Harley's example

Percentage Accurate: 90.4% → 95.8%

Time: 2.5min

Alternatives: 9

Speedup: 835.0×

• could not determine a ground truth

  1. c_p = 2.00000000000000007e154
  2. c_n = 2
  3. t = 0.0
  4. s = 0.0

Specification

\[0 < c\_p \land 0 < c\_n\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \frac{1}{1 + e^{-t}}\\ t_2 := \frac{1}{1 + e^{-s}}\\ \frac{{t\_2}^{c\_p} \cdot {\left(1 - t\_2\right)}^{c\_n}}{{t\_1}^{c\_p} \cdot {\left(1 - t\_1\right)}^{c\_n}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- t))))) (t_2 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- s))))))
   (/
    (* (pow t_2 c_p) (pow (- 1.0 t_2) c_n))
    (* (pow t_1 c_p) (pow (- 1.0 t_1) c_n)))))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	double t_1 = 1.0 / (1.0 + exp(-t));
	double t_2 = 1.0 / (1.0 + exp(-s));
	return (pow(t_2, c_p) * pow((1.0 - t_2), c_n)) / (pow(t_1, c_p) * pow((1.0 - t_1), c_n));
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_1 = 1.0d0 / (1.0d0 + exp(-t))
    t_2 = 1.0d0 / (1.0d0 + exp(-s))
    code = ((t_2 ** c_p) * ((1.0d0 - t_2) ** c_n)) / ((t_1 ** c_p) * ((1.0d0 - t_1) ** c_n))
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	double t_1 = 1.0 / (1.0 + Math.exp(-t));
	double t_2 = 1.0 / (1.0 + Math.exp(-s));
	return (Math.pow(t_2, c_p) * Math.pow((1.0 - t_2), c_n)) / (Math.pow(t_1, c_p) * Math.pow((1.0 - t_1), c_n));
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	t_1 = 1.0 / (1.0 + math.exp(-t))
	t_2 = 1.0 / (1.0 + math.exp(-s))
	return (math.pow(t_2, c_p) * math.pow((1.0 - t_2), c_n)) / (math.pow(t_1, c_p) * math.pow((1.0 - t_1), c_n))

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	t_1 = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(-t))))
	t_2 = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(-s))))
	return Float64(Float64((t_2 ^ c_p) * (Float64(1.0 - t_2) ^ c_n)) / Float64((t_1 ^ c_p) * (Float64(1.0 - t_1) ^ c_n)))
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	t_1 = 1.0 / (1.0 + exp(-t));
	t_2 = 1.0 / (1.0 + exp(-s));
	tmp = ((t_2 ^ c_p) * ((1.0 - t_2) ^ c_n)) / ((t_1 ^ c_p) * ((1.0 - t_1) ^ c_n));
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := Block[{t$95$1 = N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[(-t)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[(-s)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Power[t$95$2, c$95$p], $MachinePrecision] * N[Power[N[(1.0 - t$95$2), $MachinePrecision], c$95$n], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$1, c$95$p], $MachinePrecision] * N[Power[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision], c$95$n], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Initial Program: 90.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \frac{1}{1 + e^{-t}}\\ t_2 := \frac{1}{1 + e^{-s}}\\ \frac{{t\_2}^{c\_p} \cdot {\left(1 - t\_2\right)}^{c\_n}}{{t\_1}^{c\_p} \cdot {\left(1 - t\_1\right)}^{c\_n}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- t))))) (t_2 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- s))))))
   (/
    (* (pow t_2 c_p) (pow (- 1.0 t_2) c_n))
    (* (pow t_1 c_p) (pow (- 1.0 t_1) c_n)))))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	double t_1 = 1.0 / (1.0 + exp(-t));
	double t_2 = 1.0 / (1.0 + exp(-s));
	return (pow(t_2, c_p) * pow((1.0 - t_2), c_n)) / (pow(t_1, c_p) * pow((1.0 - t_1), c_n));
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_1 = 1.0d0 / (1.0d0 + exp(-t))
    t_2 = 1.0d0 / (1.0d0 + exp(-s))
    code = ((t_2 ** c_p) * ((1.0d0 - t_2) ** c_n)) / ((t_1 ** c_p) * ((1.0d0 - t_1) ** c_n))
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	double t_1 = 1.0 / (1.0 + Math.exp(-t));
	double t_2 = 1.0 / (1.0 + Math.exp(-s));
	return (Math.pow(t_2, c_p) * Math.pow((1.0 - t_2), c_n)) / (Math.pow(t_1, c_p) * Math.pow((1.0 - t_1), c_n));
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	t_1 = 1.0 / (1.0 + math.exp(-t))
	t_2 = 1.0 / (1.0 + math.exp(-s))
	return (math.pow(t_2, c_p) * math.pow((1.0 - t_2), c_n)) / (math.pow(t_1, c_p) * math.pow((1.0 - t_1), c_n))

