NMSE Section 6.1 mentioned, A

Percentage Accurate: 73.4% → 99.9%

Time: 15.6s

Alternatives: 17

Speedup: 14.2×

• 37.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

• could not determine a ground truth

  1. x = -1.99999999999999997e77
  2. eps = -2e-231

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (/
  (-
   (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x))))
   (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x)))))
  2.0))

C

double code(double x, double eps) {
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (((1.0d0 + (1.0d0 / eps)) * exp(-((1.0d0 - eps) * x))) - (((1.0d0 / eps) - 1.0d0) * exp(-((1.0d0 + eps) * x)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * Math.exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * Math.exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * math.exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * math.exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(1.0 / eps)) * exp(Float64(-Float64(Float64(1.0 - eps) * x)))) - Float64(Float64(Float64(1.0 / eps) - 1.0) * exp(Float64(-Float64(Float64(1.0 + eps) * x))))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = (((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(1.0 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[(-N[(N[(1.0 - eps), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(1.0 / eps), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[(-N[(N[(1.0 + eps), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 73.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (/
  (-
   (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x))))
   (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x)))))
  2.0))

C

double code(double x, double eps) {
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (((1.0d0 + (1.0d0 / eps)) * exp(-((1.0d0 - eps) * x))) - (((1.0d0 / eps) - 1.0d0) * exp(-((1.0d0 + eps) * x)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * Math.exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * Math.exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * math.exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * math.exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(1.0 / eps)) * exp(Float64(-Float64(Float64(1.0 - eps) * x)))) - Float64(Float64(Float64(1.0 / eps) - 1.0) * exp(Float64(-Float64(Float64(1.0 + eps) * x))))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = (((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(1.0 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[(-N[(N[(1.0 - eps), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(1.0 / eps), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[(-N[(N[(1.0 + eps), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x \cdot eps\_m}\\ \mathbf{if}\;eps\_m \leq 0.29:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(t\_0 + \frac{1}{t\_0}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* x eps_m))))
   (if (<= eps_m 0.29)
     (* (+ x 1.0) (exp (- 0.0 x)))
     (* 0.5 (+ t_0 (/ 1.0 t_0))))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = exp((x * eps_m));
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = 0.5 * (t_0 + (1.0 / t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((x * eps_m))
    if (eps_m <= 0.29d0) then
        tmp = (x + 1.0d0) * exp((0.0d0 - x))
    else
        tmp = 0.5d0 * (t_0 + (1.0d0 / t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = Math.exp((x * eps_m));
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = (x + 1.0) * Math.exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = 0.5 * (t_0 + (1.0 / t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	t_0 = math.exp((x * eps_m))
	tmp = 0
	if eps_m <= 0.29:
		tmp = (x + 1.0) * math.exp((0.0 - x))
	else:
		tmp = 0.5 * (t_0 + (1.0 / t_0))
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	t_0 = exp(Float64(x * eps_m))
	tmp = 0.0
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = Float64(Float64(x + 1.0) * exp(Float64(0.0 - x)));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(t_0 + Float64(1.0 / t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	t_0 = exp((x * eps_m));
	tmp = 0.0;
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	else
		tmp = 0.5 * (t_0 + (1.0 / t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(x * eps$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps$95$m, 0.29], N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(t$95$0 + N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if eps < 0.28999999999999998

   1. Initial program 65.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) - \left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{-1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot x} + \color{blue}{x \cdot e^{-1 \cdot x}} \]

      6. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x + 1\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x}\right)}\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot x}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 68.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}} \]

   if 0.28999999999999998 < eps

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right) \]

      13. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \varepsilon\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 99.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 99.9%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{\color{blue}{x \cdot \varepsilon}} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. exp-prod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \left({\left(e^{x}\right)}^{\color{blue}{\left(-1 - \varepsilon\right)}}\right)\right)\right) \]

       2. pow-sub N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{{\left(e^{x}\right)}^{-1}}{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{\varepsilon}}}\right)\right)\right) \]

       3. exp-prod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{{\left(e^{x}\right)}^{-1}}{e^{x \cdot \varepsilon}}\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{-1}\right), \color{blue}{\left(e^{x \cdot \varepsilon}\right)}\right)\right)\right) \]

       5. unpow-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{x}}\right), \left(e^{\color{blue}{x \cdot \varepsilon}}\right)\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x \cdot \varepsilon}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right), \left(e^{x \cdot \color{blue}{\varepsilon}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 99.9%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \varepsilon} + \color{blue}{\frac{\frac{1}{e^{x}}}{e^{x \cdot \varepsilon}}}\right) \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 99.9%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \varepsilon} + \frac{\color{blue}{1}}{e^{x \cdot \varepsilon}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;eps\_m \leq 0.29:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(-1 - eps\_m\right)} + e^{x \cdot eps\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= eps_m 0.29)
   (* (+ x 1.0) (exp (- 0.0 x)))
   (* 0.5 (+ (exp (* x (- -1.0 eps_m))) (exp (* x eps_m))))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = 0.5 * (exp((x * (-1.0 - eps_m))) + exp((x * eps_m)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (eps_m <= 0.29d0) then
        tmp = (x + 1.0d0) * exp((0.0d0 - x))
    else
        tmp = 0.5d0 * (exp((x * ((-1.0d0) - eps_m))) + exp((x * eps_m)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = (x + 1.0) * Math.exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = 0.5 * (Math.exp((x * (-1.0 - eps_m))) + Math.exp((x * eps_m)));
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if eps_m <= 0.29:
		tmp = (x + 1.0) * math.exp((0.0 - x))
	else:
		tmp = 0.5 * (math.exp((x * (-1.0 - eps_m))) + math.exp((x * eps_m)))
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = Float64(Float64(x + 1.0) * exp(Float64(0.0 - x)));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(exp(Float64(x * Float64(-1.0 - eps_m))) + exp(Float64(x * eps_m))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	else
		tmp = 0.5 * (exp((x * (-1.0 - eps_m))) + exp((x * eps_m)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[eps$95$m, 0.29], N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(N[Exp[N[(x * N[(-1.0 - eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[N[(x * eps$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if eps < 0.28999999999999998

