UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 99.0%

Time: 24.4s

Alternatives: 26

Speedup: 0.8×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_1 := {\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\\ \mathsf{fma}\left(t\_1 \cdot \cos t\_0, xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + t\_1 \cdot \left(\sin t\_0 \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI)))
        (t_1
         (pow
          (+
           1.0
           (* (- 1.0 ux) (* (+ ux -1.0) (* maxCos (* ux (* ux maxCos))))))
          0.5)))
   (fma
    (* t_1 (cos t_0))
    xi
    (+ (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux zi))) (* t_1 (* (sin t_0) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_1 = powf((1.0f + ((1.0f - ux) * ((ux + -1.0f) * (maxCos * (ux * (ux * maxCos)))))), 0.5f);
	return fmaf((t_1 * cosf(t_0)), xi, (((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * zi))) + (t_1 * (sinf(t_0) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_1 = Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * maxCos)))))) ^ Float32(0.5)
	return fma(Float32(t_1 * cos(t_0)), xi, Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * zi))) + Float32(t_1 * Float32(sin(t_0) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), xi, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + {\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) + \left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) maxCos)))))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi)))
    (* (* ux zi) (* (- 1.0 ux) maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + -1.0f) * maxCos))))))) * ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi))) + ((ux * zi) * ((1.0f - ux) * maxCos));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * maxCos))))))) * Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi))) + Float32(Float32(ux * zi) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + single(-1.0)) * maxCos))))))) * ((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi))) + ((ux * zi) * ((single(1.0) - ux) * maxCos));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \left(ux \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right), \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), maxCos\right), \left(\color{blue}{zi} \cdot ux\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \left(zi \cdot ux\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \left(ux \cdot \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

7. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) maxCos)))))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi)))
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + -1.0f) * maxCos))))))) * ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi))) + (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * maxCos))))))) * Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi))) + Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + single(-1.0)) * maxCos))))))) * ((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi))) + (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
    (*
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi))
     (+
      1.0
      (*
       (* maxCos maxCos)
       (* (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)) (* 0.5 (* ux ux)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi)) * (1.0f + ((maxCos * maxCos) * (((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)) * (0.5f * (ux * ux))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(Float32(0.5) * Float32(ux * ux)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi)) * (single(1.0) + ((maxCos * maxCos) * (((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))) * (single(0.5) * (ux * ux))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + {maxCos}^{2} \cdot \left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + {maxCos}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({maxCos}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right) \cdot {ux}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(\frac{2 \cdot yi}{\frac{2}{\sin t\_0}} + \cos t\_0 \cdot xi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
    (+ (/ (* 2.0 yi) (/ 2.0 (sin t_0))) (* (cos t_0) xi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (((2.0f * yi) / (2.0f / sinf(t_0))) + (cosf(t_0) * xi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * yi) / Float32(Float32(2.0) / sin(t_0))) + Float32(cos(t_0) * xi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (((single(2.0) * yi) / (single(2.0) / sin(t_0))) + (cos(t_0) * xi));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. sin-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(yi \cdot 2\right) \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. sin-cos-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(yi \cdot 2\right) \cdot \frac{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(yi \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{yi \cdot 2}{\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot 2\right), \left(\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \left(\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \left(\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{/.f32}\left(2, \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{/.f32}\left(2, \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot yi}{\frac{2}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + 0}}} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{/.f32}\left(2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), 0\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \left(\frac{2 \cdot yi}{\frac{2}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + 0}} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

10. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(\frac{2 \cdot yi}{\frac{2}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot yi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \cos t\_0 \cdot xi\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= uy 0.006000000052154064)
     (+
      (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
      (*
       (sqrt
        (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) maxCos)))))))
       (+
        xi
        (+
         (* uy (* PI (+ (* 2.0 yi) (* uy (* PI (* xi -2.0))))))
         (*
          uy
          (* (* PI (* PI PI)) (* uy (* -1.3333333333333333 (* uy yi)))))))))
     (+ (* (sin t_0) yi) (+ (* maxCos (* ux zi)) (* (cos t_0) xi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.006000000052154064f) {
		tmp = (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + -1.0f) * maxCos))))))) * (xi + ((uy * (((float) M_PI) * ((2.0f * yi) + (uy * (((float) M_PI) * (xi * -2.0f)))))) + (uy * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * (-1.3333333333333333f * (uy * yi))))))));
	} else {
		tmp = (sinf(t_0) * yi) + ((maxCos * (ux * zi)) + (cosf(t_0) * xi));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.006000000052154064))
		tmp = Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * maxCos))))))) * Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(2.0) * yi) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(xi * Float32(-2.0))))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * yi)))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(sin(t_0) * yi) + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) + Float32(cos(t_0) * xi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.006000000052154064))
		tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + single(-1.0)) * maxCos))))))) * (xi + ((uy * (single(pi) * ((single(2.0) * yi) + (uy * (single(pi) * (xi * single(-2.0))))))) + (uy * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * (single(-1.3333333333333333) * (uy * yi))))))));
	else
		tmp = (sin(t_0) * yi) + ((maxCos * (ux * zi)) + (cos(t_0) * xi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00600000005

   1. Initial program 98.9%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
   11. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + \left(uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

       2. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

       3. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot uy + \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right), \left(\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) \cdot uy + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   if 0.00600000005 < uy

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos} \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(xi \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(xi \cdot \cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{zi}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot zi\right)}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(\frac{xi \cdot \cos t\_0}{zi} + \frac{yi \cdot \sin t\_0}{zi}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* 2.0 uy))))
   (if (<= uy 0.006000000052154064)
     (+
      (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
      (*
       (sqrt
        (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) maxCos)))))))
       (+
        xi
        (+
         (* uy (* PI (+ (* 2.0 yi) (* uy (* PI (* xi -2.0))))))
         (*
          uy
          (* (* PI (* PI PI)) (* uy (* -1.3333333333333333 (* uy yi)))))))))
     (* zi (+ (/ (* xi (cos t_0)) zi) (/ (* yi (sin t_0)) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (2.0f * uy);
	float tmp;
	if (uy <= 0.006000000052154064f) {
		tmp = (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + -1.0f) * maxCos))))))) * (xi + ((uy * (((float) M_PI) * ((2.0f * yi) + (uy * (((float) M_PI) * (xi * -2.0f)))))) + (uy * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * (-1.3333333333333333f * (uy * yi))))))));
	} else {
		tmp = zi * (((xi * cosf(t_0)) / zi) + ((yi * sinf(t_0)) / zi));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.006000000052154064))
		tmp = Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * maxCos))))))) * Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(2.0) * yi) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(xi * Float32(-2.0))))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * yi)))))))));
	else
		tmp = Float32(zi * Float32(Float32(Float32(xi * cos(t_0)) / zi) + Float32(Float32(yi * sin(t_0)) / zi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (single(2.0) * uy);
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.006000000052154064))
		tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + single(-1.0)) * maxCos))))))) * (xi + ((uy * (single(pi) * ((single(2.0) * yi) + (uy * (single(pi) * (xi * single(-2.0))))))) + (uy * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * (single(-1.3333333333333333) * (uy * yi))))))));
	else
		tmp = zi * (((xi * cos(t_0)) / zi) + ((yi * sin(t_0)) / zi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00600000005

   1. Initial program 98.9%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
   11. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + \left(uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

       2. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

       3. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot uy + \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right), \left(\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) \cdot uy + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   if 0.00600000005 < uy

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. sin-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(yi \cdot 2\right) \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(yi \cdot 2\right) \cdot \frac{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(yi \cdot 2\right) \cdot \frac{1}{\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{yi \cdot 2}{\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot 2\right), \left(\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \left(\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \left(\frac{2}{\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{/.f32}\left(2, \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{/.f32}\left(2, \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.7%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{2 \cdot yi}{\frac{2}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + 0}}} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   7. Taylor expanded in zi around inf

      \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) + \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)} \]

   9. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) + \frac{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}}{zi}\right)} \]

   10. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \color{blue}{\left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)}\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), zi\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{zi}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), zi\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)\right)\right) \]

       5. cos-lowering-cos.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), zi\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), zi\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), zi\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), zi\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), zi\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{zi}\right)\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), zi\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 94.7%