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	t_1 = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(-t))))
	t_2 = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(-s))))
	return Float64(Float64((t_2 ^ c_p) * (Float64(1.0 - t_2) ^ c_n)) / Float64((t_1 ^ c_p) * (Float64(1.0 - t_1) ^ c_n)))
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	t_1 = 1.0 / (1.0 + exp(-t));
	t_2 = 1.0 / (1.0 + exp(-s));
	tmp = ((t_2 ^ c_p) * ((1.0 - t_2) ^ c_n)) / ((t_1 ^ c_p) * ((1.0 - t_1) ^ c_n));
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := Block[{t$95$1 = N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[(-t)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[(-s)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Power[t$95$2, c$95$p], $MachinePrecision] * N[Power[N[(1.0 - t$95$2), $MachinePrecision], c$95$n], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[t$95$1, c$95$p], $MachinePrecision] * N[Power[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision], c$95$n], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Alternative 1: 95.8% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0 - s \leq 100000000:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{1}{0.5 + \frac{0.5}{e^{t}}}\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s)
 :precision binary64
 (if (<= (- 0.0 s) 100000000.0)
   (pow (/ 1.0 (+ 0.5 (/ 0.5 (exp t)))) (- 0.0 c_p))
   (pow (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- 0.0 s)))) c_p)))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	double tmp;
	if ((0.0 - s) <= 100000000.0) {
		tmp = pow((1.0 / (0.5 + (0.5 / exp(t)))), (0.0 - c_p));
	} else {
		tmp = pow((1.0 / (1.0 + exp((0.0 - s)))), c_p);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    real(8) :: tmp
    if ((0.0d0 - s) <= 100000000.0d0) then
        tmp = (1.0d0 / (0.5d0 + (0.5d0 / exp(t)))) ** (0.0d0 - c_p)
    else
        tmp = (1.0d0 / (1.0d0 + exp((0.0d0 - s)))) ** c_p
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	double tmp;
	if ((0.0 - s) <= 100000000.0) {
		tmp = Math.pow((1.0 / (0.5 + (0.5 / Math.exp(t)))), (0.0 - c_p));
	} else {
		tmp = Math.pow((1.0 / (1.0 + Math.exp((0.0 - s)))), c_p);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	tmp = 0
	if (0.0 - s) <= 100000000.0:
		tmp = math.pow((1.0 / (0.5 + (0.5 / math.exp(t)))), (0.0 - c_p))
	else:
		tmp = math.pow((1.0 / (1.0 + math.exp((0.0 - s)))), c_p)
	return tmp

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 0.0
	if (Float64(0.0 - s) <= 100000000.0)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(0.5 + Float64(0.5 / exp(t)))) ^ Float64(0.0 - c_p);
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(0.0 - s)))) ^ c_p;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 0.0;
	if ((0.0 - s) <= 100000000.0)
		tmp = (1.0 / (0.5 + (0.5 / exp(t)))) ^ (0.0 - c_p);
	else
		tmp = (1.0 / (1.0 + exp((0.0 - s)))) ^ c_p;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := If[LessEqual[N[(0.0 - s), $MachinePrecision], 100000000.0], N[Power[N[(1.0 / N[(0.5 + N[(0.5 / N[Exp[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.0 - c$95$p), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Power[N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[N[(0.0 - s), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], c$95$p], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (neg.f64 s) < 1e8

   1. Initial program 93.7%

      \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in c_n around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)}\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right), c\_p\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}}^{c\_p}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      4. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot s}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      8. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right), \color{blue}{c\_p}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), c\_p\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

      13. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{t}\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

      15. exp-lowering-exp.f64 95.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   5. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}} \]

   6. Taylor expanded in s around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{c\_p}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 96.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{2}, c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)}, c\_p\right)\right) \]

   8. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{0.5}^{c\_p}}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)}\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p} \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}\right)\right) \]

      4. inv-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{-1}\right)}^{c\_p} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

      5. pow-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(-1 \cdot c\_p\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

      6. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

      7. pow-flip N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot {\frac{1}{2}}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

      8. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

      9. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      12. rec-exp N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      13. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(t\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      14. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      16. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(0 - \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f64 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot 0.5\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. pow-flip N/A

          \[\leadsto {\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(0 - c\_p\right)\right)\right)}} \]

       2. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto {\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\left(-1 \cdot \color{blue}{\left(0 - c\_p\right)}\right)} \]

       3. pow-unpow N/A

          \[\leadsto {\left({\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{-1}\right)}^{\color{blue}{\left(0 - c\_p\right)}} \]

       4. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{-1}\right), \color{blue}{\left(0 - c\_p\right)}\right) \]