   1. Initial program 65.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) - \left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{-1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot x} + \color{blue}{x \cdot e^{-1 \cdot x}} \]

      6. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x + 1\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x}\right)}\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot x}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 68.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}} \]

   if 0.28999999999999998 < eps

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right) \]

      13. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \varepsilon\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 99.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 99.9%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{\color{blue}{x \cdot \varepsilon}} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 0.29:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} + e^{x \cdot \varepsilon}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(eps\_m + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - eps\_m\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (* 0.5 (+ (exp (* x (+ eps_m -1.0))) (exp (* x (- -1.0 eps_m))))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	return 0.5 * (exp((x * (eps_m + -1.0))) + exp((x * (-1.0 - eps_m))));
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    code = 0.5d0 * (exp((x * (eps_m + (-1.0d0)))) + exp((x * ((-1.0d0) - eps_m))))
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	return 0.5 * (Math.exp((x * (eps_m + -1.0))) + Math.exp((x * (-1.0 - eps_m))));
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	return 0.5 * (math.exp((x * (eps_m + -1.0))) + math.exp((x * (-1.0 - eps_m))))

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	return Float64(0.5 * Float64(exp(Float64(x * Float64(eps_m + -1.0))) + exp(Float64(x * Float64(-1.0 - eps_m)))))
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp = code(x, eps_m)
	tmp = 0.5 * (exp((x * (eps_m + -1.0))) + exp((x * (-1.0 - eps_m))));
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := N[(0.5 * N[(N[Exp[N[(x * N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[N[(x * N[(-1.0 - eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 75.0%

   \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

3. Simplified 75.0%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in eps around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 92.4% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;eps\_m \leq 0.29:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(eps\_m + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot \left(eps\_m + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{eps\_m}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - eps\_m\right)} \cdot \left(-0.5 + \frac{0.5}{eps\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= eps_m 0.29)
   (* (+ x 1.0) (exp (- 0.0 x)))
   (-
    (*
     (+
      1.0
      (* x (+ -1.0 (+ eps_m (* x (* 0.5 (* (+ eps_m -1.0) (+ eps_m -1.0))))))))
     (- 0.5 (/ -0.5 eps_m)))
    (* (exp (* x (- -1.0 eps_m))) (+ -0.5 (/ 0.5 eps_m))))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (-1.0 + (eps_m + (x * (0.5 * ((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)))))))) * (0.5 - (-0.5 / eps_m))) - (exp((x * (-1.0 - eps_m))) * (-0.5 + (0.5 / eps_m)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (eps_m <= 0.29d0) then
        tmp = (x + 1.0d0) * exp((0.0d0 - x))
    else
        tmp = ((1.0d0 + (x * ((-1.0d0) + (eps_m + (x * (0.5d0 * ((eps_m + (-1.0d0)) * (eps_m + (-1.0d0))))))))) * (0.5d0 - ((-0.5d0) / eps_m))) - (exp((x * ((-1.0d0) - eps_m))) * ((-0.5d0) + (0.5d0 / eps_m)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = (x + 1.0) * Math.exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (-1.0 + (eps_m + (x * (0.5 * ((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)))))))) * (0.5 - (-0.5 / eps_m))) - (Math.exp((x * (-1.0 - eps_m))) * (-0.5 + (0.5 / eps_m)));
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if eps_m <= 0.29:
		tmp = (x + 1.0) * math.exp((0.0 - x))
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (-1.0 + (eps_m + (x * (0.5 * ((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)))))))) * (0.5 - (-0.5 / eps_m))) - (math.exp((x * (-1.0 - eps_m))) * (-0.5 + (0.5 / eps_m)))
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = Float64(Float64(x + 1.0) * exp(Float64(0.0 - x)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(eps_m + Float64(x * Float64(0.5 * Float64(Float64(eps_m + -1.0) * Float64(eps_m + -1.0)))))))) * Float64(0.5 - Float64(-0.5 / eps_m))) - Float64(exp(Float64(x * Float64(-1.0 - eps_m))) * Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps_m))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (-1.0 + (eps_m + (x * (0.5 * ((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)))))))) * (0.5 - (-0.5 / eps_m))) - (exp((x * (-1.0 - eps_m))) * (-0.5 + (0.5 / eps_m)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[eps$95$m, 0.29], N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(eps$95$m + N[(x * N[(0.5 * N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(-0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Exp[N[(x * N[(-1.0 - eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if eps < 0.28999999999999998

   1. Initial program 65.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) - \left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{-1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot x} + \color{blue}{x \cdot e^{-1 \cdot x}} \]

      6. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x + 1\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x}\right)}\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot x}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 68.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}} \]

