math.sin on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 54.9% → 99.9%

Time: 12.9s

Alternatives: 16

Speedup: 18.2×

• 50.2% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos re \cdot \left(0 - \sinh im\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (cos re) (- 0.0 (sinh im))))

C

double code(double re, double im) {
	return cos(re) * (0.0 - sinh(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = cos(re) * (0.0d0 - sinh(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.cos(re) * (0.0 - Math.sinh(im));
}

Python

def code(re, im):
	return math.cos(re) * (0.0 - math.sinh(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(cos(re) * Float64(0.0 - sinh(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = cos(re) * (0.0 - sinh(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sinh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right) \cdot 0.5} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \sinh im\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto -1 \cdot \left(\color{blue}{\sinh im} \cdot \cos re\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sinh im \cdot \cos re\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sinh im \cdot \cos re\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot \sinh im\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, \sinh im\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \sinh im\right)\right) \]

   11. sinh-lowering-sinh.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot \sinh im} \]

7. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \cos re \cdot \left(0 - \sinh im\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 90.2% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0007:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\sinh im \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 0.0007)
   (* (cos re) (* im (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im im)))))
   (if (<= im 1.2e+62)
     (* (sinh im) (- -1.0 (* (* re re) -0.5)))
     (*
      im
      (*
       (cos re)
       (+
        -1.0
        (*
         (* im im)
         (+ -0.16666666666666666 (* (* im im) -0.008333333333333333)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.0007) {
		tmp = cos(re) * (im * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))));
	} else if (im <= 1.2e+62) {
		tmp = sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	} else {
		tmp = im * (cos(re) * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 0.0007d0) then
        tmp = cos(re) * (im * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im * im))))
    else if (im <= 1.2d+62) then
        tmp = sinh(im) * ((-1.0d0) - ((re * re) * (-0.5d0)))
    else
        tmp = im * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im * im) * (-0.008333333333333333d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.0007) {
		tmp = Math.cos(re) * (im * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))));
	} else if (im <= 1.2e+62) {
		tmp = Math.sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	} else {
		tmp = im * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 0.0007:
		tmp = math.cos(re) * (im * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))))
	elif im <= 1.2e+62:
		tmp = math.sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5))
	else:
		tmp = im * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * -0.008333333333333333)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.0007)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im * im)))));
	elseif (im <= 1.2e+62)
		tmp = Float64(sinh(im) * Float64(-1.0 - Float64(Float64(re * re) * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(im * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im * im) * -0.008333333333333333))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.0007)
		tmp = cos(re) * (im * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))));
	elseif (im <= 1.2e+62)
		tmp = sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	else
		tmp = im * (cos(re) * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * -0.008333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 0.0007], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.2e+62], N[(N[Sinh[im], $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 6.99999999999999993e-4

   1. Initial program 35.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \cos re\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1} \cdot \cos re\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}}\right) \]

      5. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re\right) + \color{blue}{im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot -1\right) \cdot \cos re + \color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) \]

      8. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      13. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      16. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 \cdot im + \color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot -1 + \color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 6.99999999999999993e-4 < im < 1.2e62

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right) \cdot 0.5} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \sinh im\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\color{blue}{\sinh im} \cdot \cos re\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sinh im \cdot \cos re\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sinh im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot \sinh im\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, \sinh im\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \sinh im\right)\right) \]

      11. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot \sinh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 94.1%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 94.1%

      \[\leadsto -\color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)} \cdot \sinh im \]

   if 1.2e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0007:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\sinh im \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 89.4% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.0007:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\sinh im \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos re) (* im (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im im)))))))
   (if (<= im 0.0007)
     t_0
     (if (<= im 1.02e+103) (* (sinh im) (- -1.0 (* (* re re) -0.5))) t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = cos(re) * (im * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))));
	double tmp;
	if (im <= 0.0007) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 1.02e+103) {
		tmp = sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(re) * (im * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im * im))))
    if (im <= 0.0007d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 1.02d+103) then
        tmp = sinh(im) * ((-1.0d0) - ((re * re) * (-0.5d0)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.cos(re) * (im * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))));
	double tmp;
	if (im <= 0.0007) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 1.02e+103) {
		tmp = Math.sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.cos(re) * (im * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))))
	tmp = 0
	if im <= 0.0007:
		tmp = t_0
	elif im <= 1.02e+103:
		tmp = math.sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(cos(re) * Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im * im)))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.0007)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 1.02e+103)
		tmp = Float64(sinh(im) * Float64(-1.0 - Float64(Float64(re * re) * -0.5)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = cos(re) * (im * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.0007)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 1.02e+103)
		tmp = sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.0007], t$95$0, If[LessEqual[im, 1.02e+103], N[(N[Sinh[im], $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 6.99999999999999993e-4 or 1.01999999999999991e103 < im

