Cubic critical, narrow range

Percentage Accurate: 55.6% → 99.3%

Time: 21.8s

Alternatives: 14

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < a \land a < 94906265.62425156\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < b \land b < 94906265.62425156\right)\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < c \land c < 94906265.62425156\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 55.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.3% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}\\ \frac{\frac{t\_0}{b + \sqrt{t\_0 + b \cdot b}}}{0 - \frac{a}{-0.3333333333333333}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* c (/ a -0.3333333333333333))))
   (/ (/ t_0 (+ b (sqrt (+ t_0 (* b b))))) (- 0.0 (/ a -0.3333333333333333)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = c * (a / -0.3333333333333333);
	return (t_0 / (b + sqrt((t_0 + (b * b))))) / (0.0 - (a / -0.3333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = c * (a / (-0.3333333333333333d0))
    code = (t_0 / (b + sqrt((t_0 + (b * b))))) / (0.0d0 - (a / (-0.3333333333333333d0)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = c * (a / -0.3333333333333333);
	return (t_0 / (b + Math.sqrt((t_0 + (b * b))))) / (0.0 - (a / -0.3333333333333333));
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = c * (a / -0.3333333333333333)
	return (t_0 / (b + math.sqrt((t_0 + (b * b))))) / (0.0 - (a / -0.3333333333333333))

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(c * Float64(a / -0.3333333333333333))
	return Float64(Float64(t_0 / Float64(b + sqrt(Float64(t_0 + Float64(b * b))))) / Float64(0.0 - Float64(a / -0.3333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = c * (a / -0.3333333333333333);
	tmp = (t_0 / (b + sqrt((t_0 + (b * b))))) / (0.0 - (a / -0.3333333333333333));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(c * N[(a / -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$0 / N[(b + N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.0 - N[(a / -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{3} \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(3 \cdot a\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(3 \cdot a\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{3} \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot \color{blue}{a}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right) + b \cdot b\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(-3 \cdot a\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(c \cdot -3, a, \mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), a, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot -3, a, -\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)}}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\left(c \cdot -3\right) \cdot a - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\color{blue}{\left(a \cdot 3\right)} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \left(-3 \cdot a\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\left(\color{blue}{a} \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \left(\frac{1}{\frac{-1}{3}} \cdot a\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   4. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{1}{\frac{\frac{-1}{3}}{a}} - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}} - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   6. +-inverses N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}} - 0}{\left(a \cdot \color{blue}{3}\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   7. --rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{\color{blue}{\left(a \cdot 3\right)} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(a \cdot 3\right)}} \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right) \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{a}\right)} \]

   10. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}}{\color{blue}{3 \cdot a}} \]

   11. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)}} \]

   12. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) \cdot \color{blue}{a}} \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{-3 \cdot a} \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\frac{1}{\frac{-1}{3}} \cdot a} \]

   15. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{-1}{3}}{a}}}} \]

   16. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\frac{a}{\color{blue}{\frac{-1}{3}}}} \]

10. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}}}}{\frac{a}{-0.3333333333333333}}} \]

11. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}}{b + \sqrt{c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333} + b \cdot b}}}{0 - \frac{a}{-0.3333333333333333}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c \cdot a}{0.3333333333333333} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + \frac{c \cdot a}{-0.3333333333333333}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* (/ (* c a) 0.3333333333333333) (/ -0.3333333333333333 a))
  (+ b (sqrt (+ (* b b) (/ (* c a) -0.3333333333333333))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (((c * a) / 0.3333333333333333) * (-0.3333333333333333 / a)) / (b + sqrt(((b * b) + ((c * a) / -0.3333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (((c * a) / 0.3333333333333333d0) * ((-0.3333333333333333d0) / a)) / (b + sqrt(((b * b) + ((c * a) / (-0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (((c * a) / 0.3333333333333333) * (-0.3333333333333333 / a)) / (b + Math.sqrt(((b * b) + ((c * a) / -0.3333333333333333))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (((c * a) / 0.3333333333333333) * (-0.3333333333333333 / a)) / (b + math.sqrt(((b * b) + ((c * a) / -0.3333333333333333))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(c * a) / 0.3333333333333333) * Float64(-0.3333333333333333 / a)) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(c * a) / -0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (((c * a) / 0.3333333333333333) * (-0.3333333333333333 / a)) / (b + sqrt(((b * b) + ((c * a) / -0.3333333333333333))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] / 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(c * a), $MachinePrecision] / -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{3} \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(3 \cdot a\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(3 \cdot a\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{3} \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot \color{blue}{a}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right) + b \cdot b\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(-3 \cdot a\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(c \cdot -3, a, \mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), a, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot -3, a, -\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)}}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\left(c \cdot -3\right) \cdot a - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\color{blue}{\left(a \cdot 3\right)} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \left(-3 \cdot a\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\left(\color{blue}{a} \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \left(\frac{1}{\frac{-1}{3}} \cdot a\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   4. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{1}{\frac{\frac{-1}{3}}{a}} - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}} - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   6. +-inverses N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}} - 0}{\left(a \cdot \color{blue}{3}\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   7. --rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{\color{blue}{\left(a \cdot 3\right)} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(a \cdot 3\right)}} \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right) \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{a}\right)} \]