   if 0.28999999999999998 < eps

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 86.6%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 0.29:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 89.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.5 + \frac{0.5}{eps\_m}\\ t_1 := 0.5 + \frac{0.5}{eps\_m}\\ \mathbf{if}\;eps\_m \leq 0.29:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot t\_1 + \left(\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot \left(eps\_m + -1\right)\right) \cdot t\_1 + \left(eps\_m + 1\right) \cdot \left(\left(-1 - eps\_m\right) \cdot t\_0\right)\right) + t\_0 \cdot \left(eps\_m + 1\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -0.5 (/ 0.5 eps_m))) (t_1 (+ 0.5 (/ 0.5 eps_m))))
   (if (<= eps_m 0.29)
     (* (+ x 1.0) (exp (- 0.0 x)))
     (+
      1.0
      (*
       x
       (+
        (* (+ eps_m -1.0) t_1)
        (+
         (*
          (* 0.5 x)
          (+
           (* (* (+ eps_m -1.0) (+ eps_m -1.0)) t_1)
           (* (+ eps_m 1.0) (* (- -1.0 eps_m) t_0))))
         (* t_0 (+ eps_m 1.0)))))))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	double t_1 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_1) + (((0.5 * x) * ((((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)) * t_1) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_0)))) + (t_0 * (eps_m + 1.0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.5d0) + (0.5d0 / eps_m)
    t_1 = 0.5d0 + (0.5d0 / eps_m)
    if (eps_m <= 0.29d0) then
        tmp = (x + 1.0d0) * exp((0.0d0 - x))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (((eps_m + (-1.0d0)) * t_1) + (((0.5d0 * x) * ((((eps_m + (-1.0d0)) * (eps_m + (-1.0d0))) * t_1) + ((eps_m + 1.0d0) * (((-1.0d0) - eps_m) * t_0)))) + (t_0 * (eps_m + 1.0d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	double t_1 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = (x + 1.0) * Math.exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_1) + (((0.5 * x) * ((((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)) * t_1) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_0)))) + (t_0 * (eps_m + 1.0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	t_0 = -0.5 + (0.5 / eps_m)
	t_1 = 0.5 + (0.5 / eps_m)
	tmp = 0
	if eps_m <= 0.29:
		tmp = (x + 1.0) * math.exp((0.0 - x))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_1) + (((0.5 * x) * ((((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)) * t_1) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_0)))) + (t_0 * (eps_m + 1.0)))))
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	t_0 = Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps_m))
	t_1 = Float64(0.5 + Float64(0.5 / eps_m))
	tmp = 0.0
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = Float64(Float64(x + 1.0) * exp(Float64(0.0 - x)));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(Float64(eps_m + -1.0) * t_1) + Float64(Float64(Float64(0.5 * x) * Float64(Float64(Float64(Float64(eps_m + -1.0) * Float64(eps_m + -1.0)) * t_1) + Float64(Float64(eps_m + 1.0) * Float64(Float64(-1.0 - eps_m) * t_0)))) + Float64(t_0 * Float64(eps_m + 1.0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	t_0 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	t_1 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	tmp = 0.0;
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_1) + (((0.5 * x) * ((((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)) * t_1) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_0)))) + (t_0 * (eps_m + 1.0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.5 + N[(0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 + N[(0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps$95$m, 0.29], N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[(eps$95$m + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 - eps$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(eps$95$m + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if eps < 0.28999999999999998

   1. Initial program 65.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) - \left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{-1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot x} + \color{blue}{x \cdot e^{-1 \cdot x}} \]

      6. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x + 1\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x}\right)}\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot x}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 68.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}} \]

   if 0.28999999999999998 < eps

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 0.29:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(\varepsilon + 1\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)\right)\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + 1\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 88.1% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \frac{0.5}{eps\_m}\\ t_1 := -0.5 + \frac{0.5}{eps\_m}\\ \mathbf{if}\;eps\_m \leq 0.29:\\ \;\;\;\;e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot t\_0 + \left(\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot \left(eps\_m + -1\right)\right) \cdot t\_0 + \left(eps\_m + 1\right) \cdot \left(\left(-1 - eps\_m\right) \cdot t\_1\right)\right) + t\_1 \cdot \left(eps\_m + 1\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (/ 0.5 eps_m))) (t_1 (+ -0.5 (/ 0.5 eps_m))))
   (if (<= eps_m 0.29)
     (exp (- 0.0 x))
     (+
      1.0
      (*
       x
       (+
        (* (+ eps_m -1.0) t_0)
        (+
         (*
          (* 0.5 x)
          (+
           (* (* (+ eps_m -1.0) (+ eps_m -1.0)) t_0)
           (* (+ eps_m 1.0) (* (- -1.0 eps_m) t_1))))
         (* t_1 (+ eps_m 1.0)))))))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	double t_1 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_0) + (((0.5 * x) * ((((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)) * t_0) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_1)))) + (t_1 * (eps_m + 1.0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + (0.5d0 / eps_m)
    t_1 = (-0.5d0) + (0.5d0 / eps_m)
    if (eps_m <= 0.29d0) then
        tmp = exp((0.0d0 - x))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (((eps_m + (-1.0d0)) * t_0) + (((0.5d0 * x) * ((((eps_m + (-1.0d0)) * (eps_m + (-1.0d0))) * t_0) + ((eps_m + 1.0d0) * (((-1.0d0) - eps_m) * t_1)))) + (t_1 * (eps_m + 1.0d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	double t_1 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	double tmp;
	if (eps_m <= 0.29) {
		tmp = Math.exp((0.0 - x));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_0) + (((0.5 * x) * ((((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)) * t_0) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_1)))) + (t_1 * (eps_m + 1.0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	t_0 = 0.5 + (0.5 / eps_m)
	t_1 = -0.5 + (0.5 / eps_m)
	tmp = 0
	if eps_m <= 0.29:
		tmp = math.exp((0.0 - x))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_0) + (((0.5 * x) * ((((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)) * t_0) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_1)))) + (t_1 * (eps_m + 1.0)))))
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(0.5 / eps_m))
	t_1 = Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps_m))
	tmp = 0.0
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = exp(Float64(0.0 - x));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(Float64(eps_m + -1.0) * t_0) + Float64(Float64(Float64(0.5 * x) * Float64(Float64(Float64(Float64(eps_m + -1.0) * Float64(eps_m + -1.0)) * t_0) + Float64(Float64(eps_m + 1.0) * Float64(Float64(-1.0 - eps_m) * t_1)))) + Float64(t_1 * Float64(eps_m + 1.0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	t_0 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	t_1 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	tmp = 0.0;
	if (eps_m <= 0.29)
		tmp = exp((0.0 - x));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_0) + (((0.5 * x) * ((((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)) * t_0) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_1)))) + (t_1 * (eps_m + 1.0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-0.5 + N[(0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps$95$m, 0.29], N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(eps$95$m + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 - eps$95$m), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(eps$95$m + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if eps < 0.28999999999999998

