UniformSampleCone, x

Percentage Accurate: 57.0% → 98.9%

Time: 20.9s

Alternatives: 23

Speedup: 2.1×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (+
    ux
    (* ux (- (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))) maxCos))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux + (ux * (((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))) - maxCos))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) - maxCos)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux + (ux * (((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))) - maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(ux \cdot maxCos + ux \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - ux \cdot -1\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - -1 \cdot ux\right)\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right) + ux}} \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.9995499849319458:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* (* uy 2.0) PI))))
   (if (<= t_0 0.9995499849319458)
     (* t_0 (sqrt (+ ux (* ux (- 1.0 ux)))))
     (*
      (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
      (sqrt
       (+
        (* ux (- 1.0 maxCos))
        (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.9995499849319458f) {
		tmp = t_0 * sqrtf((ux + (ux * (1.0f - ux))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) + (ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.9995499849319458))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi)));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.9995499849319458))
		tmp = t_0 * sqrt((ux + (ux * (single(1.0) - ux))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) (PI.f32))) < 0.999549985

   1. Initial program 53.4%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(ux \cdot maxCos + ux \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - ux \cdot -1\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - -1 \cdot ux\right)\right)\right) \]

      4. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.9%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) - maxCos\right) + ux}} \]

   7. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux}\right)\right) \]

      2. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux}\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux\right)\right)\right) \]

      6. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + 1 \cdot ux\right)\right)\right) \]

      8. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f32 92.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   if 0.999549985 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) (PI.f32)))

   1. Initial program 58.6%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \leq 0.9995499849319458:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 93.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.9934999942779541:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* (* uy 2.0) PI))))
   (if (<= t_0 0.9934999942779541)
     (* t_0 (sqrt (* 2.0 ux)))
     (*
      (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
      (sqrt
       (+
        (* ux (- 1.0 maxCos))
        (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.9934999942779541f) {
		tmp = t_0 * sqrtf((2.0f * ux));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) + (ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.9934999942779541))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi)));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.9934999942779541))
		tmp = t_0 * sqrt((single(2.0) * ux));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) (PI.f32))) < 0.993499994

   1. Initial program 50.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot 2\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 38.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, 2\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.6%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos \cdot 2 + -2\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 73.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 73.2%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]

   if 0.993499994 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) (PI.f32)))

   1. Initial program 58.8%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \leq 0.9934999942779541:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 1.0 maxCos) (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) + ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) + Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) + ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 57.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (* (- 1.0 maxCos) (+ ux (* ux (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((1.0f - maxCos) * (ux + (ux * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((single(1.0) - maxCos) * (ux + (ux * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 + maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot ux + ux\right)}} \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + 1\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + 1\right), \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 94.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.035999998450279236:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.035999998450279236)
   (*
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
    (sqrt
     (+
      (* ux (- 1.0 maxCos))
      (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.035999998450279236f) {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) + (ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.035999998450279236))
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.035999998450279236))
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0359999985

   1. Initial program 58.8%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]

   if 0.0359999985 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 50.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 77.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.035999998450279236:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((1.0f - maxCos) * (ux * (2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((single(1.0) - maxCos) * (ux * (single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 + maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot ux + ux\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(\left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 1\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux + 1\right) + 1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + 1\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + \left(1 + 1\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), ux\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), ux\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right)}} \]

9. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (* (- 1.0 maxCos) (+ ux (* ux (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((1.0f - maxCos) * (ux + (ux * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((single(1.0) - maxCos) * (ux + (ux * (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 + maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot ux + ux\right)}} \]

7. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{\left(ux + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 97.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 88.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (+
    (* ux (- 1.0 maxCos))
    (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))
  (+ 1.0 (* (* PI (* uy -2.0)) (* uy PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) + (ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f))))))) * (1.0f + ((((float) M_PI) * (uy * -2.0f)) * (uy * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(-2.0))) * Float32(uy * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)))))))) * (single(1.0) + ((single(pi) * (uy * single(-2.0))) * (uy * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(-2 \cdot uy\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(-2 \cdot uy\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(-2 \cdot uy\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(uy \cdot -2\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, -2\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 89.3%

   \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]

10. Final simplification 89.3%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 88.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
  (sqrt
   (+
    (* ux (- 1.0 maxCos))
    (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) + (ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) + (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]

8. Final simplification 89.3%

   \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 12: 88.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
  (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) - \left(maxCos + -1\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 89.3%

   \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right) \cdot ux}} \]

10. Final simplification 89.3%

    \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 88.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
  (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 57.2%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - \left(1 - ux\right)}} \]

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 53.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(\left(1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - \left(1 - ux\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate--r- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) - ux \cdot maxCos\right) - 1\right) + ux\right)\right)\right) \]

   2. associate--l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) - \left(ux \cdot maxCos + 1\right)\right) + ux\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) - \left(maxCos \cdot ux + 1\right)\right) + ux\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) - \left(1 + maxCos \cdot ux\right)\right) + ux\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) - \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + 1\right) - \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(1 - \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux + \left(1 - \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot ux\right) + \left(1 - \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right) + \left(1 - \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right) + \left(1 - \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) \cdot ux}} \]