   1. Initial program 46.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \cos re\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1} \cdot \cos re\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}}\right) \]

      5. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re\right) + \color{blue}{im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot -1\right) \cdot \cos re + \color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 \cdot im\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) \]

      8. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) \cdot \cos re + \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      13. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} + im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      16. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 \cdot im + \color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot -1 + \color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 6.99999999999999993e-4 < im < 1.01999999999999991e103

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right) \cdot 0.5} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \sinh im\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\color{blue}{\sinh im} \cdot \cos re\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sinh im \cdot \cos re\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sinh im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot \sinh im\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, \sinh im\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \sinh im\right)\right) \]

      11. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot \sinh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 82.1%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 82.1%

      \[\leadsto -\color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)} \cdot \sinh im \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0007:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\sinh im \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 68.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.75 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;0 - \cos re \cdot im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\sinh im \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \sinh im\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 1.75e-12)
   (- 0.0 (* (cos re) im))
   (if (<= im 4.5e+134)
     (* (sinh im) (- -1.0 (* (* re re) -0.5)))
     (- 0.0 (sinh im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.75e-12) {
		tmp = 0.0 - (cos(re) * im);
	} else if (im <= 4.5e+134) {
		tmp = sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	} else {
		tmp = 0.0 - sinh(im);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 1.75d-12) then
        tmp = 0.0d0 - (cos(re) * im)
    else if (im <= 4.5d+134) then
        tmp = sinh(im) * ((-1.0d0) - ((re * re) * (-0.5d0)))
    else
        tmp = 0.0d0 - sinh(im)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.75e-12) {
		tmp = 0.0 - (Math.cos(re) * im);
	} else if (im <= 4.5e+134) {
		tmp = Math.sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	} else {
		tmp = 0.0 - Math.sinh(im);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 1.75e-12:
		tmp = 0.0 - (math.cos(re) * im)
	elif im <= 4.5e+134:
		tmp = math.sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5))
	else:
		tmp = 0.0 - math.sinh(im)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.75e-12)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(cos(re) * im));
	elseif (im <= 4.5e+134)
		tmp = Float64(sinh(im) * Float64(-1.0 - Float64(Float64(re * re) * -0.5)));
	else
		tmp = Float64(0.0 - sinh(im));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.75e-12)
		tmp = 0.0 - (cos(re) * im);
	elseif (im <= 4.5e+134)
		tmp = sinh(im) * (-1.0 - ((re * re) * -0.5));
	else
		tmp = 0.0 - sinh(im);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 1.75e-12], N[(0.0 - N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 4.5e+134], N[(N[Sinh[im], $MachinePrecision] * N[(-1.0 - N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.0 - N[Sinh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 1.75e-12

   1. Initial program 35.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 70.0%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot im\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, im\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 70.0%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot im} \]

   if 1.75e-12 < im < 4.4999999999999997e134

   1. Initial program 96.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right) \cdot 0.5} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \sinh im\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\color{blue}{\sinh im} \cdot \cos re\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sinh im \cdot \cos re\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sinh im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot \sinh im\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, \sinh im\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \sinh im\right)\right) \]

      11. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot \sinh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 86.1%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 86.1%

      \[\leadsto -\color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)} \cdot \sinh im \]

   if 4.4999999999999997e134 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right) \cdot 0.5} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \sinh im\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\color{blue}{\sinh im} \cdot \cos re\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sinh im \cdot \cos re\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sinh im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot \sinh im\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, \sinh im\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \sinh im\right)\right) \]