   1. Initial program 65.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right) \]

      13. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 79.0%

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right) \]

   10. Simplified 79.0%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - x}} \]

   if 0.28999999999999998 < eps

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 0.29:\\ \;\;\;\;e^{0 - x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(\left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(\varepsilon + 1\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)\right)\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + 1\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 85.1% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.5 + \frac{0.5}{eps\_m}\\ t_1 := t\_0 \cdot \left(eps\_m + 1\right)\\ t_2 := \left(eps\_m + -1\right) \cdot \left(eps\_m + -1\right)\\ t_3 := 0.5 + \frac{0.5}{eps\_m}\\ \mathbf{if}\;x \leq -7.5 \cdot 10^{-126}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot t\_3 + \left(t\_1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(t\_2 \cdot \frac{-0.5}{eps\_m} + t\_1 \cdot \left(\left(eps\_m + 1\right) \cdot \left(eps\_m + 1\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(t\_2 \cdot t\_3 + \left(eps\_m + 1\right) \cdot \left(\left(-1 - eps\_m\right) \cdot t\_0\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(eps\_m \cdot \left(eps\_m \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 600:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(-0.5 + 0.5 \cdot eps\_m\right) + x \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot t\_2\right)\right) + \left(eps\_m + -1\right) \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot 0.25\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -0.5 (/ 0.5 eps_m)))
        (t_1 (* t_0 (+ eps_m 1.0)))
        (t_2 (* (+ eps_m -1.0) (+ eps_m -1.0)))
        (t_3 (+ 0.5 (/ 0.5 eps_m))))
   (if (<= x -7.5e-126)
     (+
      1.0
      (*
       x
       (+
        (* (+ eps_m -1.0) t_3)
        (+
         t_1
         (*
          x
          (+
           (*
            x
            (*
             0.16666666666666666
             (+
              (* t_2 (/ -0.5 eps_m))
              (* t_1 (* (+ eps_m 1.0) (+ eps_m 1.0))))))
           (*
            0.5
            (+ (* t_2 t_3) (* (+ eps_m 1.0) (* (- -1.0 eps_m) t_0))))))))))
     (if (<= x 8.2e-135)
       (+
        1.0
        (* x (* eps_m (* eps_m (* x (+ 0.5 (* x -0.3333333333333333)))))))
       (if (<= x 600.0)
         (+
          1.0
          (*
           x
           (+
            (+ -0.5 (* 0.5 eps_m))
            (*
             x
             (+
              (* 0.08333333333333333 (* x (* (+ eps_m -1.0) t_2)))
              (* (+ eps_m -1.0) (* (+ eps_m -1.0) 0.25)))))))
         (* (* x (* eps_m eps_m)) (* x 0.25)))))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	double t_1 = t_0 * (eps_m + 1.0);
	double t_2 = (eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0);
	double t_3 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	double tmp;
	if (x <= -7.5e-126) {
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_3) + (t_1 + (x * ((x * (0.16666666666666666 * ((t_2 * (-0.5 / eps_m)) + (t_1 * ((eps_m + 1.0) * (eps_m + 1.0)))))) + (0.5 * ((t_2 * t_3) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_0)))))))));
	} else if (x <= 8.2e-135) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	} else if (x <= 600.0) {
		tmp = 1.0 + (x * ((-0.5 + (0.5 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333 * (x * ((eps_m + -1.0) * t_2))) + ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * 0.25))))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.5d0) + (0.5d0 / eps_m)
    t_1 = t_0 * (eps_m + 1.0d0)
    t_2 = (eps_m + (-1.0d0)) * (eps_m + (-1.0d0))
    t_3 = 0.5d0 + (0.5d0 / eps_m)
    if (x <= (-7.5d-126)) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (((eps_m + (-1.0d0)) * t_3) + (t_1 + (x * ((x * (0.16666666666666666d0 * ((t_2 * ((-0.5d0) / eps_m)) + (t_1 * ((eps_m + 1.0d0) * (eps_m + 1.0d0)))))) + (0.5d0 * ((t_2 * t_3) + ((eps_m + 1.0d0) * (((-1.0d0) - eps_m) * t_0)))))))))
    else if (x <= 8.2d-135) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5d0 + (x * (-0.3333333333333333d0)))))))
    else if (x <= 600.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (((-0.5d0) + (0.5d0 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333d0 * (x * ((eps_m + (-1.0d0)) * t_2))) + ((eps_m + (-1.0d0)) * ((eps_m + (-1.0d0)) * 0.25d0))))))
    else
        tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	double t_1 = t_0 * (eps_m + 1.0);
	double t_2 = (eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0);
	double t_3 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	double tmp;
	if (x <= -7.5e-126) {
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_3) + (t_1 + (x * ((x * (0.16666666666666666 * ((t_2 * (-0.5 / eps_m)) + (t_1 * ((eps_m + 1.0) * (eps_m + 1.0)))))) + (0.5 * ((t_2 * t_3) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_0)))))))));
	} else if (x <= 8.2e-135) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	} else if (x <= 600.0) {
		tmp = 1.0 + (x * ((-0.5 + (0.5 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333 * (x * ((eps_m + -1.0) * t_2))) + ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * 0.25))))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	t_0 = -0.5 + (0.5 / eps_m)
	t_1 = t_0 * (eps_m + 1.0)
	t_2 = (eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0)
	t_3 = 0.5 + (0.5 / eps_m)
	tmp = 0
	if x <= -7.5e-126:
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_3) + (t_1 + (x * ((x * (0.16666666666666666 * ((t_2 * (-0.5 / eps_m)) + (t_1 * ((eps_m + 1.0) * (eps_m + 1.0)))))) + (0.5 * ((t_2 * t_3) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_0)))))))))
	elif x <= 8.2e-135:
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))))
	elif x <= 600.0:
		tmp = 1.0 + (x * ((-0.5 + (0.5 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333 * (x * ((eps_m + -1.0) * t_2))) + ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * 0.25))))))
	else:
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25)
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	t_0 = Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps_m))
	t_1 = Float64(t_0 * Float64(eps_m + 1.0))
	t_2 = Float64(Float64(eps_m + -1.0) * Float64(eps_m + -1.0))
	t_3 = Float64(0.5 + Float64(0.5 / eps_m))
	tmp = 0.0
	if (x <= -7.5e-126)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(Float64(eps_m + -1.0) * t_3) + Float64(t_1 + Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * Float64(Float64(t_2 * Float64(-0.5 / eps_m)) + Float64(t_1 * Float64(Float64(eps_m + 1.0) * Float64(eps_m + 1.0)))))) + Float64(0.5 * Float64(Float64(t_2 * t_3) + Float64(Float64(eps_m + 1.0) * Float64(Float64(-1.0 - eps_m) * t_0))))))))));
	elseif (x <= 8.2e-135)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps_m * Float64(eps_m * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.3333333333333333)))))));
	elseif (x <= 600.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(-0.5 + Float64(0.5 * eps_m)) + Float64(x * Float64(Float64(0.08333333333333333 * Float64(x * Float64(Float64(eps_m + -1.0) * t_2))) + Float64(Float64(eps_m + -1.0) * Float64(Float64(eps_m + -1.0) * 0.25)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(x * 0.25));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	t_0 = -0.5 + (0.5 / eps_m);
	t_1 = t_0 * (eps_m + 1.0);
	t_2 = (eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0);
	t_3 = 0.5 + (0.5 / eps_m);
	tmp = 0.0;
	if (x <= -7.5e-126)
		tmp = 1.0 + (x * (((eps_m + -1.0) * t_3) + (t_1 + (x * ((x * (0.16666666666666666 * ((t_2 * (-0.5 / eps_m)) + (t_1 * ((eps_m + 1.0) * (eps_m + 1.0)))))) + (0.5 * ((t_2 * t_3) + ((eps_m + 1.0) * ((-1.0 - eps_m) * t_0)))))))));
	elseif (x <= 8.2e-135)
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	elseif (x <= 600.0)
		tmp = 1.0 + (x * ((-0.5 + (0.5 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333 * (x * ((eps_m + -1.0) * t_2))) + ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * 0.25))))));
	else
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.5 + N[(0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * N[(eps$95$m + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(0.5 + N[(0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -7.5e-126], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[(x * N[(N[(x * N[(0.16666666666666666 * N[(N[(t$95$2 * N[(-0.5 / eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(N[(eps$95$m + 1.0), $MachinePrecision] * N[(eps$95$m + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[(t$95$2 * t$95$3), $MachinePrecision] + N[(N[(eps$95$m + 1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 - eps$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 8.2e-135], N[(1.0 + N[(x * N[(eps$95$m * N[(eps$95$m * N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 600.0], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(-0.5 + N[(0.5 * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[(0.08333333333333333 * N[(x * N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x < -7.49999999999999976e-126