       5. unpow-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{0} - c\_p\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{0} - c\_p\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\left(e^{0 - t} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       8. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} + e^{0 - t} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{0 - t} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       10. exp-diff N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{e^{0}}{e^{t}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       11. 1-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{e^{t}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       12. associate-*l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{t}}\right)\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       13. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{t}}\right)\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{t}\right)\right)\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       15. exp-lowering-exp.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), \left(0 - c\_p\right)\right) \]

       16. --lowering--.f64 98.5%

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{c\_p}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{0.5 + \frac{0.5}{e^{t}}}\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}} \]

   if 1e8 < (neg.f64 s)

   1. Initial program 50.0%

      \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in c_p around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{\color{blue}{1} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]

   6. Taylor expanded in c_n around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot s}}\right)}^{c\_p} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p} \]

      3. rec-exp N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{s}}}\right)}^{c\_p} \]

      4. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{s}}}\right), \color{blue}{c\_p}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + \frac{1}{e^{s}}\right)\right), c\_p\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{s}}\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      7. rec-exp N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      8. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      10. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      12. --lowering--.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;0 - s \leq 100000000:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{1}{0.5 + \frac{0.5}{e^{t}}}\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e^{c\_n \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{1}{-1 + \frac{-1}{e^{s}}}}{1 + \frac{1}{-1 + \frac{-1}{e^{t}}}}\right) + c\_p \cdot \left(\log \left(\frac{2}{1 + e^{0 - s}}\right) + t \cdot \left(t \cdot \left(0.125 + -0.005208333333333333 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) + -0.5\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s)
 :precision binary64
 (exp
  (+
   (*
    c_n
    (log
     (/
      (+ 1.0 (/ 1.0 (+ -1.0 (/ -1.0 (exp s)))))
      (+ 1.0 (/ 1.0 (+ -1.0 (/ -1.0 (exp t))))))))
   (*
    c_p
    (+
     (log (/ 2.0 (+ 1.0 (exp (- 0.0 s)))))
     (* t (+ (* t (+ 0.125 (* -0.005208333333333333 (* t t)))) -0.5)))))))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return exp(((c_n * log(((1.0 + (1.0 / (-1.0 + (-1.0 / exp(s))))) / (1.0 + (1.0 / (-1.0 + (-1.0 / exp(t)))))))) + (c_p * (log((2.0 / (1.0 + exp((0.0 - s))))) + (t * ((t * (0.125 + (-0.005208333333333333 * (t * t)))) + -0.5))))));
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    code = exp(((c_n * log(((1.0d0 + (1.0d0 / ((-1.0d0) + ((-1.0d0) / exp(s))))) / (1.0d0 + (1.0d0 / ((-1.0d0) + ((-1.0d0) / exp(t)))))))) + (c_p * (log((2.0d0 / (1.0d0 + exp((0.0d0 - s))))) + (t * ((t * (0.125d0 + ((-0.005208333333333333d0) * (t * t)))) + (-0.5d0)))))))
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return Math.exp(((c_n * Math.log(((1.0 + (1.0 / (-1.0 + (-1.0 / Math.exp(s))))) / (1.0 + (1.0 / (-1.0 + (-1.0 / Math.exp(t)))))))) + (c_p * (Math.log((2.0 / (1.0 + Math.exp((0.0 - s))))) + (t * ((t * (0.125 + (-0.005208333333333333 * (t * t)))) + -0.5))))));
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	return math.exp(((c_n * math.log(((1.0 + (1.0 / (-1.0 + (-1.0 / math.exp(s))))) / (1.0 + (1.0 / (-1.0 + (-1.0 / math.exp(t)))))))) + (c_p * (math.log((2.0 / (1.0 + math.exp((0.0 - s))))) + (t * ((t * (0.125 + (-0.005208333333333333 * (t * t)))) + -0.5))))))

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	return exp(Float64(Float64(c_n * log(Float64(Float64(1.0 + Float64(1.0 / Float64(-1.0 + Float64(-1.0 / exp(s))))) / Float64(1.0 + Float64(1.0 / Float64(-1.0 + Float64(-1.0 / exp(t)))))))) + Float64(c_p * Float64(log(Float64(2.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(0.0 - s))))) + Float64(t * Float64(Float64(t * Float64(0.125 + Float64(-0.005208333333333333 * Float64(t * t)))) + -0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = exp(((c_n * log(((1.0 + (1.0 / (-1.0 + (-1.0 / exp(s))))) / (1.0 + (1.0 / (-1.0 + (-1.0 / exp(t)))))))) + (c_p * (log((2.0 / (1.0 + exp((0.0 - s))))) + (t * ((t * (0.125 + (-0.005208333333333333 * (t * t)))) + -0.5))))));
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := N[Exp[N[(N[(c$95$n * N[Log[N[(N[(1.0 + N[(1.0 / N[(-1.0 + N[(-1.0 / N[Exp[s], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(1.0 / N[(-1.0 + N[(-1.0 / N[Exp[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(c$95$p * N[(N[Log[N[(2.0 / N[(1.0 + N[Exp[N[(0.0 - s), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t * N[(N[(t * N[(0.125 + N[(-0.005208333333333333 * N[(t * t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{c\_n \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{1}{-1 + \frac{-1}{e^{s}}}}{1 + \frac{1}{-1 + \frac{-1}{e^{t}}}}\right) + c\_p \cdot \log \left(\frac{\frac{1}{1 - \frac{-1}{e^{s}}}}{\frac{1}{1 + e^{0 - t}}}\right)}} \]