   10. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}}{\color{blue}{3 \cdot a}} \]

   11. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)}} \]

   12. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right) \cdot \color{blue}{a}} \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{-3 \cdot a} \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\frac{1}{\frac{-1}{3}} \cdot a} \]

   15. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{-1}{3}}{a}}}} \]

   16. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}\right)}{\frac{a}{\color{blue}{\frac{-1}{3}}}} \]

10. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}}}}{\frac{a}{-0.3333333333333333}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. div-inv N/A

       \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{a}{\frac{-1}{3}}}} \]

    2. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right)}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\frac{a}{\frac{-1}{3}}} \]

    3. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right)}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}} \cdot \frac{\frac{-1}{3}}{\color{blue}{a}} \]

    4. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right)\right) \cdot \frac{\frac{-1}{3}}{a}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}}} \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right)\right) \cdot \frac{\frac{-1}{3}}{a}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)}\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{3}}{a}\right)\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c \cdot a}{\frac{-1}{3}}\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{3}}{a}\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)\right) \]

    8. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c \cdot a}{\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3}\right)}\right), \left(\frac{\frac{-1}{3}}{a}\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c \cdot a}{\frac{1}{3}}\right), \left(\frac{\frac{-1}{3}}{a}\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \frac{1}{3}\right), \left(\frac{\frac{-1}{3}}{a}\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{1}{3}\right), \left(\frac{\frac{-1}{3}}{a}\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{1}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{3}, a\right)\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{1}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{3}, a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}}\right)}\right)\right) \]

    14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{1}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{3}, a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    15. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{1}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{3}, a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}} + b \cdot b\right)\right)\right)\right) \]

    16. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{1}{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{3}, a\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{c \cdot a}{0.3333333333333333} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{\frac{c \cdot a}{-0.3333333333333333} + b \cdot b}}} \]

13. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot a}{0.3333333333333333} \cdot \frac{-0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + \frac{c \cdot a}{-0.3333333333333333}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}\\ t\_0 \cdot \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{t\_0 + b \cdot b}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* c (/ a -0.3333333333333333))))
   (* t_0 (/ (/ 0.3333333333333333 a) (+ b (sqrt (+ t_0 (* b b))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = c * (a / -0.3333333333333333);
	return t_0 * ((0.3333333333333333 / a) / (b + sqrt((t_0 + (b * b)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = c * (a / (-0.3333333333333333d0))
    code = t_0 * ((0.3333333333333333d0 / a) / (b + sqrt((t_0 + (b * b)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = c * (a / -0.3333333333333333);
	return t_0 * ((0.3333333333333333 / a) / (b + Math.sqrt((t_0 + (b * b)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = c * (a / -0.3333333333333333)
	return t_0 * ((0.3333333333333333 / a) / (b + math.sqrt((t_0 + (b * b)))))