       \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(\frac{xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{zi} + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{zi}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(\frac{xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi} + \frac{yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}{zi}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \cos t\_0 \cdot xi + \left(\sin t\_0 \cdot yi + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* (cos t_0) xi)
    (+ (* (sin t_0) yi) (* zi (* maxCos (* ux (- 1.0 ux))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (cosf(t_0) * xi) + ((sinf(t_0) * yi) + (zi * (maxCos * (ux * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(Float32(sin(t_0) * yi) + Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (cos(t_0) * xi) + ((sin(t_0) * yi) + (zi * (maxCos * (ux * (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]

8. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= uy 0.006000000052154064)
     (+
      (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
      (*
       (sqrt
        (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) maxCos)))))))
       (+
        xi
        (+
         (* uy (* PI (+ (* 2.0 yi) (* uy (* PI (* xi -2.0))))))
         (*
          uy
          (* (* PI (* PI PI)) (* uy (* -1.3333333333333333 (* uy yi)))))))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.006000000052154064f) {
		tmp = (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + -1.0f) * maxCos))))))) * (xi + ((uy * (((float) M_PI) * ((2.0f * yi) + (uy * (((float) M_PI) * (xi * -2.0f)))))) + (uy * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * (-1.3333333333333333f * (uy * yi))))))));
	} else {
		tmp = (cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.006000000052154064))
		tmp = Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * maxCos))))))) * Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(2.0) * yi) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(xi * Float32(-2.0))))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * yi)))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.006000000052154064))
		tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + single(-1.0)) * maxCos))))))) * (xi + ((uy * (single(pi) * ((single(2.0) * yi) + (uy * (single(pi) * (xi * single(-2.0))))))) + (uy * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * (single(-1.3333333333333333) * (uy * yi))))))));
	else
		tmp = (cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00600000005

   1. Initial program 98.9%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
   11. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + \left(uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

       2. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

       3. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot uy + \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right), \left(\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) \cdot uy + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   if 0.00600000005 < uy

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 94.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 94.6%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.006000000052154064:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 89.5% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) maxCos)))))))
   (+
    xi
    (+
     (* uy (* PI (+ (* 2.0 yi) (* uy (* PI (* xi -2.0))))))
     (* uy (* (* PI (* PI PI)) (* uy (* -1.3333333333333333 (* uy yi))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + -1.0f) * maxCos))))))) * (xi + ((uy * (((float) M_PI) * ((2.0f * yi) + (uy * (((float) M_PI) * (xi * -2.0f)))))) + (uy * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * (-1.3333333333333333f * (uy * yi))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * maxCos))))))) * Float32(xi + Float32(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(Float32(2.0) * yi) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(xi * Float32(-2.0))))))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * yi)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + single(-1.0)) * maxCos))))))) * (xi + ((uy * (single(pi) * ((single(2.0) * yi) + (uy * (single(pi) * (xi * single(-2.0))))))) + (uy * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * (single(-1.3333333333333333) * (uy * yi))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
11. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + \left(uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    3. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot uy + \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right), \left(\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) \cdot uy + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right)}\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

13. Final simplification 88.4%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(xi \cdot -2\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 11: 89.5% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) maxCos)))))))
   (+
    xi
    (*
     uy
     (+
      (*
       uy
       (+
        (* (* xi -2.0) (* PI PI))
        (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))))
      (* 2.0 (* PI yi))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + -1.0f) * maxCos))))))) * (xi + (uy * ((uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * maxCos))))))) * Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + single(-1.0)) * maxCos))))))) * (xi + (uy * ((uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 88.4%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 89.5% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(xi \cdot -2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* (+ ux -1.0) maxCos)))))))
   (+
    xi
    (*
     uy
     (+
      (* 2.0 (* PI yi))
      (*
       uy
       (*
        (* PI PI)
        (+ (* xi -2.0) (* -1.3333333333333333 (* (* uy PI) yi)))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + -1.0f) * maxCos))))))) * (xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((xi * -2.0f) + (-1.3333333333333333f * ((uy * ((float) M_PI)) * yi)))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * maxCos))))))) * Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * yi))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * ((ux + single(-1.0)) * maxCos))))))) * (xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(pi) * single(pi)) * ((xi * single(-2.0)) + (single(-1.3333333333333333) * ((uy * single(pi)) * yi)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) + xi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(xi \cdot -2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) + xi\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