      11. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot \sinh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 84.8%

      \[\leadsto -\color{blue}{1} \cdot \sinh im \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 74.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.75 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;0 - \cos re \cdot im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\sinh im \cdot \left(-1 - \left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \sinh im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 68.8% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0 - \sinh im\\ \mathbf{if}\;im \leq 1.75 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;0 - \cos re \cdot im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+44}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 0.0 (sinh im))))
   (if (<= im 1.75e-12)
     (- 0.0 (* (cos re) im))
     (if (<= im 1e+44)
       t_0
       (if (<= im 2e+134)
         (*
          (+ 1.0 (* re (* re -0.5)))
          (*
           im
           (+
            -1.0
            (*
             (* im im)
             (+
              -0.16666666666666666
              (*
               (* im im)
               (+
                -0.008333333333333333
                (* im (* im -0.0001984126984126984)))))))))
         t_0)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.0 - sinh(im);
	double tmp;
	if (im <= 1.75e-12) {
		tmp = 0.0 - (cos(re) * im);
	} else if (im <= 1e+44) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 2e+134) {
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.0d0 - sinh(im)
    if (im <= 1.75d-12) then
        tmp = 0.0d0 - (cos(re) * im)
    else if (im <= 1d+44) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 2d+134) then
        tmp = (1.0d0 + (re * (re * (-0.5d0)))) * (im * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im * im) * ((-0.008333333333333333d0) + (im * (im * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.0 - Math.sinh(im);
	double tmp;
	if (im <= 1.75e-12) {
		tmp = 0.0 - (Math.cos(re) * im);
	} else if (im <= 1e+44) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 2e+134) {
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.0 - math.sinh(im)
	tmp = 0
	if im <= 1.75e-12:
		tmp = 0.0 - (math.cos(re) * im)
	elif im <= 1e+44:
		tmp = t_0
	elif im <= 2e+134:
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.0 - sinh(im))
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.75e-12)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(cos(re) * im));
	elseif (im <= 1e+44)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 2e+134)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.5))) * Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im * Float64(im * -0.0001984126984126984)))))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.0 - sinh(im);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.75e-12)
		tmp = 0.0 - (cos(re) * im);
	elseif (im <= 1e+44)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 2e+134)
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.0 - N[Sinh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 1.75e-12], N[(0.0 - N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1e+44], t$95$0, If[LessEqual[im, 2e+134], N[(N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im * N[(im * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 1.75e-12

   1. Initial program 35.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 70.0%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot im\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, im\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 70.0%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), im\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot im} \]

   if 1.75e-12 < im < 1.0000000000000001e44 or 1.99999999999999984e134 < im

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right) \cdot 0.5} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \sinh im\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\color{blue}{\sinh im} \cdot \cos re\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sinh im \cdot \cos re\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sinh im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot \sinh im\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, \sinh im\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \sinh im\right)\right) \]

      11. sinh-lowering-sinh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot \sinh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 83.7%

      \[\leadsto -\color{blue}{1} \cdot \sinh im \]

   if 1.0000000000000001e44 < im < 1.99999999999999984e134

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 80.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right), im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 80.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{5040}\right), im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot im}\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 73.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.75 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;0 - \cos re \cdot im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+44}:\\ \;\;\;\;0 - \sinh im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \sinh im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 66.1% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0 - \sinh im\\ \mathbf{if}\;im \leq 5.5 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 0.0 (sinh im))))
   (if (<= im 5.5e+43)
     t_0
     (if (<= im 4.5e+134)
       (*
        (+ 1.0 (* re (* re -0.5)))
        (*
         im
         (+
          -1.0
          (*
           (* im im)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             (* im im)
             (+
              -0.008333333333333333
              (* im (* im -0.0001984126984126984)))))))))
       t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.0 - sinh(im);
	double tmp;
	if (im <= 5.5e+43) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 4.5e+134) {
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.0d0 - sinh(im)
    if (im <= 5.5d+43) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 4.5d+134) then
        tmp = (1.0d0 + (re * (re * (-0.5d0)))) * (im * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im * im) * ((-0.008333333333333333d0) + (im * (im * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.0 - Math.sinh(im);
	double tmp;
	if (im <= 5.5e+43) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 4.5e+134) {
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.0 - math.sinh(im)
	tmp = 0
	if im <= 5.5e+43:
		tmp = t_0
	elif im <= 4.5e+134:
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.0 - sinh(im))
	tmp = 0.0
	if (im <= 5.5e+43)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 4.5e+134)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.5))) * Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im * Float64(im * -0.0001984126984126984)))))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.0 - sinh(im);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 5.5e+43)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 4.5e+134)
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.0 - N[Sinh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 5.5e+43], t$95$0, If[LessEqual[im, 4.5e+134], N[(N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im * N[(im * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5.49999999999999989e43 or 4.4999999999999997e134 < im