   1. Initial program 80.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 34.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 54.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 54.9%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\frac{-0.5}{\varepsilon}} \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right) \]

   if -7.49999999999999976e-126 < x < 8.2000000000000002e-135

   1. Initial program 56.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 64.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 93.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.2%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 8.2000000000000002e-135 < x < 600

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right) \]

      13. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 97.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 82.7%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + \color{blue}{1}\right) \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - 1\right) + x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - 1\right) + x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - 1\right) + x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon + \frac{1}{2} \cdot -1\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon + \frac{-1}{2}\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 82.2%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 \cdot \varepsilon + -0.5\right) + x \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right) + \left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot 0.25\right)\right)\right)} \]

   if 600 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 73.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 75.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -7.5 \cdot 10^{-126}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(\left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + 1\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \frac{-0.5}{\varepsilon} + \left(\left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + 1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) \cdot \left(\varepsilon + 1\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(\varepsilon + 1\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 600:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(-0.5 + 0.5 \cdot \varepsilon\right) + x \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right) + \left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot 0.25\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 85.0% accurate, 4.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.55 \cdot 10^{-128}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(eps\_m \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(eps\_m \cdot \left(eps\_m \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 14200000000:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(-0.5 + 0.5 \cdot eps\_m\right) + x \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot \left(eps\_m + -1\right)\right)\right)\right) + \left(eps\_m + -1\right) \cdot \left(\left(eps\_m + -1\right) \cdot 0.25\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.55e-128)
   (+ 1.0 (* x (* (* eps_m (* eps_m eps_m)) (* (* x x) -0.08333333333333333))))
   (if (<= x 8.2e-135)
     (+ 1.0 (* x (* eps_m (* eps_m (* x (+ 0.5 (* x -0.3333333333333333)))))))
     (if (<= x 14200000000.0)
       (+
        1.0
        (*
         x
         (+
          (+ -0.5 (* 0.5 eps_m))
          (*
           x
           (+
            (*
             0.08333333333333333
             (* x (* (+ eps_m -1.0) (* (+ eps_m -1.0) (+ eps_m -1.0)))))
            (* (+ eps_m -1.0) (* (+ eps_m -1.0) 0.25)))))))
       (* (* x (* eps_m eps_m)) (* x 0.25))))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -1.55e-128) {
		tmp = 1.0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else if (x <= 8.2e-135) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	} else if (x <= 14200000000.0) {
		tmp = 1.0 + (x * ((-0.5 + (0.5 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333 * (x * ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0))))) + ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * 0.25))))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.55d-128)) then
        tmp = 1.0d0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * (-0.08333333333333333d0))))
    else if (x <= 8.2d-135) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5d0 + (x * (-0.3333333333333333d0)))))))
    else if (x <= 14200000000.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (((-0.5d0) + (0.5d0 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333d0 * (x * ((eps_m + (-1.0d0)) * ((eps_m + (-1.0d0)) * (eps_m + (-1.0d0)))))) + ((eps_m + (-1.0d0)) * ((eps_m + (-1.0d0)) * 0.25d0))))))
    else
        tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -1.55e-128) {
		tmp = 1.0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else if (x <= 8.2e-135) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	} else if (x <= 14200000000.0) {
		tmp = 1.0 + (x * ((-0.5 + (0.5 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333 * (x * ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0))))) + ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * 0.25))))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if x <= -1.55e-128:
		tmp = 1.0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * -0.08333333333333333)))
	elif x <= 8.2e-135:
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))))
	elif x <= 14200000000.0:
		tmp = 1.0 + (x * ((-0.5 + (0.5 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333 * (x * ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0))))) + ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * 0.25))))))
	else:
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25)
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.55e-128)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(eps_m * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(Float64(x * x) * -0.08333333333333333))));
	elseif (x <= 8.2e-135)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps_m * Float64(eps_m * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.3333333333333333)))))));
	elseif (x <= 14200000000.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(-0.5 + Float64(0.5 * eps_m)) + Float64(x * Float64(Float64(0.08333333333333333 * Float64(x * Float64(Float64(eps_m + -1.0) * Float64(Float64(eps_m + -1.0) * Float64(eps_m + -1.0))))) + Float64(Float64(eps_m + -1.0) * Float64(Float64(eps_m + -1.0) * 0.25)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(x * 0.25));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.55e-128)
		tmp = 1.0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	elseif (x <= 8.2e-135)
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	elseif (x <= 14200000000.0)
		tmp = 1.0 + (x * ((-0.5 + (0.5 * eps_m)) + (x * ((0.08333333333333333 * (x * ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * (eps_m + -1.0))))) + ((eps_m + -1.0) * ((eps_m + -1.0) * 0.25))))));
	else
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[x, -1.55e-128], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(eps$95$m * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 8.2e-135], N[(1.0 + N[(x * N[(eps$95$m * N[(eps$95$m * N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 14200000000.0], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(-0.5 + N[(0.5 * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(N[(0.08333333333333333 * N[(x * N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * N[(N[(eps$95$m + -1.0), $MachinePrecision] * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x < -1.55000000000000001e-128