13. Final simplification 88.4%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(xi \cdot -2 + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 89.5% accurate, 7.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   (+
    xi
    (*
     uy
     (+
      (*
       uy
       (+
        (* (* xi -2.0) (* PI PI))
        (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))))
      (* 2.0 (* PI yi)))))
   (+
    1.0
    (* (* 0.5 (* maxCos maxCos)) (* (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)) (* ux ux)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((xi + (uy * ((uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi))))) * (1.0f + ((0.5f * (maxCos * maxCos)) * (((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)) * (ux * ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(ux * ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((xi + (uy * ((uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi))))) * (single(1.0) + ((single(0.5) * (maxCos * maxCos)) * (((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))) * (ux * ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    11. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    12. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    14. +-lowering-+.f32 88.3%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

13. Simplified 88.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

14. Final simplification 88.3%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 14: 89.5% accurate, 7.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   (+
    xi
    (*
     uy
     (+
      (*
       uy
       (+
        (* (* xi -2.0) (* PI PI))
        (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))))
      (* 2.0 (* PI yi)))))
   (+
    1.0
    (* (* ux ux) (+ (* ux (* maxCos maxCos)) (* (* maxCos maxCos) -0.5)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((xi + (uy * ((uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi))))) * (1.0f + ((ux * ux) * ((ux * (maxCos * maxCos)) + ((maxCos * maxCos) * -0.5f)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos)) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(-0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((xi + (uy * ((uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi))))) * (single(1.0) + ((ux * ux) * ((ux * (maxCos * maxCos)) + ((maxCos * maxCos) * single(-0.5))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + {ux}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({ux}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left({maxCos}^{2} \cdot ux + \frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left({maxCos}^{2} \cdot ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot {maxCos}^{2}\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 88.2%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

13. Simplified 88.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) + -0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

14. Final simplification 88.2%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 15: 89.4% accurate, 8.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   (+
    xi
    (*
     uy
     (+
      (*
       uy
       (+
        (* (* xi -2.0) (* PI PI))
        (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))))
      (* 2.0 (* PI yi)))))
   (+ 1.0 (* (* ux ux) (* (* maxCos maxCos) -0.5))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((xi + (uy * ((uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + (-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi))))) * (1.0f + ((ux * ux) * ((maxCos * maxCos) * -0.5f))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(-0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((xi + (uy * ((uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + (single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi))))) * (single(1.0) + ((ux * ux) * ((maxCos * maxCos) * single(-0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 88.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

13. Simplified 88.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

14. Final simplification 88.0%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 16: 89.4% accurate, 11.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + -2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi)))
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))
      (* -2.0 (* xi (* PI PI)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))) + (-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))) + Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))) + (single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 87.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 87.9%

    \[\leadsto \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + -2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 17: 89.4% accurate, 11.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + -2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (+
   xi
   (*
    uy
    (+
     (* 2.0 (* PI yi))
     (*
      uy
      (+
       (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))
       (* -2.0 (* xi (* PI PI))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))) + (-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))) + Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))) + (single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

13. Simplified 87.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

14. Final simplification 87.9%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + -2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 86.6% accurate, 12.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + -2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + \left(xi + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))
      (* -2.0 (* xi (* PI PI)))))))
  (+ xi (* zi (* ux maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))) + (-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))) + (xi + (zi * (ux * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))) + Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))) + Float32(xi + Float32(zi * Float32(ux * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))) + (single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))))))) + (xi + (zi * (ux * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 85.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 85.1%

    \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + -2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + \left(xi + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 19: 81.5% accurate, 14.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + -2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  xi
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* -1.3333333333333333 (* (* PI (* PI PI)) (* uy yi)))
      (* -2.0 (* xi (* PI PI)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-1.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * yi))) + (-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * yi))) + Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-1.3333333333333333) * ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (uy * yi))) + (single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 88.4%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 79.9%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 79.9%