   1. Initial program 48.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right) \cdot 0.5} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot \sinh im\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \sinh im\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sinh im \cdot \cos re\right)} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto -1 \cdot \left(\color{blue}{\sinh im} \cdot \cos re\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sinh im \cdot \cos re\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sinh im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos re \cdot \sinh im\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos re, \sinh im\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \sinh im\right)\right) \]

      11. sinh-lowering-sinh.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-\cos re \cdot \sinh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sinh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 62.6%

      \[\leadsto -\color{blue}{1} \cdot \sinh im \]

   if 5.49999999999999989e43 < im < 4.4999999999999997e134

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 80.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right), im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 80.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{5040}\right), im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot im}\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.5 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;0 - \sinh im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \sinh im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 61.6% accurate, 5.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\\ \mathbf{if}\;im \leq 510:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.3 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + t\_0 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -0.008333333333333333 (* (* im im) -0.0001984126984126984))))
   (if (<= im 510.0)
     (* im (+ -1.0 (* (* im im) (+ -0.16666666666666666 (* im (* im t_0))))))
     (if (<= im 2.3e+134)
       (*
        im
        (*
         (+
          1.0
          (*
           (* re re)
           (+
            -0.5
            (*
             re
             (*
              re
              (+ 0.041666666666666664 (* (* re re) -0.001388888888888889)))))))
         (+
          (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im im)))
          (* t_0 (* im (* im (* im im)))))))
       (* 0.5 (* im (+ -2.0 (* im (* im -0.3333333333333333)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984);
	double tmp;
	if (im <= 510.0) {
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * t_0)))));
	} else if (im <= 2.3e+134) {
		tmp = im * ((1.0 + ((re * re) * (-0.5 + (re * (re * (0.041666666666666664 + ((re * re) * -0.001388888888888889))))))) * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))) + (t_0 * (im * (im * (im * im))))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.008333333333333333d0) + ((im * im) * (-0.0001984126984126984d0))
    if (im <= 510.0d0) then
        tmp = im * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + (im * (im * t_0)))))
    else if (im <= 2.3d+134) then
        tmp = im * ((1.0d0 + ((re * re) * ((-0.5d0) + (re * (re * (0.041666666666666664d0 + ((re * re) * (-0.001388888888888889d0)))))))) * (((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im * im))) + (t_0 * (im * (im * (im * im))))))
    else
        tmp = 0.5d0 * (im * ((-2.0d0) + (im * (im * (-0.3333333333333333d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = -0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984);
	double tmp;
	if (im <= 510.0) {
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * t_0)))));
	} else if (im <= 2.3e+134) {
		tmp = im * ((1.0 + ((re * re) * (-0.5 + (re * (re * (0.041666666666666664 + ((re * re) * -0.001388888888888889))))))) * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))) + (t_0 * (im * (im * (im * im))))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = -0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)
	tmp = 0
	if im <= 510.0:
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * t_0)))))
	elif im <= 2.3e+134:
		tmp = im * ((1.0 + ((re * re) * (-0.5 + (re * (re * (0.041666666666666664 + ((re * re) * -0.001388888888888889))))))) * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))) + (t_0 * (im * (im * (im * im))))))
	else:
		tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * -0.0001984126984126984))
	tmp = 0.0
	if (im <= 510.0)
		tmp = Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im * Float64(im * t_0))))));
	elseif (im <= 2.3e+134)
		tmp = Float64(im * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(re * re) * -0.001388888888888889))))))) * Float64(Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im * im))) + Float64(t_0 * Float64(im * Float64(im * Float64(im * im)))))));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(im * Float64(-2.0 + Float64(im * Float64(im * -0.3333333333333333)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = -0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 510.0)
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * t_0)))));
	elseif (im <= 2.3e+134)
		tmp = im * ((1.0 + ((re * re) * (-0.5 + (re * (re * (0.041666666666666664 + ((re * re) * -0.001388888888888889))))))) * ((-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im * im))) + (t_0 * (im * (im * (im * im))))));
	else
		tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 510.0], N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im * N[(im * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.3e+134], N[(im * N[(N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(re * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(im * N[(im * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(im * N[(-2.0 + N[(im * N[(im * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 510

   1. Initial program 36.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 53.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 53.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 54.5%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   if 510 < im < 2.2999999999999998e134