   1. Initial program 80.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 40.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 40.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   10. Simplified 38.3%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot 0.16666666666666666\right) + \left(\left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) \cdot -0.5\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in eps around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left({\varepsilon}^{3} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{3} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{12}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{12}} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{12}} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 54.5%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 54.5%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)} \]

   if -1.55000000000000001e-128 < x < 8.2000000000000002e-135

   1. Initial program 56.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 64.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 93.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.2%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 8.2000000000000002e-135 < x < 1.42e10

   1. Initial program 55.7%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right) \]

      13. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 97.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 82.7%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + \color{blue}{1}\right) \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - 1\right) + x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - 1\right) + x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - 1\right) + x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon + \frac{1}{2} \cdot -1\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon + \frac{-1}{2}\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{12} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 82.2%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 \cdot \varepsilon + -0.5\right) + x \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right) + \left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot 0.25\right)\right)\right)} \]

   if 1.42e10 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 73.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 75.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.55 \cdot 10^{-128}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 14200000000:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(-0.5 + 0.5 \cdot \varepsilon\right) + x \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right) + \left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot 0.25\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 83.9% accurate, 9.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.7 \cdot 10^{-128}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(eps\_m \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.5:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(eps\_m \cdot \left(eps\_m \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.7e-128)
   (+ 1.0 (* x (* (* eps_m (* eps_m eps_m)) (* (* x x) -0.08333333333333333))))
   (if (<= x 1.5)
     (+ 1.0 (* x (* eps_m (* eps_m (* x (+ 0.5 (* x -0.3333333333333333)))))))
     (* (* x (* eps_m eps_m)) (* x 0.25)))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -1.7e-128) {
		tmp = 1.0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else if (x <= 1.5) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.7d-128)) then
        tmp = 1.0d0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * (-0.08333333333333333d0))))
    else if (x <= 1.5d0) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5d0 + (x * (-0.3333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -1.7e-128) {
		tmp = 1.0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	} else if (x <= 1.5) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if x <= -1.7e-128:
		tmp = 1.0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * -0.08333333333333333)))
	elif x <= 1.5:
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))))
	else:
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25)
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.7e-128)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(eps_m * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(Float64(x * x) * -0.08333333333333333))));
	elseif (x <= 1.5)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps_m * Float64(eps_m * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(x * 0.25));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.7e-128)
		tmp = 1.0 + (x * ((eps_m * (eps_m * eps_m)) * ((x * x) * -0.08333333333333333)));
	elseif (x <= 1.5)
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	else
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[x, -1.7e-128], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(eps$95$m * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.5], N[(1.0 + N[(x * N[(eps$95$m * N[(eps$95$m * N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.69999999999999987e-128

   1. Initial program 80.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 40.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 40.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   10. Simplified 38.3%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot 0.16666666666666666\right) + \left(\left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) \cdot -0.5\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in eps around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left({\varepsilon}^{3} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{3} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{12}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{12}} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{12}} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{-1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{12}}\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 54.5%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 54.5%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)} \]

