2 - 2 \cdot maxCos}{ux}\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. +-lowering-+.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + -2 \cdot maxCos}{ux} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

   if 3.00000014e-4 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 63.0%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 75.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 75.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       6. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       7. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 73.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0003000000142492354:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + maxCos \cdot -2}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 84.9% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 + maxCos \cdot -2\\ \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0044999998062849045:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{t\_0}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot t\_0}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))
   (if (<= (* uy 2.0) 0.0044999998062849045)
     (*
      (* 2.0 (* uy PI))
      (sqrt (* (* ux ux) (+ (/ t_0 ux) (* (+ maxCos -1.0) (- 1.0 maxCos))))))
     (*
      (+ (* 2.0 PI) (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy uy))))
      (* uy (sqrt (* ux t_0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f + (maxCos * -2.0f);
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.0044999998062849045f) {
		tmp = (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * ux) * ((t_0 / ux) + ((maxCos + -1.0f) * (1.0f - maxCos)))));
	} else {
		tmp = ((2.0f * ((float) M_PI)) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * uy)))) * (uy * sqrtf((ux * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.0044999998062849045))
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(t_0 / ux) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(1.0) - maxCos))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * uy)))) * Float32(uy * sqrt(Float32(ux * t_0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) + (maxCos * single(-2.0));
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.0044999998062849045))
		tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt(((ux * ux) * ((t_0 / ux) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(1.0) - maxCos)))));
	else
		tmp = ((single(2.0) * single(pi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * uy)))) * (uy * sqrt((ux * t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.00449999981

   1. Initial program 61.7%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 61.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2}{ux} - \frac{2 \cdot maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\frac{2 - 2 \cdot maxCos}{ux} - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{2 - 2 \cdot maxCos}{ux}\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. +-lowering-+.f32 96.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.4%

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + -2 \cdot maxCos}{ux} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

   if 0.00449999981 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 62.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} + \color{blue}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)} \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)} \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)} \cdot uy\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right), uy\right), \left(\color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      4. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)}\right), uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}\right), uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), uy\right), \left(\color{blue}{\frac{-4}{3}} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), uy\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 55.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)} \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0044999998062849045:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + maxCos \cdot -2}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 84.9% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 + maxCos \cdot -2\\ \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0044999998062849045:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{t\_0}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot t\_0}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))
   (if (<= (* uy 2.0) 0.0044999998062849045)
     (*
      (* 2.0 (* uy PI))
      (sqrt (* (* ux ux) (+ (/ t_0 ux) (* (+ maxCos -1.0) (- 1.0 maxCos))))))
     (*
      uy
      (*
       (+ (* 2.0 PI) (* (* PI (* PI PI)) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))
       (sqrt (* ux t_0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f + (maxCos * -2.0f);
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.0044999998062849045f) {
		tmp = (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * ux) * ((t_0 / ux) + ((maxCos + -1.0f) * (1.0f - maxCos)))));
	} else {
		tmp = uy * (((2.0f * ((float) M_PI)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))) * sqrtf((ux * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.0044999998062849045))
		tmp = Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(t_0 / ux) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(1.0) - maxCos))))));
	else
		tmp = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))) * sqrt(Float32(ux * t_0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) + (maxCos * single(-2.0));
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.0044999998062849045))
		tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt(((ux * ux) * ((t_0 / ux) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(1.0) - maxCos)))));
	else
		tmp = uy * (((single(2.0) * single(pi)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))) * sqrt((ux * t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.00449999981

   1. Initial program 61.7%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 61.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1}{ux} - \left(2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(\frac{2}{ux} - \frac{2 \cdot maxCos}{ux}\right) - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\frac{2 - 2 \cdot maxCos}{ux} - {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{2 - 2 \cdot maxCos}{ux}\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 - 2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. +-lowering-+.f32 96.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.4%

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + -2 \cdot maxCos}{ux} - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

   if 0.00449999981 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 62.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} + \color{blue}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)} \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 55.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{uy}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.3%

      \[\leadsto uy \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0044999998062849045:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 + maxCos \cdot -2}{ux} + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 84.9% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0044999998062849045:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.0044999998062849045)
   (*
    2.0
    (*
     (* uy PI)
     (sqrt
      (*
       ux
       (+ 2.0 (- (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (* 2.0 maxCos)))))))
   (*
    uy
    (*
     (+ (* 2.0 PI) (* (* PI (* PI PI)) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))
     (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.0044999998062849045f) {
		tmp = 2.0f * ((uy * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux * (2.0f + (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) - (2.0f * maxCos))))));
	} else {
		tmp = uy * (((2.0f * ((float) M_PI)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.0044999998062849045))
		tmp = Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)))))));
	else
		tmp = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.0044999998062849045))
		tmp = single(2.0) * ((uy * single(pi)) * sqrt((ux * (single(2.0) + (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) - (single(2.0) * maxCos))))));
	else
		tmp = uy * (((single(2.0) * single(pi)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.00449999981

   1. Initial program 61.7%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{maxCos - 1}{ux}\right)\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right), \left(\frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos}{ux}\right)}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\frac{2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)}{ux}}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 96.3%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00449999981 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 62.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right) + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} + \color{blue}{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)} \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 55.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{uy}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.3%

      \[\leadsto uy \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.0044999998062849045:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 81.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  2.0
  (*
   (* uy PI)
   (sqrt
    (*
     ux
     (+ 2.0 (- (* (+ maxCos -1.0) (* ux (- 1.0 maxCos))) (* 2.0 maxCos))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * ((uy * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux * (2.0f + (((maxCos + -1.0f) * (ux * (1.0f - maxCos))) - (2.0f * maxCos))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) - Float32(Float32(2.0) * maxCos)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * ((uy * single(pi)) * sqrt((ux * (single(2.0) + (((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) - (single(2.0) * maxCos))))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 62.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right)\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{maxCos - 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{maxCos - 1}{ux}\right)\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right) + \frac{1}{ux}\right), \left(\frac{maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) + \frac{1}{ux}\right) - \frac{maxCos}{ux}\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos}{ux}\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.2%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\frac{2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)}{ux}}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 81.1%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

14. Final simplification 81.1%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 75.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;ux \leq 9.999999747378752 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{1 + \left(-1 + ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= ux 9.999999747378752e-5)
     (* t_0 (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))
     (* t_0 (sqrt (+ 1.0 (* (+ -1.0 ux) (- 1.0 ux))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (ux <= 9.999999747378752e-5f) {
		tmp = t_0 * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
	} else {
		tmp = t_0 * sqrtf((1.0f + ((-1.0f + ux) * (1.0f - ux))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (ux <= Float32(9.999999747378752e-5))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))));
	else
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-1.0) + ux) * Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (ux <= single(9.999999747378752e-5))
		tmp = t_0 * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
	else
		tmp = t_0 * sqrt((single(1.0) + ((single(-1.0) + ux) * (single(1.0) - ux))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if ux < 9.99999975e-5

   1. Initial program 37.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 34.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 34.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 78.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 78.5%

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \]

   if 9.99999975e-5 < ux

   1. Initial program 89.2%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 74.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 74.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(1 - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(1 - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 71.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 71.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ux \leq 9.999999747378752 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(-1 + ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 65.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* 2.0 (* uy PI)) (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 63.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 63.8%

   \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \]

9. Final simplification 63.8%

   \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 20: 7.1% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 61.9%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 7.1%

   \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot {\left(1 - 1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot {0}^{\frac{1}{2}} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 0 \]

   4. mul0-rgt 7.1%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 7.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024160 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))