Lanczos kernel

Percentage Accurate: 97.9% → 97.9%

Time: 15.4s

Alternatives: 17

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(10^{-5} \leq x \land x \leq 1\right) \land \left(1 \leq tau \land tau \leq 5\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Alternative 1: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\\ \frac{\sin t\_1}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* x (* PI tau))))
   (* (/ (sin t_1) (* x PI)) (/ (sin (* x PI)) t_1))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = x * (((float) M_PI) * tau);
	return (sinf(t_1) / (x * ((float) M_PI))) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / t_1);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(x * Float32(Float32(pi) * tau))
	return Float32(Float32(sin(t_1) / Float32(x * Float32(pi))) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = x * (single(pi) * tau);
	tmp = (sin(t_1) / (x * single(pi))) * (sin((x * single(pi))) / t_1);
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}{tau}\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}{tau}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{tau}\right)\right) \]

   12. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}}\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 85.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (*
    (/ (sin t_1) t_1)
    (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 85.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \sin t\_1 \cdot \frac{1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (*
    (sin t_1)
    (/ (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -0.16666666666666666 (* x x)))) t_1))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return sinf(t_1) * ((1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f * (x * x)))) / t_1);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(sin(t_1) * Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * x)))) / t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = sin(t_1) * ((single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) * (x * x)))) / t_1);
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

8. Simplified 86.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)}} \]

9. Final simplification 86.7%

   \[\leadsto \sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 80.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e^{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(-1 - tau \cdot tau\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (exp (* (* PI PI) (* (* (* x x) 0.16666666666666666) (- -1.0 (* tau tau))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return expf(((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (((x * x) * 0.16666666666666666f) * (-1.0f - (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return exp(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(Float32(x * x) * Float32(0.16666666666666666)) * Float32(Float32(-1.0) - Float32(tau * tau)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = exp(((single(pi) * single(pi)) * (((x * x) * single(0.16666666666666666)) * (single(-1.0) - (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 93.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{\frac{x \cdot x}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}}\right) \cdot -1}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, -1\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6}\right)\right) \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 81.8%

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

7. Simplified 81.8%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot -1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(tau \cdot tau + 1\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(tau \cdot tau + 1\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(tau \cdot tau + 1\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + tau \cdot tau\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(tau \cdot tau\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 81.8%

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 81.8%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(\left(1 + tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-\pi \cdot \pi\right)}} \]

10. Final simplification 81.8%

    \[\leadsto e^{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(-1 - tau \cdot tau\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 80.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e^{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 - tau \cdot tau\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (exp (* (* (* PI PI) (* (* x x) 0.16666666666666666)) (- -1.0 (* tau tau)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return expf((((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((x * x) * 0.16666666666666666f)) * (-1.0f - (tau * tau))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return exp(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(x * x) * Float32(0.16666666666666666))) * Float32(Float32(-1.0) - Float32(tau * tau))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = exp((((single(pi) * single(pi)) * ((x * x) * single(0.16666666666666666))) * (single(-1.0) - (tau * tau))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 93.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{\frac{x \cdot x}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}}\right) \cdot -1}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, -1\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6}\right)\right) \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 81.8%

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

7. Simplified 81.8%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot -1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\left(tau \cdot tau + 1\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 81.8%

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 81.8%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-\left(1 + tau \cdot tau\right)\right)}} \]

10. Final simplification 81.8%

    \[\leadsto e^{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 - tau \cdot tau\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 80.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e^{x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (exp (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* (* PI PI) (+ 1.0 (* tau tau))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return expf((x * (x * (-0.16666666666666666f * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (1.0f + (tau * tau)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return exp(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(tau * tau)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = exp((x * (x * (single(-0.16666666666666666) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(1.0) + (tau * tau)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 93.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{\frac{x \cdot x}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}}\right) \cdot -1}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, -1\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6}\right)\right) \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 81.8%

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

7. Simplified 81.8%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot -1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot -1\right)\right) \cdot x\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot -1\right)\right), x\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 81.8%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \cdot x}} \]

10. Final simplification 81.8%

    \[\leadsto e^{x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 80.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ e^{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (exp
  (*
   x
   (*
    x
    (*
     (* PI PI)
     (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return expf((x * (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return exp(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = exp((x * (x * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 93.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{\frac{x \cdot x}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}}\right) \cdot -1}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, -1\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{6}\right)\right) \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} + 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 81.8%

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

7. Simplified 81.8%

   \[\leadsto e^{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau + 1\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot -1} \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto e^{\frac{-1}{6} \cdot \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto e^{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right) \cdot {x}^{2}} \]

   3. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\left(1 + {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 81.8%

    \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \]