5. Taylor expanded in t around 0

   \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \color{blue}{\left(\log \left(\frac{2}{1 + \frac{1}{e^{s}}}\right) + t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\log \left(\frac{2}{1 + \frac{1}{e^{s}}}\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{2}{1 + \frac{1}{e^{s}}}\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(1 + \frac{1}{e^{s}}\right)\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{s}}\right)\right)\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right)\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right)\right), \left(t \cdot \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_n, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\left(t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{-1}{192} \cdot {t}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto e^{c\_n \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{1}{-1 + \frac{-1}{e^{s}}}}{1 + \frac{1}{-1 + \frac{-1}{e^{t}}}}\right) + c\_p \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\frac{2}{1 + e^{0 - s}}\right) + t \cdot \left(t \cdot \left(0.125 + -0.005208333333333333 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) + -0.5\right)\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 95.8% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq -750000000:\\ \;\;\;\;{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(0.5 + \frac{0.5}{e^{t}}\right)}^{c\_p}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s)
 :precision binary64
 (if (<= s -750000000.0)
   (pow (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- 0.0 s)))) c_p)
   (pow (+ 0.5 (/ 0.5 (exp t))) c_p)))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	double tmp;
	if (s <= -750000000.0) {
		tmp = pow((1.0 / (1.0 + exp((0.0 - s)))), c_p);
	} else {
		tmp = pow((0.5 + (0.5 / exp(t))), c_p);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    real(8) :: tmp
    if (s <= (-750000000.0d0)) then
        tmp = (1.0d0 / (1.0d0 + exp((0.0d0 - s)))) ** c_p
    else
        tmp = (0.5d0 + (0.5d0 / exp(t))) ** c_p
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	double tmp;
	if (s <= -750000000.0) {
		tmp = Math.pow((1.0 / (1.0 + Math.exp((0.0 - s)))), c_p);
	} else {
		tmp = Math.pow((0.5 + (0.5 / Math.exp(t))), c_p);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	tmp = 0
	if s <= -750000000.0:
		tmp = math.pow((1.0 / (1.0 + math.exp((0.0 - s)))), c_p)
	else:
		tmp = math.pow((0.5 + (0.5 / math.exp(t))), c_p)
	return tmp

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 0.0
	if (s <= -750000000.0)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + exp(Float64(0.0 - s)))) ^ c_p;
	else
		tmp = Float64(0.5 + Float64(0.5 / exp(t))) ^ c_p;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 0.0;
	if (s <= -750000000.0)
		tmp = (1.0 / (1.0 + exp((0.0 - s)))) ^ c_p;
	else
		tmp = (0.5 + (0.5 / exp(t))) ^ c_p;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := If[LessEqual[s, -750000000.0], N[Power[N[(1.0 / N[(1.0 + N[Exp[N[(0.0 - s), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], c$95$p], $MachinePrecision], N[Power[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Exp[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], c$95$p], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < -7.5e8

   1. Initial program 50.0%

      \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in c_p around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{\color{blue}{1} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]

   6. Taylor expanded in c_n around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{1}{1 + e^{-1 \cdot s}}\right)}^{c\_p} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p} \]

      3. rec-exp N/A

         \[\leadsto {\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{s}}}\right)}^{c\_p} \]

      4. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{s}}}\right), \color{blue}{c\_p}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + \frac{1}{e^{s}}\right)\right), c\_p\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{s}}\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      7. rec-exp N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      8. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      10. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right) \]

      12. --lowering--.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}} \]

   if -7.5e8 < s

   1. Initial program 93.7%

      \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in c_n around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)}\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right), c\_p\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}}^{c\_p}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      4. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot s}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      7. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      8. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right), \color{blue}{c\_p}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), c\_p\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

      13. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{t}\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

      15. exp-lowering-exp.f64 95.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   5. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}} \]

   6. Taylor expanded in s around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{c\_p}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 96.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{2}, c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)}, c\_p\right)\right) \]

   8. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{0.5}^{c\_p}}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)}\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p} \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}\right)\right) \]

      4. inv-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{-1}\right)}^{c\_p} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

      5. pow-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(-1 \cdot c\_p\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

