HairBSDF, gamma for a refracted ray

Percentage Accurate: 91.0% → 98.6%

Time: 14.4s

Alternatives: 4

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(-1 \leq sinTheta\_O \land sinTheta\_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

Initial Program: 91.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

Alternative 1: 98.6% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5 + -0.5 \cdot \left(\frac{\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}}}{\frac{eta}{-0.25 \cdot \left(-1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}} - \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot -0.375\right)\right)\right)}{eta}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (+
    eta
    (*
     sinTheta_O
     (*
      sinTheta_O
      (/
       (+
        -0.5
        (*
         -0.5
         (-
          (/
           (/ sinTheta_O (/ eta sinTheta_O))
           (/ eta (* -0.25 (- -1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))
          (*
           (* sinTheta_O sinTheta_O)
           (+ -0.5 (* sinTheta_O (* sinTheta_O -0.375)))))))
       eta)))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * ((-0.5f + (-0.5f * (((sinTheta_O / (eta / sinTheta_O)) / (eta / (-0.25f * (-1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) * (-0.5f + (sinTheta_O * (sinTheta_O * -0.375f))))))) / eta))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + (sintheta_o * (sintheta_o * (((-0.5e0) + ((-0.5e0) * (((sintheta_o / (eta / sintheta_o)) / (eta / ((-0.25e0) * ((-1.0e0) - (sintheta_o * sintheta_o))))) - ((sintheta_o * sintheta_o) * ((-0.5e0) + (sintheta_o * (sintheta_o * (-0.375e0)))))))) / eta))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(eta + Float32(sinTheta_O * Float32(sinTheta_O * Float32(Float32(Float32(-0.5) + Float32(Float32(-0.5) * Float32(Float32(Float32(sinTheta_O / Float32(eta / sinTheta_O)) / Float32(eta / Float32(Float32(-0.25) * Float32(Float32(-1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) * Float32(Float32(-0.5) + Float32(sinTheta_O * Float32(sinTheta_O * Float32(-0.375)))))))) / eta))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * ((single(-0.5) + (single(-0.5) * (((sinTheta_O / (eta / sinTheta_O)) / (eta / (single(-0.25) * (single(-1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) * (single(-0.5) + (sinTheta_O * (sinTheta_O * single(-0.375)))))))) / eta))))));
end

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + {sinTheta\_O}^{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{{eta}^{2}}\right)}{eta} + \frac{-1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{eta}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{eta}\right)\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 64.2%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.5\right) \cdot \left(\left(0.375 + \frac{0.25 + 0.5 \cdot \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta \cdot eta}\right) \cdot \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in eta around -inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}}{eta}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}}{eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}}{\mathsf{neg}\left(eta\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}}{-1 \cdot eta}\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}\right), \left(-1 \cdot eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 93.3%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.375 + -0.5\right) + \frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.25 + -0.25\right)}{eta \cdot eta}\right)}{-eta}} + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta} \cdot \frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}}{eta}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\left(\frac{sinTheta\_O}{eta} \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}}{eta}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}} \cdot \frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}}{eta}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}} \cdot \frac{1}{\frac{eta}{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}}}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\frac{\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}}}{\frac{eta}{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}}}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}}\right), \left(\frac{eta}{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(sinTheta\_O, \left(\frac{eta}{sinTheta\_O}\right)\right), \left(\frac{eta}{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right)\right), \left(\frac{eta}{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(eta, \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(eta, \left(\frac{-1}{4} + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(eta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(eta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.5%

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-3}{8}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(eta, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{-0.5 \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.375 + -0.5\right) + \color{blue}{\frac{\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}}}{\frac{eta}{-0.25 + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.25}}}\right)}{-eta} + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-3}{8} + \frac{-1}{2}\right) + \frac{\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}}}{\frac{eta}{\frac{-1}{4} + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4}}}\right)}{\mathsf{neg}\left(eta\right)} + \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right) \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-3}{8} + \frac{-1}{2}\right) + \frac{\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}}}{\frac{eta}{\frac{-1}{4} + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{4}}}\right)}{\mathsf{neg}\left(eta\right)} + \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \color{blue}{\left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5 - -0.5 \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot -0.375\right)\right) + \frac{\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}}}{\frac{eta}{-0.25 \cdot \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O + 1\right)}}\right)}{eta}\right) \cdot sinTheta\_O}}\right) \]

13. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5 + -0.5 \cdot \left(\frac{\frac{sinTheta\_O}{\frac{eta}{sinTheta\_O}}}{\frac{eta}{-0.25 \cdot \left(-1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}} - \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot -0.375\right)\right)\right)}{eta}\right)}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.0% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{\left(-0.5 \cdot \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot 0.375\right)}{eta} + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (+
    eta
    (*
     sinTheta_O
     (*
      sinTheta_O
      (+
       (/
        (*
         (* -0.5 (* sinTheta_O sinTheta_O))
         (+ 0.5 (* (* sinTheta_O sinTheta_O) 0.375)))
        eta)
       (/ -0.5 eta))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * ((((-0.5f * (sinTheta_O * sinTheta_O)) * (0.5f + ((sinTheta_O * sinTheta_O) * 0.375f))) / eta) + (-0.5f / eta)))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + (sintheta_o * (sintheta_o * (((((-0.5e0) * (sintheta_o * sintheta_o)) * (0.5e0 + ((sintheta_o * sintheta_o) * 0.375e0))) / eta) + ((-0.5e0) / eta)))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(eta + Float32(sinTheta_O * Float32(sinTheta_O * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(sinTheta_O * sinTheta_O)) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) * Float32(0.375)))) / eta) + Float32(Float32(-0.5) / eta)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * ((((single(-0.5) * (sinTheta_O * sinTheta_O)) * (single(0.5) + ((sinTheta_O * sinTheta_O) * single(0.375)))) / eta) + (single(-0.5) / eta)))))));
end

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + {sinTheta\_O}^{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{{eta}^{2}}\right)}{eta} + \frac{-1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{eta}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{eta}\right)\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 64.2%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.5\right) \cdot \left(\left(0.375 + \frac{0.25 + 0.5 \cdot \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta \cdot eta}\right) \cdot \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in eta around inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)}{eta}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)}{eta}\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \frac{3}{8}\right)\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2}\right), \frac{3}{8}\right)\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), \frac{3}{8}\right)\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 97.6%

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{3}{8}\right)\right)\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\color{blue}{\frac{\left(-0.5 \cdot \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot 0.375\right)}{eta}} + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.9% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \frac{sinTheta\_O \cdot -0.5}{eta}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin (/ h (+ eta (* sinTheta_O (/ (* sinTheta_O -0.5) eta))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / (eta + (sinTheta_O * ((sinTheta_O * -0.5f) / eta)))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + (sintheta_o * ((sintheta_o * (-0.5e0)) / eta)))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(eta + Float32(sinTheta_O * Float32(Float32(sinTheta_O * Float32(-0.5)) / eta)))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + (sinTheta_O * ((sinTheta_O * single(-0.5)) / eta)))));
end

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + {sinTheta\_O}^{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{{eta}^{2}}\right)}{eta} + \frac{-1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{eta}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{eta}\right)\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 64.2%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.5\right) \cdot \left(\left(0.375 + \frac{0.25 + 0.5 \cdot \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta \cdot eta}\right) \cdot \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in eta around -inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}}{eta}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}}{eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}}{\mathsf{neg}\left(eta\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}}{-1 \cdot eta}\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right) + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {sinTheta\_O}^{2} - \frac{1}{4}\right)}{{eta}^{2}}\right), \left(-1 \cdot eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 93.3%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.375 + -0.5\right) + \frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot -0.25 + -0.25\right)}{eta \cdot eta}\right)}{-eta}} + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}\right) \]

9. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{sinTheta\_O}{eta}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot sinTheta\_O}{eta}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot sinTheta\_O\right), eta\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 97.6%

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, sinTheta\_O\right), eta\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 97.6%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \color{blue}{\frac{-0.5 \cdot sinTheta\_O}{eta}}}\right) \]

12. Final simplification 97.6%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \frac{sinTheta\_O \cdot -0.5}{eta}}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.3% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta) :precision binary32 (asin (/ h eta)))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / eta));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / eta))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / eta))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / eta));
end

Derivation

1. Initial program 92.7%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eta around inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{h}{eta}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 94.3%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, eta\right)\right) \]

5. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{h}{eta}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024159 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))