10. Final simplification 89.2%

    \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 86.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.00015500000154133886:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.00015500000154133886)
   (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))
   (*
    (sqrt (+ ux (* ux (- 1.0 ux))))
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.00015500000154133886f) {
		tmp = sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = sqrtf((ux + (ux * (1.0f - ux)))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.00015500000154133886))
		tmp = sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.00015500000154133886))
		tmp = sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = sqrt((ux + (ux * (single(1.0) - ux)))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 1.55000002e-4

   1. Initial program 59.7%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. associate-+l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      24. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      4. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - 1\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 1\right)\right) \cdot ux}} \]

   if 1.55000002e-4 < uy

   1. Initial program 53.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 73.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux}}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - \color{blue}{-1 \cdot ux}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - \color{blue}{-1 \cdot ux}}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - \color{blue}{-1} \cdot ux}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux}\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot \color{blue}{ux}}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot \color{blue}{ux}}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux}\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) - -1 \cdot ux\right)\right)\right) \]

      13. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + 1 \cdot ux\right)\right)\right) \]

      15. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux\right)\right)\right) \]

      16. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. --lowering--.f32 70.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.00015500000154133886:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 83.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.000750000006519258:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.000750000006519258)
   (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))
   (*
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
    (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.000750000006519258f) {
		tmp = sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.000750000006519258))
		tmp = sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.000750000006519258))
		tmp = sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 7.50000007e-4

   1. Initial program 59.4%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. associate-+l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      24. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      4. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - 1\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 1\right)\right) \cdot ux}} \]

   if 7.50000007e-4 < uy

   1. Initial program 53.2%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)}} \]

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 67.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)} \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 56.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 56.0%

       \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.000750000006519258:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 79.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f))))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt(((ux * (1.0e0 - maxcos)) * (1.0e0 + (1.0e0 + (ux * (maxcos + (-1.0e0)))))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

7. Applied egg-rr 80.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 1\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

8. Final simplification 80.7%

   \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 17: 79.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * ((1.0e0 - maxcos) * (1.0e0 + (1.0e0 + (ux * (maxcos + (-1.0e0))))))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   4. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - 1\right) - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 - ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 80.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) + 1\right)\right) \cdot ux}} \]

8. Final simplification 80.7%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 18: 79.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) * (2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt(((ux * (1.0e0 - maxcos)) * (2.0e0 + (ux * (maxcos + (-1.0e0))))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(ux \cdot maxCos + ux \cdot -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right) + ux \cdot -1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right) + -1 \cdot ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right) - ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot maxCos + 1\right) - ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot maxCos + 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot maxCos + 1\right) - -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos + 1\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot maxCos\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. remove-double-neg 50.2%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 50.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 80.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

10. Final simplification 80.7%

    \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 19: 79.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f))))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * ((1.0e0 - maxcos) * (2.0e0 + (ux * (maxcos + (-1.0e0)))))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(ux \cdot maxCos + ux \cdot -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right) + ux \cdot -1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right) + -1 \cdot ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right) - ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot maxCos + 1\right) - ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot maxCos + 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot maxCos + 1\right) - -1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos + 1\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + ux \cdot maxCos\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot maxCos\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. remove-double-neg 50.2%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 50.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)} \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 80.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + \left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)\right) \cdot ux}} \]

10. Final simplification 80.7%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 20: 75.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) - ux \cdot maxCos} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (- (+ ux (* ux (- 1.0 ux))) (* ux maxCos))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux + (ux * (1.0f - ux))) - (ux * maxCos)));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt(((ux + (ux * (1.0e0 - ux))) - (ux * maxcos)))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))) - Float32(ux * maxCos)))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux + (ux * (single(1.0) - ux))) - (ux * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

7. Applied egg-rr 80.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right) - \left(-ux\right)\right) - maxCos \cdot ux}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux - ux \cdot \left(ux - 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux - 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux + -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 77.2%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right) \]

10. Simplified 77.2%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(ux - ux \cdot \left(ux + -1\right)\right)} - maxCos \cdot ux} \]

11. Final simplification 77.2%

    \[\leadsto \sqrt{\left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) - ux \cdot maxCos} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 21: 75.5% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 (sqrt (+ ux (* ux (- 1.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux + (ux * (1.0f - ux))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux + (ux * (1.0e0 - ux))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux + (ux * (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

7. Applied egg-rr 80.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux\right) - \left(-ux\right)\right) - maxCos \cdot ux}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 1\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux - ux \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux - 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 76.8%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 76.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux - ux \cdot \left(ux + -1\right)}} \]

11. Final simplification 76.8%

    \[\leadsto \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 22: 64.5% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * (2.0e0 + (maxcos * (-2.0e0)))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 64.4%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 64.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \]

9. Final simplification 64.4%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 23: 6.6% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 57.5%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 6.6%

   \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto {\left(1 - 1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto {0}^{\frac{1}{2}} \]

   3. metadata-eval 6.6%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 6.6%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024159 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))