Ian Simplification

Percentage Accurate: 7.0% → 8.5%

Time: 20.1s

Alternatives: 2

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 8.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{-2} - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI -2.0) (* -2.0 (acos (sqrt (+ 0.5 (/ x -2.0)))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / -2.0) - (-2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / -2.0) - (-2.0 * Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x / -2.0)))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / -2.0) - (-2.0 * math.acos(math.sqrt((0.5 + (x / -2.0)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / -2.0) - Float64(-2.0 * acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x / -2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / -2.0) - (-2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / -2.0), $MachinePrecision] - N[(-2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.9%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right), \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\frac{2}{1 - x}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{-1}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-pow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{1}{-2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{2}{1 - x}\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(1 - x\right)\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval 7.6%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{-0.5}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   3. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, 2, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   5. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 - \color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 - \cos^{-1} \color{blue}{\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\color{blue}{\frac{-1}{2}}}\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right) \cdot 2\right)\right) \]

   10. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)}\right) \]

   2. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)}\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   6. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - 1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   10. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot -2\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right), \color{blue}{-2}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi}{-2} - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot -2} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right), -2\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{\mathsf{neg}\left(2\right)}}\right), -2\right)\right) \]

   4. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)}\right), -2\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}\right), -2\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}\right), -2\right)\right) \]

   7. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right), -2\right)\right) \]

   8. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right), -2\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - x}{2}\right)\right)\right), -2\right)\right) \]

   10. div-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)\right)\right), -2\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)\right)\right), -2\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -2\right)\right) \]

   13. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right), -2\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right)\right), -2\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{x}{-2}\right)\right)\right)\right), -2\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 7.6%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), -2\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 7.6%

    \[\leadsto \frac{\pi}{-2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot -2} \]

11. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto \frac{\pi}{-2} - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 5.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{-2} - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ PI -2.0) (* -2.0 (acos (sqrt 0.5)))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / -2.0) - (-2.0 * acos(sqrt(0.5)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / -2.0) - (-2.0 * Math.acos(Math.sqrt(0.5)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / -2.0) - (-2.0 * math.acos(math.sqrt(0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / -2.0) - Float64(-2.0 * acos(sqrt(0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / -2.0) - (-2.0 * acos(sqrt(0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / -2.0), $MachinePrecision] - N[(-2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.9%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right), \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \cos^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\frac{2}{1 - x}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{-1}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-pow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{1}{-2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{2}{1 - x}\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(1 - x\right)\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval 7.6%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{-0.5}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   3. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, \color{blue}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}, 2, \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   5. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 - \color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 - \cos^{-1} \color{blue}{\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\color{blue}{\frac{-1}{2}}}\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right) \cdot 2\right)\right) \]

   10. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)}\right) \]

   2. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)}\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   6. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - 1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{-2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   10. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), -2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \cdot -2\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right), \color{blue}{-2}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi}{-2} - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot -2} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right), -2\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), -2\right)\right) \]

11. Simplified 5.4%

    \[\leadsto \frac{\pi}{-2} - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)} \cdot -2 \]

12. Final simplification 5.4%

    \[\leadsto \frac{\pi}{-2} - -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \]
13. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024159 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))