   if -1.69999999999999987e-128 < x < 1.5

   1. Initial program 55.8%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 55.8%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 64.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 90.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 90.9%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 73.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 75.2% accurate, 10.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00019:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \left(eps\_m \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot eps\_m\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0125:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.5 + x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.00019)
   (* -0.3333333333333333 (* eps_m (* x (* x (* x eps_m)))))
   (if (<= x 0.0125)
     (+ 1.0 (* x (* x (+ -0.5 (* x 0.3333333333333333)))))
     (* (* x (* eps_m eps_m)) (* x 0.25)))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -0.00019) {
		tmp = -0.3333333333333333 * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))));
	} else if (x <= 0.0125) {
		tmp = 1.0 + (x * (x * (-0.5 + (x * 0.3333333333333333))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-0.00019d0)) then
        tmp = (-0.3333333333333333d0) * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))))
    else if (x <= 0.0125d0) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (x * ((-0.5d0) + (x * 0.3333333333333333d0))))
    else
        tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -0.00019) {
		tmp = -0.3333333333333333 * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))));
	} else if (x <= 0.0125) {
		tmp = 1.0 + (x * (x * (-0.5 + (x * 0.3333333333333333))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if x <= -0.00019:
		tmp = -0.3333333333333333 * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))))
	elif x <= 0.0125:
		tmp = 1.0 + (x * (x * (-0.5 + (x * 0.3333333333333333))))
	else:
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25)
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00019)
		tmp = Float64(-0.3333333333333333 * Float64(eps_m * Float64(x * Float64(x * Float64(x * eps_m)))));
	elseif (x <= 0.0125)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(-0.5 + Float64(x * 0.3333333333333333)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(x * 0.25));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00019)
		tmp = -0.3333333333333333 * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))));
	elseif (x <= 0.0125)
		tmp = 1.0 + (x * (x * (-0.5 + (x * 0.3333333333333333))));
	else
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[x, -0.00019], N[(-0.3333333333333333 * N[(eps$95$m * N[(x * N[(x * N[(x * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 0.0125], N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(-0.5 + N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.9000000000000001e-4

   1. Initial program 97.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 19.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 90.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 90.9%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{3}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{3}\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{3}\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{3} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       6. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

       13. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 90.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 90.9%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)} \]

   if -1.9000000000000001e-4 < x < 0.012500000000000001

   1. Initial program 55.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 63.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} \cdot x + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{3} \cdot x + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot x\right), \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{3}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.3%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333 + -0.5\right)\right)} \]

   if 0.012500000000000001 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 73.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 77.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00019:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0125:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.5 + x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 82.3% accurate, 11.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.5:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(eps\_m \cdot \left(eps\_m \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.5)
   (+ 1.0 (* x (* eps_m (* eps_m (* x (+ 0.5 (* x -0.3333333333333333)))))))
   (* (* x (* eps_m eps_m)) (* x 0.25))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= 1.5) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.5d0) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5d0 + (x * (-0.3333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= 1.5) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if x <= 1.5:
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))))
	else:
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25)
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.5)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps_m * Float64(eps_m * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(x * 0.25));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.5)
		tmp = 1.0 + (x * (eps_m * (eps_m * (x * (0.5 + (x * -0.3333333333333333))))));
	else
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[x, 1.5], N[(1.0 + N[(x * N[(eps$95$m * N[(eps$95$m * N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.5

   1. Initial program 65.2%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 65.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 53.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 87.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 87.7%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 73.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 75.1% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.8 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \left(eps\_m \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot eps\_m\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.8 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= x -5.8e-5)
   (* -0.3333333333333333 (* eps_m (* x (* x (* x eps_m)))))
   (if (<= x 8.8e-7) 1.0 (* (* x (* eps_m eps_m)) (* x 0.25)))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -5.8e-5) {
		tmp = -0.3333333333333333 * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))));
	} else if (x <= 8.8e-7) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-5.8d-5)) then
        tmp = (-0.3333333333333333d0) * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))))
    else if (x <= 8.8d-7) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -5.8e-5) {
		tmp = -0.3333333333333333 * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))));
	} else if (x <= 8.8e-7) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if x <= -5.8e-5:
		tmp = -0.3333333333333333 * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))))
	elif x <= 8.8e-7:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25)
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5.8e-5)
		tmp = Float64(-0.3333333333333333 * Float64(eps_m * Float64(x * Float64(x * Float64(x * eps_m)))));
	elseif (x <= 8.8e-7)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(x * 0.25));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -5.8e-5)
		tmp = -0.3333333333333333 * (eps_m * (x * (x * (x * eps_m))));
	elseif (x <= 8.8e-7)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[x, -5.8e-5], N[(-0.3333333333333333 * N[(eps$95$m * N[(x * N[(x * N[(x * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 8.8e-7], 1.0, N[(N[(x * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.8e-5

   1. Initial program 97.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 19.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 90.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 90.9%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{3}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{3}\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{3}\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{3} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       6. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

       13. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 90.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 90.9%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)} \]

   if -5.8e-5 < x < 8.8000000000000004e-7

   1. Initial program 55.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 8.8000000000000004e-7 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 73.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 74.4% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;eps\_m \cdot \left(eps\_m \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5.2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= x -1e-5)
   (* eps_m (* eps_m (* 0.25 (* x x))))
   (if (<= x 5.2e-7) 1.0 (* (* x (* eps_m eps_m)) (* x 0.25)))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -1e-5) {
		tmp = eps_m * (eps_m * (0.25 * (x * x)));
	} else if (x <= 5.2e-7) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1d-5)) then
        tmp = eps_m * (eps_m * (0.25d0 * (x * x)))
    else if (x <= 5.2d-7) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= -1e-5) {
		tmp = eps_m * (eps_m * (0.25 * (x * x)));
	} else if (x <= 5.2e-7) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if x <= -1e-5:
		tmp = eps_m * (eps_m * (0.25 * (x * x)))
	elif x <= 5.2e-7:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25)
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1e-5)
		tmp = Float64(eps_m * Float64(eps_m * Float64(0.25 * Float64(x * x))));
	elseif (x <= 5.2e-7)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(x * 0.25));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1e-5)
		tmp = eps_m * (eps_m * (0.25 * (x * x)));
	elseif (x <= 5.2e-7)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[x, -1e-5], N[(eps$95$m * N[(eps$95$m * N[(0.25 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5.2e-7], 1.0, N[(N[(x * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.00000000000000008e-5