      6. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

      7. pow-flip N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot {\frac{1}{2}}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

      8. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

      9. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      12. rec-exp N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      13. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(t\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      14. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

      16. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(0 - \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f64 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot 0.5\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. pow-sub N/A

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{0}}{\color{blue}{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{c\_p}}}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{1}{\frac{1}{{\color{blue}{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}}^{c\_p}}} \]

       3. remove-double-div N/A

          \[\leadsto {\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{c\_p}} \]

       4. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{c\_p}\right) \]

       5. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(e^{0 - t} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right), c\_p\right) \]

       6. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + e^{0 - t} \cdot \frac{1}{2}\right), c\_p\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{0 - t} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), c\_p\right) \]

       8. exp-diff N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{e^{0}}{e^{t}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), c\_p\right) \]

       9. 1-exp N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{e^{t}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), c\_p\right) \]

       10. associate-*l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{t}}\right)\right), c\_p\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{t}}\right)\right), c\_p\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{t}\right)\right)\right), c\_p\right) \]

       13. exp-lowering-exp.f64 98.5%

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right), c\_p\right) \]

   12. Applied egg-rr 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.5 + \frac{0.5}{e^{t}}\right)}^{c\_p}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.5% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {\left(0.5 + \frac{0.5}{e^{t}}\right)}^{c\_p} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s) :precision binary64 (pow (+ 0.5 (/ 0.5 (exp t))) c_p))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return pow((0.5 + (0.5 / exp(t))), c_p);
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    code = (0.5d0 + (0.5d0 / exp(t))) ** c_p
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return Math.pow((0.5 + (0.5 / Math.exp(t))), c_p);
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	return math.pow((0.5 + (0.5 / math.exp(t))), c_p)

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	return Float64(0.5 + Float64(0.5 / exp(t))) ^ c_p
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = (0.5 + (0.5 / exp(t))) ^ c_p;
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := N[Power[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Exp[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], c$95$p], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in c_n around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)}\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right), c\_p\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}}^{c\_p}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot s}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right), \color{blue}{c\_p}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   13. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{t}\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   15. exp-lowering-exp.f64 94.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

5. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}} \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{c\_p}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow-lowering-pow.f64 93.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{2}, c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)}, c\_p\right)\right) \]

8. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{0.5}^{c\_p}}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p} \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}\right)\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{-1}\right)}^{c\_p} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(-1 \cdot c\_p\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   6. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   7. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot {\frac{1}{2}}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

   8. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   12. rec-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(t\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   16. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(0 - \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 96.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot 0.5\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow-sub N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{0}}{\color{blue}{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{c\_p}}}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{1}{{\color{blue}{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}}^{c\_p}}} \]

    3. remove-double-div N/A

       \[\leadsto {\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{c\_p}} \]

    4. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{c\_p}\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(e^{0 - t} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right), c\_p\right) \]

    6. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + e^{0 - t} \cdot \frac{1}{2}\right), c\_p\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{0 - t} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), c\_p\right) \]

    8. exp-diff N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{e^{0}}{e^{t}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), c\_p\right) \]

    9. 1-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{e^{t}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), c\_p\right) \]

    10. associate-*l/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{t}}\right)\right), c\_p\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{t}}\right)\right), c\_p\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{t}\right)\right)\right), c\_p\right) \]

    13. exp-lowering-exp.f64 96.3%

        \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right), c\_p\right) \]

12. Applied egg-rr 96.3%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.5 + \frac{0.5}{e^{t}}\right)}^{c\_p}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.9% accurate, 22.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot 0.5 + t \cdot \left(\left(c\_p \cdot -0.125 + c\_p \cdot \left(c\_p \cdot 0.125\right)\right) + t \cdot \left(c\_p \cdot \left(c\_p \cdot -0.0625\right) + c\_p \cdot \left(\left(c\_p \cdot c\_p\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (*
    t
    (+
     (* c_p 0.5)
     (*
      t
      (+
       (+ (* c_p -0.125) (* c_p (* c_p 0.125)))
       (*
        t
        (+
         (* c_p (* c_p -0.0625))
         (* c_p (* (* c_p c_p) 0.020833333333333332)))))))))))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0 / (1.0 + (t * ((c_p * 0.5) + (t * (((c_p * -0.125) + (c_p * (c_p * 0.125))) + (t * ((c_p * (c_p * -0.0625)) + (c_p * ((c_p * c_p) * 0.020833333333333332)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    code = 1.0d0 / (1.0d0 + (t * ((c_p * 0.5d0) + (t * (((c_p * (-0.125d0)) + (c_p * (c_p * 0.125d0))) + (t * ((c_p * (c_p * (-0.0625d0))) + (c_p * ((c_p * c_p) * 0.020833333333333332d0)))))))))
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0 / (1.0 + (t * ((c_p * 0.5) + (t * (((c_p * -0.125) + (c_p * (c_p * 0.125))) + (t * ((c_p * (c_p * -0.0625)) + (c_p * ((c_p * c_p) * 0.020833333333333332)))))))));
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	return 1.0 / (1.0 + (t * ((c_p * 0.5) + (t * (((c_p * -0.125) + (c_p * (c_p * 0.125))) + (t * ((c_p * (c_p * -0.0625)) + (c_p * ((c_p * c_p) * 0.020833333333333332)))))))))