11. Final simplification 81.8%

    \[\leadsto e^{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 79.9% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(t\_1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot t\_1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* PI PI) (* x x))))
   (+
    1.0
    (*
     -0.16666666666666666
     (+
      t_1
      (*
       (* tau tau)
       (* (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -0.16666666666666666 (* x x)))) t_1)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (x * x);
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * (t_1 + ((tau * tau) * ((1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f * (x * x)))) * t_1))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(x * x))
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(t_1 + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * x)))) * t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (single(pi) * single(pi)) * (x * x);
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * (t_1 + ((tau * tau) * ((single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) * (x * x)))) * t_1))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) + {x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) + {x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{{tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{+.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 81.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

9. Final simplification 81.3%

   \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 79.9% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   -0.16666666666666666
   (+
    (* x (* x (* PI PI)))
    (*
     (* x x)
     (*
      (* tau tau)
      (*
       (* PI PI)
       (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI))))))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((x * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + ((x * x) * ((tau * tau) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((x * (x * (single(pi) * single(pi)))) + ((x * x) * ((tau * tau) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{1}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 86.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{x \cdot \pi}}{tau} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 1 + \left({tau}^{2} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \color{blue}{{tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

10. Simplified 81.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 81.3%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 79.9% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot t\_1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot t\_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* x (* PI PI))))
   (+
    1.0
    (*
     -0.16666666666666666
     (+
      (* x t_1)
      (*
       (* tau tau)
       (*
        x
        (* PI (* (* x PI) (+ 1.0 (* x (* -0.16666666666666666 t_1))))))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI));
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((x * t_1) + ((tau * tau) * (x * (((float) M_PI) * ((x * ((float) M_PI)) * (1.0f + (x * (-0.16666666666666666f * t_1)))))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(x * t_1) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(x * Float32(pi)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * t_1))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = x * (single(pi) * single(pi));
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((x * t_1) + ((tau * tau) * (x * (single(pi) * ((x * single(pi)) * (single(1.0) + (x * (single(-0.16666666666666666) * t_1)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{1}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 86.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{x \cdot \pi}}{tau} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(1 \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}}\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} + \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   5. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}}{x} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}}{x} + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}\right)\right) \]

   7. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}}{x} + \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}\right)\right) \]

   8. frac-add N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \color{blue}{x}}\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot x\right)}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 85.6%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi \cdot tau} \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}} \]

10. Taylor expanded in tau around 0

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(x + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]

12. Simplified 81.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 12: 79.6% accurate, 8.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))))
  (+ 1.0 (* (* -0.16666666666666666 (* tau tau)) (* (* PI PI) (* x x))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * (1.0f + ((-0.16666666666666666f * (tau * tau)) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (x * x))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(x * x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))))) * (single(1.0) + ((single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)) * ((single(pi) * single(pi)) * (x * x))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 81.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 81.1%

   \[\leadsto \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 78.9% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (*
    (* PI PI)
    (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 14: 78.9% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   x
   (*
    x
    (*
     (* PI PI)
     (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (x * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 97.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi}}{x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

   2. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2} \]

   3. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\left({tau}^{2} + 1\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2} \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\left(1 + {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right) \cdot {x}^{2} \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \left(1 + {tau}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\left(1 + {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

8. Final simplification 80.1%

   \[\leadsto 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 15: 64.8% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (/ (* x (+ 1.0 (* x (* -0.16666666666666666 (* x (* PI PI)))))) x))

C

float code(float x, float tau) {
	return (x * (1.0f + (x * (-0.16666666666666666f * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))) / x;
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(x * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (x * (single(1.0) + (x * (single(-0.16666666666666666) * (x * (single(pi) * single(pi))))))) / x;
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{1}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 86.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{x \cdot \pi}}{tau} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(1 \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}}\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} + \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   5. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}}{x} + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right)\right) \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}}{x} + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}\right)\right) \]

   7. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}}{x} + \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}\right)\right) \]

   8. frac-add N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \color{blue}{x}}\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot x\right)}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 85.6%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi \cdot tau} \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot tau\right)}} \]

10. Taylor expanded in tau around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}{x}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(x + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{x}\right) \]

12. Simplified 64.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{x}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 16: 64.8% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* x (* -0.16666666666666666 (* x (* PI PI))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * (-0.16666666666666666f * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * (single(-0.16666666666666666) * (x * (single(pi) * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}\right) \]

3. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot x}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{tau \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI}\left(\right)\right), x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 64.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

7. Simplified 64.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \pi\right) \cdot \frac{tau \cdot \pi}{x}}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot tau\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 64.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 64.9%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 17: 63.8% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 1.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.2%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 64.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024159 
(FPCore (x tau)
  :name "Lanczos kernel"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 1e-5 x) (<= x 1.0)) (and (<= 1.0 tau) (<= tau 5.0)))
  (* (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* (* x PI) tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x PI))))