    \[\leadsto xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right) + -2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 20: 51.4% accurate, 15.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(maxCos \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  xi
  (*
   maxCos
   (+
    (* (- 1.0 ux) (* ux zi))
    (* (* maxCos 0.5) (* (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)) (* xi (* ux ux))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (maxCos * (((1.0f - ux) * (ux * zi)) + ((maxCos * 0.5f) * (((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)) * (xi * (ux * ux))))));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + (maxcos * (((1.0e0 - ux) * (ux * zi)) + ((maxcos * 0.5e0) * (((1.0e0 - ux) * (ux + (-1.0e0))) * (xi * (ux * ux))))))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * zi)) + Float32(Float32(maxCos * Float32(0.5)) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))) * Float32(xi * Float32(ux * ux)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (maxCos * (((single(1.0) - ux) * (ux * zi)) + ((maxCos * single(0.5)) * (((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0))) * (xi * (ux * ux))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{xi} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) + ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) + ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) + ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \left(1 - ux\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \left(1 - ux\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot maxCos\right), \color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, maxCos\right), \left(\color{blue}{{ux}^{2}} \cdot \left(xi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, maxCos\right), \left(\left({ux}^{2} \cdot xi\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot xi\right), \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot {ux}^{2}\right), \left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)} \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left({ux}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(1 - ux\right)} \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(ux \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 - \color{blue}{ux}\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right), \left(\left(1 - \color{blue}{ux}\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right) + \left(0.5 \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 48.0%

    \[\leadsto xi + maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(maxCos \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) \cdot \left(xi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 21: 51.4% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(xi \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right) - maxCos \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  xi
  (*
   ux
   (+
    (* maxCos zi)
    (* ux (- (* xi (* (* maxCos maxCos) -0.5)) (* maxCos zi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (ux * ((maxCos * zi) + (ux * ((xi * ((maxCos * maxCos) * -0.5f)) - (maxCos * zi)))));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + (ux * ((maxcos * zi) + (ux * ((xi * ((maxcos * maxcos) * (-0.5e0))) - (maxcos * zi)))))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * zi) + Float32(ux * Float32(Float32(xi * Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(-0.5))) - Float32(maxCos * zi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (ux * ((maxCos * zi) + (ux * ((xi * ((maxCos * maxCos) * single(-0.5))) - (maxCos * zi)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{xi} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot zi\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \left(\color{blue}{ux} \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right) + \color{blue}{-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right) - \color{blue}{maxCos \cdot zi}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot xi\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot zi\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot xi\right), \left(\color{blue}{maxCos} \cdot zi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), xi\right), \left(\color{blue}{maxCos} \cdot zi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), xi\right), \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), xi\right), \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), xi\right), \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 48.0%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{zi}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(\left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot xi - maxCos \cdot zi\right)\right)} \]

14. Final simplification 48.0%

    \[\leadsto xi + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(xi \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right) - maxCos \cdot zi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 22: 51.4% accurate, 41.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* zi (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (zi * ((1.0f - ux) * (ux * maxCos)));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + (zi * ((1.0e0 - ux) * (ux * maxcos)))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(zi * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (zi * ((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{xi} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), zi\right)\right) \]

    2. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

    4. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux \cdot maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 48.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

13. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{xi}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

15. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \color{blue}{xi} + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

16. Final simplification 48.0%

    \[\leadsto xi + zi \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 23: 51.4% accurate, 41.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos)));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + (zi * (ux * ((1.0e0 - ux) * maxcos)))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{xi} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{xi}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \color{blue}{xi} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

14. Final simplification 48.0%

    \[\leadsto xi + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 24: 49.4% accurate, 65.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* zi (* ux maxCos))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (zi * (ux * maxCos));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + (zi * (ux * maxcos))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(zi * Float32(ux * maxCos)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (zi * (ux * maxCos));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{xi} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right), zi\right)\right) \]

    2. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

    4. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux \cdot maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 48.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot xi + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

13. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
14. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{zi}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \color{blue}{zi}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 46.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right)\right) \]

15. Simplified 46.0%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi} \]

16. Final simplification 46.0%

    \[\leadsto xi + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 25: 49.4% accurate, 65.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* maxCos (* ux zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (maxCos * (ux * zi));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + (maxcos * (ux * zi))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (maxCos * (ux * zi));
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{xi} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 46.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 46.0%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 26: 45.3% accurate, 461.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 xi)

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return xi
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi;
end

Derivation

1. Initial program 98.6%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({uy}^{2}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \frac{4}{15} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right) \cdot \frac{4}{15}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + {uy}^{2} \cdot \left(\frac{4}{15} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{5}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.8%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) + \left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left({\pi}^{5} \cdot 0.26666666666666666\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 48.0%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{xi} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 41.3%

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024159 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))