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(t * Float64(Float64(c_p * 0.5) + Float64(t * Float64(Float64(Float64(c_p * -0.125) + Float64(c_p * Float64(c_p * 0.125))) + Float64(t * Float64(Float64(c_p * Float64(c_p * -0.0625)) + Float64(c_p * Float64(Float64(c_p * c_p) * 0.020833333333333332))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 1.0 / (1.0 + (t * ((c_p * 0.5) + (t * (((c_p * -0.125) + (c_p * (c_p * 0.125))) + (t * ((c_p * (c_p * -0.0625)) + (c_p * ((c_p * c_p) * 0.020833333333333332)))))))));
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := N[(1.0 / N[(1.0 + N[(t * N[(N[(c$95$p * 0.5), $MachinePrecision] + N[(t * N[(N[(N[(c$95$p * -0.125), $MachinePrecision] + N[(c$95$p * N[(c$95$p * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t * N[(N[(c$95$p * N[(c$95$p * -0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(c$95$p * N[(N[(c$95$p * c$95$p), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in c_n around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)}\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right), c\_p\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}}^{c\_p}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot s}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right), \color{blue}{c\_p}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   13. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{t}\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   15. exp-lowering-exp.f64 94.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

5. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}} \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{c\_p}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow-lowering-pow.f64 93.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{2}, c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)}, c\_p\right)\right) \]

8. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{0.5}^{c\_p}}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p} \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}\right)\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{-1}\right)}^{c\_p} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(-1 \cdot c\_p\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   6. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   7. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot {\frac{1}{2}}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

   8. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   12. rec-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(t\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   16. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(0 - \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 96.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot 0.5\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}}} \]

11. Taylor expanded in t around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + t \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot c\_p + t \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \left(\frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2} + t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(t \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot c\_p + t \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \left(\frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2} + t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot c\_p + t \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \left(\frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2} + t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot c\_p\right), \color{blue}{\left(t \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \left(\frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2} + t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\left(c\_p \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{t} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \left(\frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2} + t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{t} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \left(\frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2} + t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \left(\frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2} + t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right) + \color{blue}{t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right), \color{blue}{\left(t \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {c\_p}^{2} + \frac{1}{48} \cdot {c\_p}^{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 96.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot 0.5 + t \cdot \left(\left(c\_p \cdot -0.125 + \left(0.125 \cdot c\_p\right) \cdot c\_p\right) + t \cdot \left(c\_p \cdot \left(c\_p \cdot -0.0625\right) + c\_p \cdot \left(\left(c\_p \cdot c\_p\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\right)}} \]

14. Final simplification 96.2%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot 0.5 + t \cdot \left(\left(c\_p \cdot -0.125 + c\_p \cdot \left(c\_p \cdot 0.125\right)\right) + t \cdot \left(c\_p \cdot \left(c\_p \cdot -0.0625\right) + c\_p \cdot \left(\left(c\_p \cdot c\_p\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 6: 94.0% accurate, 39.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot 0.5 + t \cdot \left(c\_p \cdot -0.125 + c\_p \cdot \left(c\_p \cdot 0.125\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (+
   1.0
   (* t (+ (* c_p 0.5) (* t (+ (* c_p -0.125) (* c_p (* c_p 0.125)))))))))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0 / (1.0 + (t * ((c_p * 0.5) + (t * ((c_p * -0.125) + (c_p * (c_p * 0.125)))))));
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    code = 1.0d0 / (1.0d0 + (t * ((c_p * 0.5d0) + (t * ((c_p * (-0.125d0)) + (c_p * (c_p * 0.125d0)))))))
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0 / (1.0 + (t * ((c_p * 0.5) + (t * ((c_p * -0.125) + (c_p * (c_p * 0.125)))))));
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	return 1.0 / (1.0 + (t * ((c_p * 0.5) + (t * ((c_p * -0.125) + (c_p * (c_p * 0.125)))))))