   1. Initial program 97.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 95.4%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 90.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 90.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]

   if -1.00000000000000008e-5 < x < 5.19999999999999998e-7

   1. Initial program 55.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 5.19999999999999998e-7 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 73.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 77.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5.2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 69.7% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := eps\_m \cdot \left(eps\_m \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -0.00047:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0035:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* eps_m (* eps_m (* 0.25 (* x x))))))
   (if (<= x -0.00047) t_0 (if (<= x 0.0035) 1.0 t_0))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = eps_m * (eps_m * (0.25 * (x * x)));
	double tmp;
	if (x <= -0.00047) {
		tmp = t_0;
	} else if (x <= 0.0035) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = eps_m * (eps_m * (0.25d0 * (x * x)))
    if (x <= (-0.00047d0)) then
        tmp = t_0
    else if (x <= 0.0035d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double t_0 = eps_m * (eps_m * (0.25 * (x * x)));
	double tmp;
	if (x <= -0.00047) {
		tmp = t_0;
	} else if (x <= 0.0035) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	t_0 = eps_m * (eps_m * (0.25 * (x * x)))
	tmp = 0
	if x <= -0.00047:
		tmp = t_0
	elif x <= 0.0035:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	t_0 = Float64(eps_m * Float64(eps_m * Float64(0.25 * Float64(x * x))))
	tmp = 0.0
	if (x <= -0.00047)
		tmp = t_0;
	elseif (x <= 0.0035)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	t_0 = eps_m * (eps_m * (0.25 * (x * x)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -0.00047)
		tmp = t_0;
	elseif (x <= 0.0035)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(eps$95$m * N[(eps$95$m * N[(0.25 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -0.00047], t$95$0, If[LessEqual[x, 0.0035], 1.0, t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.69999999999999986e-4 or 0.00350000000000000007 < x

   1. Initial program 99.1%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 68.8%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 68.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 70.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]

   if -4.69999999999999986e-4 < x < 0.00350000000000000007

   1. Initial program 55.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00047:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.0035:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.25 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 78.0% accurate, 14.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 225:\\ \;\;\;\;1 + \left(eps\_m \cdot eps\_m\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(eps\_m \cdot eps\_m\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m)
 :precision binary64
 (if (<= x 225.0)
   (+ 1.0 (* (* eps_m eps_m) (* x (* 0.5 x))))
   (* (* x (* eps_m eps_m)) (* x 0.25))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= 225.0) {
		tmp = 1.0 + ((eps_m * eps_m) * (x * (0.5 * x)));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    real(8) :: tmp
    if (x <= 225.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + ((eps_m * eps_m) * (x * (0.5d0 * x)))
    else
        tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	double tmp;
	if (x <= 225.0) {
		tmp = 1.0 + ((eps_m * eps_m) * (x * (0.5 * x)));
	} else {
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	}
	return tmp;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	tmp = 0
	if x <= 225.0:
		tmp = 1.0 + ((eps_m * eps_m) * (x * (0.5 * x)))
	else:
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25)
	return tmp

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	tmp = 0.0
	if (x <= 225.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(eps_m * eps_m) * Float64(x * Float64(0.5 * x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(eps_m * eps_m)) * Float64(x * 0.25));
	end
	return tmp
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp_2 = code(x, eps_m)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 225.0)
		tmp = 1.0 + ((eps_m * eps_m) * (x * (0.5 * x)));
	else
		tmp = (x * (eps_m * eps_m)) * (x * 0.25);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := If[LessEqual[x, 225.0], N[(1.0 + N[(N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision] * N[(x * N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(eps$95$m * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 225

   1. Initial program 65.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 65.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) - \frac{-1}{6} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 84.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.3%

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 84.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 84.8%

       \[\leadsto 1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot x\right)}\right) \]

   if 225 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) + -1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\varepsilon - 1\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon - 1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 53.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + \left(\varepsilon + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{4} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}} \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon\right)}\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

      12. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.25\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{4}\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 73.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{4}}\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(x \cdot 0.25\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 50.2% accurate, 32.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ 1 + x \cdot \left(0.5 \cdot eps\_m\right) \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m) :precision binary64 (+ 1.0 (* x (* 0.5 eps_m))))

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	return 1.0 + (x * (0.5 * eps_m));
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    code = 1.0d0 + (x * (0.5d0 * eps_m))
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	return 1.0 + (x * (0.5 * eps_m));
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	return 1.0 + (x * (0.5 * eps_m))

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	return Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 * eps_m)))
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp = code(x, eps_m)
	tmp = 1.0 + (x * (0.5 * eps_m));
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 * eps$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 75.0%

   \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

3. Simplified 75.0%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in eps around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right) \]

   13. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 65.6%

    \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + \color{blue}{1}\right) \]

11. Taylor expanded in eps around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right), 1\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \varepsilon\right)\right), 1\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 65.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \varepsilon\right)\right), 1\right)\right) \]

13. Simplified 65.9%

    \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{\color{blue}{x \cdot \varepsilon}} + 1\right) \]

14. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{1}{2} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto 1 + \left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{x} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right)} \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right)\right)}\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 51.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

16. Simplified 51.5%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 \cdot \varepsilon\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 17: 44.5% accurate, 227.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} eps_m = \left|\varepsilon\right| \\ 1 \end{array} \]

FPCore

eps_m = (fabs.f64 eps)
(FPCore (x eps_m) :precision binary64 1.0)

C

eps_m = fabs(eps);
double code(double x, double eps_m) {
	return 1.0;
}

Fortran

eps_m = abs(eps)
real(8) function code(x, eps_m)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps_m
    code = 1.0d0
end function

Java

eps_m = Math.abs(eps);
public static double code(double x, double eps_m) {
	return 1.0;
}

Python

eps_m = math.fabs(eps)
def code(x, eps_m):
	return 1.0

Julia

eps_m = abs(eps)
function code(x, eps_m)
	return 1.0
end

MATLAB

eps_m = abs(eps);
function tmp = code(x, eps_m)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

eps_m = N[Abs[eps], $MachinePrecision]
code[x_, eps$95$m_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 75.0%

   \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

3. Simplified 75.0%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 44.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))