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 61.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 57.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 57.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   if 2.2999999999999998e134 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 84.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 58.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 510:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.3 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 62.0% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 2950:\\ \;\;\;\;im \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7.5 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(t\_0 \cdot \left(im \cdot -0.5 + \frac{im}{re \cdot re}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -1.0
          (*
           (* im im)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             im
             (*
              im
              (+
               -0.008333333333333333
               (* (* im im) -0.0001984126984126984)))))))))
   (if (<= im 2950.0)
     (* im t_0)
     (if (<= im 7.5e+39)
       (* (* re re) (* t_0 (+ (* im -0.5) (/ im (* re re)))))
       (if (<= im 2e+134)
         (*
          (+ 1.0 (* re (* re -0.5)))
          (*
           im
           (+
            -1.0
            (*
             (* im im)
             (+
              -0.16666666666666666
              (*
               (* im im)
               (+
                -0.008333333333333333
                (* im (* im -0.0001984126984126984)))))))))
         (* 0.5 (* im (+ -2.0 (* im (* im -0.3333333333333333))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = -1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im <= 2950.0) {
		tmp = im * t_0;
	} else if (im <= 7.5e+39) {
		tmp = (re * re) * (t_0 * ((im * -0.5) + (im / (re * re))));
	} else if (im <= 2e+134) {
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + (im * (im * ((-0.008333333333333333d0) + ((im * im) * (-0.0001984126984126984d0)))))))
    if (im <= 2950.0d0) then
        tmp = im * t_0
    else if (im <= 7.5d+39) then
        tmp = (re * re) * (t_0 * ((im * (-0.5d0)) + (im / (re * re))))
    else if (im <= 2d+134) then
        tmp = (1.0d0 + (re * (re * (-0.5d0)))) * (im * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im * im) * ((-0.008333333333333333d0) + (im * (im * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else
        tmp = 0.5d0 * (im * ((-2.0d0) + (im * (im * (-0.3333333333333333d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = -1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im <= 2950.0) {
		tmp = im * t_0;
	} else if (im <= 7.5e+39) {
		tmp = (re * re) * (t_0 * ((im * -0.5) + (im / (re * re))));
	} else if (im <= 2e+134) {
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = -1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0
	if im <= 2950.0:
		tmp = im * t_0
	elif im <= 7.5e+39:
		tmp = (re * re) * (t_0 * ((im * -0.5) + (im / (re * re))))
	elif im <= 2e+134:
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))))
	else:
		tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im * Float64(im * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * -0.0001984126984126984)))))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 2950.0)
		tmp = Float64(im * t_0);
	elseif (im <= 7.5e+39)
		tmp = Float64(Float64(re * re) * Float64(t_0 * Float64(Float64(im * -0.5) + Float64(im / Float64(re * re)))));
	elseif (im <= 2e+134)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.5))) * Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im * Float64(im * -0.0001984126984126984)))))))));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(im * Float64(-2.0 + Float64(im * Float64(im * -0.3333333333333333)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = -1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984))))));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2950.0)
		tmp = im * t_0;
	elseif (im <= 7.5e+39)
		tmp = (re * re) * (t_0 * ((im * -0.5) + (im / (re * re))));
	elseif (im <= 2e+134)
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	else
		tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im * N[(im * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 2950.0], N[(im * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 7.5e+39], N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(N[(im * -0.5), $MachinePrecision] + N[(im / N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2e+134], N[(N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im * N[(im * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(im * N[(-2.0 + N[(im * N[(im * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 2950

   1. Initial program 36.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 53.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 53.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 54.5%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   if 2950 < im < 7.5000000000000005e39

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 12.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 12.9%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 12.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right) + \frac{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}{{re}^{2}}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right) + \frac{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}{{re}^{2}}\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} + \frac{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}{{re}^{2}}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} + \frac{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}{{re}^{2}}\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot im\right) \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right) + \frac{\color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}}{{re}^{2}}\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im\right) + \frac{\color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}}{{re}^{2}}\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im\right) + \frac{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot im}{{\color{blue}{re}}^{2}}\right)\right) \]

       7. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im\right) + \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{\frac{im}{{re}^{2}}}\right)\right) \]