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(t * Float64(Float64(c_p * 0.5) + Float64(t * Float64(Float64(c_p * -0.125) + Float64(c_p * Float64(c_p * 0.125))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 1.0 / (1.0 + (t * ((c_p * 0.5) + (t * ((c_p * -0.125) + (c_p * (c_p * 0.125)))))));
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := N[(1.0 / N[(1.0 + N[(t * N[(N[(c$95$p * 0.5), $MachinePrecision] + N[(t * N[(N[(c$95$p * -0.125), $MachinePrecision] + N[(c$95$p * N[(c$95$p * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in c_n around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)}\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right), c\_p\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}}^{c\_p}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot s}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right), \color{blue}{c\_p}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   13. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{t}\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   15. exp-lowering-exp.f64 94.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

5. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}} \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{c\_p}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow-lowering-pow.f64 93.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{2}, c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)}, c\_p\right)\right) \]

8. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{0.5}^{c\_p}}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p} \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}\right)\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{-1}\right)}^{c\_p} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(-1 \cdot c\_p\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   6. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   7. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot {\frac{1}{2}}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

   8. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   12. rec-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(t\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   16. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(0 - \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 96.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot 0.5\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}}} \]

11. Taylor expanded in t around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + t \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot c\_p + t \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(t \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot c\_p + t \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot c\_p + t \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot c\_p\right), \color{blue}{\left(t \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\left(c\_p \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{t} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{t} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p + \frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot c\_p\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot {c\_p}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\left(c\_p \cdot \frac{-1}{8}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot {c\_p}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{-1}{8}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot {c\_p}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{-1}{8}\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(c\_p \cdot \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{-1}{8}\right), \left(\left(\frac{1}{8} \cdot c\_p\right) \cdot \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot c\_p\right), \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 96.1%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c\_p, \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{8}, c\_p\right), c\_p\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 96.1%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot 0.5 + t \cdot \left(c\_p \cdot -0.125 + \left(0.125 \cdot c\_p\right) \cdot c\_p\right)\right)}} \]

14. Final simplification 96.1%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot 0.5 + t \cdot \left(c\_p \cdot -0.125 + c\_p \cdot \left(c\_p \cdot 0.125\right)\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.8% accurate, 92.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s) :precision binary64 (/ 1.0 (+ 1.0 (* t (* c_p 0.5)))))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0 / (1.0 + (t * (c_p * 0.5)));
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    code = 1.0d0 / (1.0d0 + (t * (c_p * 0.5d0)))
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0 / (1.0 + (t * (c_p * 0.5)));
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	return 1.0 / (1.0 + (t * (c_p * 0.5)))

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	return Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(t * Float64(c_p * 0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 1.0 / (1.0 + (t * (c_p * 0.5)));
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := N[(1.0 / N[(1.0 + N[(t * N[(c$95$p * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in c_n around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)}\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right), c\_p\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}}^{c\_p}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot s}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right), \color{blue}{c\_p}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   13. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{t}\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   15. exp-lowering-exp.f64 94.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

5. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}} \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{c\_p}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow-lowering-pow.f64 93.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{2}, c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)}, c\_p\right)\right) \]

8. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{0.5}^{c\_p}}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)}\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p} \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}}\right)\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{-1}\right)}^{c\_p} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(-1 \cdot c\_p\right)} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   6. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}^{c\_p}}\right)\right) \]

   7. pow-flip N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)} \cdot {\frac{1}{2}}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

   8. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left({\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}}\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{t}}\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{c\_p}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   12. rec-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(t\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(c\_p\right)\right)\right)\right) \]

   16. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(0 - \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, t\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 96.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{\left(\left(1 + e^{0 - t}\right) \cdot 0.5\right)}^{\left(0 - c\_p\right)}}} \]

11. Taylor expanded in t around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(c\_p \cdot t\right)\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + \left(\frac{1}{2} \cdot c\_p\right) \cdot \color{blue}{t}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot c\_p\right) \cdot t\right)}\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(t \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot c\_p\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot c\_p\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(c\_p \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 96.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 96.1%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot 0.5\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.8% accurate, 119.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + t \cdot \left(c\_p \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s) :precision binary64 (+ 1.0 (* t (* c_p -0.5))))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0 + (t * (c_p * -0.5));
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    code = 1.0d0 + (t * (c_p * (-0.5d0)))
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0 + (t * (c_p * -0.5));
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	return 1.0 + (t * (c_p * -0.5))

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	return Float64(1.0 + Float64(t * Float64(c_p * -0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 1.0 + (t * (c_p * -0.5));
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := N[(1.0 + N[(t * N[(c$95$p * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in c_n around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_p}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)}\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right), c\_p\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}}^{c\_p}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{-1 \cdot s}\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   7. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   8. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \left({\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_p}\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right), \color{blue}{c\_p}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   13. exp-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{e^{t}}\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{t}\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

   15. exp-lowering-exp.f64 94.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right), c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]

5. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_p}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}}} \]

6. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({\frac{1}{2}}^{c\_p}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right), c\_p\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. pow-lowering-pow.f64 93.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\frac{1}{2}, c\_p\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)}, c\_p\right)\right) \]

8. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{{0.5}^{c\_p}}}{{\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_p}} \]

9. Taylor expanded in t around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(c\_p \cdot t\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot c\_p\right) \cdot \color{blue}{t} \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\_p\right) \cdot t\right)}\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(c\_p \cdot t\right)}\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(c\_p \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(t \cdot c\_p\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(t \cdot \color{blue}{\left(c\_p \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(t \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{c\_p}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot c\_p\right)}\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(c\_p \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 96.1%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(c\_p, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 96.1%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + t \cdot \left(c\_p \cdot -0.5\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 93.8% accurate, 835.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s) :precision binary64 1.0)

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return 1.0;
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	return 1.0

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\frac{{\left(\frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(\frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(1 - \frac{1}{1 + e^{-t}}\right)}^{c\_n}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in c_p around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_n}}{{\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)}^{c\_n}\right), \color{blue}{\left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)}\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right), c\_n\right), \left({\color{blue}{\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}}^{c\_n}\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(\color{blue}{1} - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(\color{blue}{1} - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   5. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(1 + e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(e^{-1 \cdot s}\right)\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   11. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   12. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - s\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right), \left({\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right)}^{c\_n}\right)\right) \]

   14. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, s\right)\right)\right)\right)\right), c\_n\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 - \frac{1}{1 + e^{\mathsf{neg}\left(t\right)}}\right), \color{blue}{c\_n}\right)\right) \]

5. Simplified 95.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(1 + \frac{-1}{1 + e^{0 - s}}\right)}^{c\_n}}{{\left(1 + \frac{-1}{1 + \frac{1}{e^{t}}}\right)}^{c\_n}}} \]

6. Taylor expanded in c_n around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 96.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {\left(\frac{1 + e^{-t}}{1 + e^{-s}}\right)}^{c\_p} \cdot {\left(\frac{1 + e^{t}}{1 + e^{s}}\right)}^{c\_n} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (c_p c_n t s)
 :precision binary64
 (*
  (pow (/ (+ 1.0 (exp (- t))) (+ 1.0 (exp (- s)))) c_p)
  (pow (/ (+ 1.0 (exp t)) (+ 1.0 (exp s))) c_n)))

C

double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return pow(((1.0 + exp(-t)) / (1.0 + exp(-s))), c_p) * pow(((1.0 + exp(t)) / (1.0 + exp(s))), c_n);
}

Fortran

real(8) function code(c_p, c_n, t, s)
    real(8), intent (in) :: c_p
    real(8), intent (in) :: c_n
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: s
    code = (((1.0d0 + exp(-t)) / (1.0d0 + exp(-s))) ** c_p) * (((1.0d0 + exp(t)) / (1.0d0 + exp(s))) ** c_n)
end function

Java

public static double code(double c_p, double c_n, double t, double s) {
	return Math.pow(((1.0 + Math.exp(-t)) / (1.0 + Math.exp(-s))), c_p) * Math.pow(((1.0 + Math.exp(t)) / (1.0 + Math.exp(s))), c_n);
}

Python

def code(c_p, c_n, t, s):
	return math.pow(((1.0 + math.exp(-t)) / (1.0 + math.exp(-s))), c_p) * math.pow(((1.0 + math.exp(t)) / (1.0 + math.exp(s))), c_n)

Julia

function code(c_p, c_n, t, s)
	return Float64((Float64(Float64(1.0 + exp(Float64(-t))) / Float64(1.0 + exp(Float64(-s)))) ^ c_p) * (Float64(Float64(1.0 + exp(t)) / Float64(1.0 + exp(s))) ^ c_n))
end

MATLAB

function tmp = code(c_p, c_n, t, s)
	tmp = (((1.0 + exp(-t)) / (1.0 + exp(-s))) ^ c_p) * (((1.0 + exp(t)) / (1.0 + exp(s))) ^ c_n);
end

Wolfram

code[c$95$p_, c$95$n_, t_, s_] := N[(N[Power[N[(N[(1.0 + N[Exp[(-t)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[Exp[(-s)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], c$95$p], $MachinePrecision] * N[Power[N[(N[(1.0 + N[Exp[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[Exp[s], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], c$95$n], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024159 
(FPCore (c_p c_n t s)
  :name "Harley's example"
  :precision binary64
  :pre (and (< 0.0 c_p) (< 0.0 c_n))

  :alt
  (! :herbie-platform default (* (pow (/ (+ 1 (exp (- t))) (+ 1 (exp (- s)))) c_p) (pow (/ (+ 1 (exp t)) (+ 1 (exp s))) c_n)))

  (/ (* (pow (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- s)))) c_p) (pow (- 1.0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- s))))) c_n)) (* (pow (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- t)))) c_p) (pow (- 1.0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (- t))))) c_n))))