       8. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{im}{{re}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 59.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.5 \cdot im + \frac{im}{re \cdot re}\right)\right)} \]

   if 7.5000000000000005e39 < im < 1.99999999999999984e134

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 80.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right), im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 80.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{5040}\right), im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot im}\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   if 1.99999999999999984e134 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 84.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 60.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2950:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7.5 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot -0.5 + \frac{im}{re \cdot re}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 62.1% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 270:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+44}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \frac{0.5}{re \cdot re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im (+ -2.0 (* im (* im -0.3333333333333333))))))
   (if (<= im 270.0)
     (*
      im
      (+
       -1.0
       (*
        (* im im)
        (+
         -0.16666666666666666
         (*
          im
          (*
           im
           (+ -0.008333333333333333 (* (* im im) -0.0001984126984126984))))))))
     (if (<= im 1e+44)
       (* t_0 (* re (* re (+ -0.25 (/ 0.5 (* re re))))))
       (if (<= im 2e+134)
         (*
          (+ 1.0 (* re (* re -0.5)))
          (*
           im
           (+
            -1.0
            (*
             (* im im)
             (+
              -0.16666666666666666
              (*
               (* im im)
               (+
                -0.008333333333333333
                (* im (* im -0.0001984126984126984)))))))))
         (* 0.5 t_0))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333)));
	double tmp;
	if (im <= 270.0) {
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
	} else if (im <= 1e+44) {
		tmp = t_0 * (re * (re * (-0.25 + (0.5 / (re * re)))));
	} else if (im <= 2e+134) {
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 * t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im * ((-2.0d0) + (im * (im * (-0.3333333333333333d0))))
    if (im <= 270.0d0) then
        tmp = im * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + (im * (im * ((-0.008333333333333333d0) + ((im * im) * (-0.0001984126984126984d0))))))))
    else if (im <= 1d+44) then
        tmp = t_0 * (re * (re * ((-0.25d0) + (0.5d0 / (re * re)))))
    else if (im <= 2d+134) then
        tmp = (1.0d0 + (re * (re * (-0.5d0)))) * (im * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im * im) * ((-0.008333333333333333d0) + (im * (im * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else
        tmp = 0.5d0 * t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333)));
	double tmp;
	if (im <= 270.0) {
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
	} else if (im <= 1e+44) {
		tmp = t_0 * (re * (re * (-0.25 + (0.5 / (re * re)))));
	} else if (im <= 2e+134) {
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 * t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333)))
	tmp = 0
	if im <= 270.0:
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))))
	elif im <= 1e+44:
		tmp = t_0 * (re * (re * (-0.25 + (0.5 / (re * re)))))
	elif im <= 2e+134:
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))))
	else:
		tmp = 0.5 * t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(im * Float64(-2.0 + Float64(im * Float64(im * -0.3333333333333333))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 270.0)
		tmp = Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im * Float64(im * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * -0.0001984126984126984))))))));
	elseif (im <= 1e+44)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(0.5 / Float64(re * re))))));
	elseif (im <= 2e+134)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.5))) * Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im * Float64(im * -0.0001984126984126984)))))))));
	else
		tmp = Float64(0.5 * t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333)));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 270.0)
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
	elseif (im <= 1e+44)
		tmp = t_0 * (re * (re * (-0.25 + (0.5 / (re * re)))));
	elseif (im <= 2e+134)
		tmp = (1.0 + (re * (re * -0.5))) * (im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + ((im * im) * (-0.008333333333333333 + (im * (im * -0.0001984126984126984))))))));
	else
		tmp = 0.5 * t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(im * N[(-2.0 + N[(im * N[(im * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 270.0], N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im * N[(im * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1e+44], N[(t$95$0 * N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(0.5 / N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2e+134], N[(N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im * N[(im * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 270

   1. Initial program 36.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 53.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 53.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 54.5%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   if 270 < im < 1.0000000000000001e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 3.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 11.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 11.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 27.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \frac{0.5}{re \cdot re}\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   if 1.0000000000000001e44 < im < 1.99999999999999984e134

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 80.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right), im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 80.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{5040}\right), im\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot im}\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   if 1.99999999999999984e134 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 84.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 59.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 270:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \frac{0.5}{re \cdot re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 61.0% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 500:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \frac{0.5}{re \cdot re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im (+ -2.0 (* im (* im -0.3333333333333333))))))
   (if (<= im 500.0)
     (*
      im
      (+
       -1.0
       (*
        (* im im)
        (+
         -0.16666666666666666
         (*
          im
          (*
           im
           (+ -0.008333333333333333 (* (* im im) -0.0001984126984126984))))))))
     (if (<= im 3e+134)
       (* t_0 (* re (* re (+ -0.25 (/ 0.5 (* re re))))))
       (* 0.5 t_0)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333)));
	double tmp;
	if (im <= 500.0) {
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
	} else if (im <= 3e+134) {
		tmp = t_0 * (re * (re * (-0.25 + (0.5 / (re * re)))));
	} else {
		tmp = 0.5 * t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im * ((-2.0d0) + (im * (im * (-0.3333333333333333d0))))
    if (im <= 500.0d0) then
        tmp = im * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + (im * (im * ((-0.008333333333333333d0) + ((im * im) * (-0.0001984126984126984d0))))))))
    else if (im <= 3d+134) then
        tmp = t_0 * (re * (re * ((-0.25d0) + (0.5d0 / (re * re)))))
    else
        tmp = 0.5d0 * t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333)));
	double tmp;
	if (im <= 500.0) {
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
	} else if (im <= 3e+134) {
		tmp = t_0 * (re * (re * (-0.25 + (0.5 / (re * re)))));
	} else {
		tmp = 0.5 * t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333)))
	tmp = 0
	if im <= 500.0:
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))))
	elif im <= 3e+134:
		tmp = t_0 * (re * (re * (-0.25 + (0.5 / (re * re)))))
	else:
		tmp = 0.5 * t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(im * Float64(-2.0 + Float64(im * Float64(im * -0.3333333333333333))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 500.0)
		tmp = Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im * Float64(im * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * -0.0001984126984126984))))))));
	elseif (im <= 3e+134)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(re * Float64(re * Float64(-0.25 + Float64(0.5 / Float64(re * re))))));
	else
		tmp = Float64(0.5 * t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333)));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 500.0)
		tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
	elseif (im <= 3e+134)
		tmp = t_0 * (re * (re * (-0.25 + (0.5 / (re * re)))));
	else
		tmp = 0.5 * t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(im * N[(-2.0 + N[(im * N[(im * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 500.0], N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im * N[(im * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 3e+134], N[(t$95$0 * N[(re * N[(re * N[(-0.25 + N[(0.5 / N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 500

   1. Initial program 36.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 53.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 53.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 54.5%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   if 500 < im < 2.99999999999999997e134

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 23.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 23.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 33.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 48.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 48.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \frac{0.5}{re \cdot re}\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   if 2.99999999999999997e134 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 84.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 57.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 500:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \frac{0.5}{re \cdot re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 55.4% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 500:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.6 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (* im (+ -2.0 (* im (* im -0.3333333333333333)))))))
   (if (<= im 500.0)
     t_0
     (if (<= im 4.6e+134)
       (*
        (* im (* im im))
        (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))
       t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	double tmp;
	if (im <= 500.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 4.6e+134) {
		tmp = (im * (im * im)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * (im * ((-2.0d0) + (im * (im * (-0.3333333333333333d0)))))
    if (im <= 500.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 4.6d+134) then
        tmp = (im * (im * im)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	double tmp;
	if (im <= 500.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 4.6e+134) {
		tmp = (im * (im * im)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))))
	tmp = 0
	if im <= 500.0:
		tmp = t_0
	elif im <= 4.6e+134:
		tmp = (im * (im * im)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 * Float64(im * Float64(-2.0 + Float64(im * Float64(im * -0.3333333333333333)))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 500.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 4.6e+134)
		tmp = Float64(Float64(im * Float64(im * im)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 500.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 4.6e+134)
		tmp = (im * (im * im)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[(im * N[(-2.0 + N[(im * N[(im * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 500.0], t$95$0, If[LessEqual[im, 4.6e+134], N[(N[(im * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 500 or 4.5999999999999996e134 < im

   1. Initial program 45.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 90.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   if 500 < im < 4.5999999999999996e134

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 23.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 23.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 33.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 33.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       7. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot 1 + \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \color{blue}{{re}^{2}}\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{12} \cdot {\color{blue}{re}}^{2}\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \frac{-1}{2}\right) \cdot {\color{blue}{re}}^{2}\right) \]

       10. associate-*r* N/A

           \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot 1 + \frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       11. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       13. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       18. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       19. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       21. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

       22. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       23. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       24. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       25. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       26. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 33.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 60.8% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  im
  (+
   -1.0
   (*
    (* im im)
    (+
     -0.16666666666666666
     (*
      im
      (*
       im
       (+ -0.008333333333333333 (* (* im im) -0.0001984126984126984)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = im * ((-1.0d0) + ((im * im) * ((-0.16666666666666666d0) + (im * (im * ((-0.008333333333333333d0) + ((im * im) * (-0.0001984126984126984d0))))))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
}

Python

def code(re, im):
	return im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im * Float64(im * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * -0.0001984126984126984))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = im * (-1.0 + ((im * im) * (-0.16666666666666666 + (im * (im * (-0.008333333333333333 + ((im * im) * -0.0001984126984126984)))))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im * N[(im * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 91.0%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 55.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 55.9%

   \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(im \cdot \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot re\right) \cdot re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} \cdot re\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   12. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 55.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in re around 0

    \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 57.2%

    \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 59.0% accurate, 18.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ im \cdot \left(0.5 \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  im
  (*
   0.5
   (+
    -2.0
    (*
     (* im im)
     (+ -0.3333333333333333 (* (* im im) -0.016666666666666666)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return im * (0.5 * (-2.0 + ((im * im) * (-0.3333333333333333 + ((im * im) * -0.016666666666666666)))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = im * (0.5d0 * ((-2.0d0) + ((im * im) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im * im) * (-0.016666666666666666d0))))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return im * (0.5 * (-2.0 + ((im * im) * (-0.3333333333333333 + ((im * im) * -0.016666666666666666)))));
}

Python

def code(re, im):
	return im * (0.5 * (-2.0 + ((im * im) * (-0.3333333333333333 + ((im * im) * -0.016666666666666666)))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(im * Float64(0.5 * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * -0.016666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = im * (0.5 * (-2.0 + ((im * im) * (-0.3333333333333333 + ((im * im) * -0.016666666666666666)))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(im * N[(0.5 * N[(-2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 89.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(-2 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 56.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

8. Simplified 56.4%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right) \cdot 0.5\right)} \]

9. Final simplification 56.4%

   \[\leadsto im \cdot \left(0.5 \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 34.0% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 250:\\ \;\;\;\;0 - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 250.0) (- 0.0 im) (* im (+ -1.0 (* (* re re) 0.5)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 250.0) {
		tmp = 0.0 - im;
	} else {
		tmp = im * (-1.0 + ((re * re) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 250.0d0) then
        tmp = 0.0d0 - im
    else
        tmp = im * ((-1.0d0) + ((re * re) * 0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 250.0) {
		tmp = 0.0 - im;
	} else {
		tmp = im * (-1.0 + ((re * re) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 250.0:
		tmp = 0.0 - im
	else:
		tmp = im * (-1.0 + ((re * re) * 0.5))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 250.0)
		tmp = Float64(0.0 - im);
	else
		tmp = Float64(im * Float64(-1.0 + Float64(Float64(re * re) * 0.5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 250.0)
		tmp = 0.0 - im;
	else
		tmp = im * (-1.0 + ((re * re) * 0.5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 250.0], N[(0.0 - im), $MachinePrecision], N[(im * N[(-1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 250

   1. Initial program 36.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 69.9%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 69.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 36.9%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 36.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 36.9%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

   10. Applied egg-rr 36.9%

       \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

   if 250 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 5.2%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 5.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)} \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot -1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot -1 + \left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto im \cdot -1 + im \cdot \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot -1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{{re}^{2}}\right) \]

      8. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{1}{2} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 + \frac{1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 18.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 18.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.5\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 32.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 250:\\ \;\;\;\;0 - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 53.9% accurate, 28.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (* im (+ -2.0 (* im (* im -0.3333333333333333))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 0.5d0 * (im * ((-2.0d0) + (im * (im * (-0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
}

Python

def code(re, im):
	return 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(0.5 * Float64(im * Float64(-2.0 + Float64(im * Float64(im * -0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 0.5 * (im * (-2.0 + (im * (im * -0.3333333333333333))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(0.5 * N[(im * N[(-2.0 + N[(im * N[(im * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 82.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 82.1%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 51.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 16: 29.8% accurate, 103.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (- 0.0 im))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.0 - im;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 0.0d0 - im
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 0.0 - im;
}

Python

def code(re, im):
	return 0.0 - im

Julia

function code(re, im)
	return Float64(0.0 - im)
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 0.0 - im;
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(0.0 - im), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 53.5%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

   3. --lowering--.f64 28.6%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

8. Simplified 28.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 28.6%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

10. Applied egg-rr 28.6%

    \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

11. Final simplification 28.6%

    \[\leadsto 0 - im \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (cos re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(cos(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024159 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))