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(c * Float64(a / -0.3333333333333333))
	return Float64(t_0 * Float64(Float64(0.3333333333333333 / a) / Float64(b + sqrt(Float64(t_0 + Float64(b * b))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = c * (a / -0.3333333333333333);
	tmp = t_0 * ((0.3333333333333333 / a) / (b + sqrt((t_0 + (b * b)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(c * N[(a / -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(N[(0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{3} \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(3 \cdot a\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(3 \cdot a\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{3} \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot \color{blue}{a}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(3 \cdot a\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right)}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - b \cdot b\right) + b \cdot b\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \left(-3 \cdot a\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(c \cdot -3, a, \mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), a, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), a, \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, 3\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot -3, a, -\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)}}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a + \left(\mathsf{neg}\left(\left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)}} \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(c \cdot \left(-3 \cdot a\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(c \cdot \left(a \cdot -3\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(c \cdot \left(a \cdot \frac{1}{\frac{-1}{3}}\right) - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   6. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}} - \left(b \cdot b - b \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   7. +-inverses N/A

      \[\leadsto \left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}} - 0\right) \cdot \frac{1}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   8. --rgt-identity N/A

      \[\leadsto \left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right) \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)} \cdot \color{blue}{\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right)} \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\left(a \cdot 3\right) \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}\right)}\right), \color{blue}{\left(c \cdot \frac{a}{\frac{-1}{3}}\right)}\right) \]

10. Applied egg-rr 99.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}}} \cdot \left(c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}\right)} \]

11. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \left(c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{b + \sqrt{c \cdot \frac{a}{-0.3333333333333333} + b \cdot b}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 90.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\\ \frac{\left(\left(\frac{c \cdot \left(\left(c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) \cdot -0.5625\right)}{t\_0} + \frac{c \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375\right)}{b \cdot b}\right) + c \cdot -0.5\right) + \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right)}{a \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot t\_0\right)}}{b} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* b (* b (* b b)))))
   (/
    (+
     (+
      (+
       (/ (* c (* (* c (* c (* a a))) -0.5625)) t_0)
       (/ (* c (* (* c a) -0.375)) (* b b)))
      (* c -0.5))
     (/
      (*
       (* -0.16666666666666666 (* a (* a (* a a))))
       (* (* c c) (* (* c c) 6.328125)))
      (* a (* (* b b) t_0))))
    b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * (b * b));
	return (((((c * ((c * (c * (a * a))) * -0.5625)) / t_0) + ((c * ((c * a) * -0.375)) / (b * b))) + (c * -0.5)) + (((-0.16666666666666666 * (a * (a * (a * a)))) * ((c * c) * ((c * c) * 6.328125))) / (a * ((b * b) * t_0)))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = b * (b * (b * b))
    code = (((((c * ((c * (c * (a * a))) * (-0.5625d0))) / t_0) + ((c * ((c * a) * (-0.375d0))) / (b * b))) + (c * (-0.5d0))) + ((((-0.16666666666666666d0) * (a * (a * (a * a)))) * ((c * c) * ((c * c) * 6.328125d0))) / (a * ((b * b) * t_0)))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * (b * b));
	return (((((c * ((c * (c * (a * a))) * -0.5625)) / t_0) + ((c * ((c * a) * -0.375)) / (b * b))) + (c * -0.5)) + (((-0.16666666666666666 * (a * (a * (a * a)))) * ((c * c) * ((c * c) * 6.328125))) / (a * ((b * b) * t_0)))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = b * (b * (b * b))
	return (((((c * ((c * (c * (a * a))) * -0.5625)) / t_0) + ((c * ((c * a) * -0.375)) / (b * b))) + (c * -0.5)) + (((-0.16666666666666666 * (a * (a * (a * a)))) * ((c * c) * ((c * c) * 6.328125))) / (a * ((b * b) * t_0)))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(b * Float64(b * Float64(b * b)))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(c * Float64(Float64(c * Float64(c * Float64(a * a))) * -0.5625)) / t_0) + Float64(Float64(c * Float64(Float64(c * a) * -0.375)) / Float64(b * b))) + Float64(c * -0.5)) + Float64(Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(a * Float64(a * Float64(a * a)))) * Float64(Float64(c * c) * Float64(Float64(c * c) * 6.328125))) / Float64(a * Float64(Float64(b * b) * t_0)))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = b * (b * (b * b));
	tmp = (((((c * ((c * (c * (a * a))) * -0.5625)) / t_0) + ((c * ((c * a) * -0.375)) / (b * b))) + (c * -0.5)) + (((-0.16666666666666666 * (a * (a * (a * a)))) * ((c * c) * ((c * c) * 6.328125))) / (a * ((b * b) * t_0)))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(b * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(N[(N[(c * N[(N[(c * N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.5625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[(c * N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(c * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(a * N[(a * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * 6.328125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot c + \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{\frac{81}{64} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right) + \frac{81}{16} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right)}{a \cdot {b}^{6}}\right)\right)}{b}} \]

7. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{{b}^{4}} + \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \left(c \cdot -0.5 + \frac{-0.16666666666666666}{a} \cdot \frac{{a}^{4} \cdot \left({c}^{4} \cdot 6.328125\right)}{{b}^{6}}\right)\right)}{b}} \]

9. Applied egg-rr 92.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(\frac{c \cdot \left(\left(c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) \cdot -0.5625\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{c \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375\right)}{b \cdot b}\right) + c \cdot -0.5\right) + \frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right)}{a \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)}}}{b} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.7% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\\ \frac{c \cdot \left(-0.5 + \left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-0.375}{b \cdot b}\right) + \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}{a \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot \frac{c \cdot \left(c \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right)}{t\_0} + \frac{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -0.5625\right)\right)}{t\_0}\right)}{b} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* b (* b (* b b)))))
   (/
    (+
     (* c (+ -0.5 (* (* c a) (/ -0.375 (* b b)))))
     (+
      (*
       (/ (* (* a a) (* (* a a) -0.16666666666666666)) (* a (* b b)))
       (/ (* c (* c (* (* c c) 6.328125))) t_0))
      (/ (* (* c c) (* c (* (* a a) -0.5625))) t_0)))
    b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * (b * b));
	return ((c * (-0.5 + ((c * a) * (-0.375 / (b * b))))) + (((((a * a) * ((a * a) * -0.16666666666666666)) / (a * (b * b))) * ((c * (c * ((c * c) * 6.328125))) / t_0)) + (((c * c) * (c * ((a * a) * -0.5625))) / t_0))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = b * (b * (b * b))
    code = ((c * ((-0.5d0) + ((c * a) * ((-0.375d0) / (b * b))))) + (((((a * a) * ((a * a) * (-0.16666666666666666d0))) / (a * (b * b))) * ((c * (c * ((c * c) * 6.328125d0))) / t_0)) + (((c * c) * (c * ((a * a) * (-0.5625d0)))) / t_0))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * (b * b));
	return ((c * (-0.5 + ((c * a) * (-0.375 / (b * b))))) + (((((a * a) * ((a * a) * -0.16666666666666666)) / (a * (b * b))) * ((c * (c * ((c * c) * 6.328125))) / t_0)) + (((c * c) * (c * ((a * a) * -0.5625))) / t_0))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = b * (b * (b * b))
	return ((c * (-0.5 + ((c * a) * (-0.375 / (b * b))))) + (((((a * a) * ((a * a) * -0.16666666666666666)) / (a * (b * b))) * ((c * (c * ((c * c) * 6.328125))) / t_0)) + (((c * c) * (c * ((a * a) * -0.5625))) / t_0))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(b * Float64(b * Float64(b * b)))
	return Float64(Float64(Float64(c * Float64(-0.5 + Float64(Float64(c * a) * Float64(-0.375 / Float64(b * b))))) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(a * a) * Float64(Float64(a * a) * -0.16666666666666666)) / Float64(a * Float64(b * b))) * Float64(Float64(c * Float64(c * Float64(Float64(c * c) * 6.328125))) / t_0)) + Float64(Float64(Float64(c * c) * Float64(c * Float64(Float64(a * a) * -0.5625))) / t_0))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = b * (b * (b * b));
	tmp = ((c * (-0.5 + ((c * a) * (-0.375 / (b * b))))) + (((((a * a) * ((a * a) * -0.16666666666666666)) / (a * (b * b))) * ((c * (c * ((c * c) * 6.328125))) / t_0)) + (((c * c) * (c * ((a * a) * -0.5625))) / t_0))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(b * N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(c * N[(-0.5 + N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * N[(-0.375 / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(c * N[(c * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * 6.328125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(c * N[(N[(a * a), $MachinePrecision] * -0.5625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot c + \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{\frac{81}{64} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right) + \frac{81}{16} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right)}{a \cdot {b}^{6}}\right)\right)}{b}} \]

7. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{{b}^{4}} + \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \left(c \cdot -0.5 + \frac{-0.16666666666666666}{a} \cdot \frac{{a}^{4} \cdot \left({c}^{4} \cdot 6.328125\right)}{{b}^{6}}\right)\right)}{b}} \]

9. Applied egg-rr 92.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{b} \cdot \left(\left(\frac{c \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375\right)}{b \cdot b} + c \cdot -0.5\right) + \left(\frac{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right)}{a \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)} + \frac{c \cdot \left(\left(c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) \cdot -0.5625\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right)\right)} \]

11. Applied egg-rr 92.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-0.375}{b \cdot b} + -0.5\right) + \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}{a \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot \frac{c \cdot \left(c \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -0.5625\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right)}{b}} \]

12. Final simplification 92.2%

    \[\leadsto \frac{c \cdot \left(-0.5 + \left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-0.375}{b \cdot b}\right) + \left(\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}{a \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot \frac{c \cdot \left(c \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(c \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot -0.5625\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right)}{b} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 6: 88.0% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\frac{-0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} - a \cdot \left(-0.375 \cdot \frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}{a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/ 0.3333333333333333 a)
  (/
   (+
    (* -0.6666666666666666 (/ b c))
    (* a (- (/ 0.5 b) (* a (* -0.375 (/ c (* b (* b b))))))))
   a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (0.3333333333333333 / a) / (((-0.6666666666666666 * (b / c)) + (a * ((0.5 / b) - (a * (-0.375 * (c / (b * (b * b)))))))) / a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (0.3333333333333333d0 / a) / ((((-0.6666666666666666d0) * (b / c)) + (a * ((0.5d0 / b) - (a * ((-0.375d0) * (c / (b * (b * b)))))))) / a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (0.3333333333333333 / a) / (((-0.6666666666666666 * (b / c)) + (a * ((0.5 / b) - (a * (-0.375 * (c / (b * (b * b)))))))) / a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (0.3333333333333333 / a) / (((-0.6666666666666666 * (b / c)) + (a * ((0.5 / b) - (a * (-0.375 * (c / (b * (b * b)))))))) / a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(0.3333333333333333 / a) / Float64(Float64(Float64(-0.6666666666666666 * Float64(b / c)) + Float64(a * Float64(Float64(0.5 / b) - Float64(a * Float64(-0.375 * Float64(c / Float64(b * Float64(b * b)))))))) / a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (0.3333333333333333 / a) / (((-0.6666666666666666 * (b / c)) + (a * ((0.5 / b) - (a * (-0.375 * (c / (b * (b * b)))))))) / a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(-0.6666666666666666 * N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] - N[(a * N[(-0.375 * N[(c / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{3 \cdot a}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)}\right) \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{a}\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}{a}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(\frac{-3}{4} \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

9. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\color{blue}{\frac{-0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} - a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot -0.375\right)\right)}{a}}} \]

10. Final simplification 89.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\frac{-0.6666666666666666 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} - a \cdot \left(-0.375 \cdot \frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}{a}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 81.9% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.3333333333333333}{\frac{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}}{c}}}{a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/
   0.3333333333333333
   (/ (+ (/ (* b -0.6666666666666666) a) (/ (* c 0.5) b)) c))
  a))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (0.3333333333333333 / ((((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b)) / c)) / a;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (0.3333333333333333d0 / ((((b * (-0.6666666666666666d0)) / a) + ((c * 0.5d0) / b)) / c)) / a
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (0.3333333333333333 / ((((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b)) / c)) / a;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (0.3333333333333333 / ((((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b)) / c)) / a

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / a) + Float64(Float64(c * 0.5) / b)) / c)) / a)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (0.3333333333333333 / ((((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b)) / c)) / a;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(0.3333333333333333 / N[(N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision] + N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{3 \cdot a}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)}\right) \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{a}\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}}{c}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right), \color{blue}{c}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot c\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 83.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

9. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{-0.6666666666666666 \cdot b}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}}{c}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}{c} \cdot a}} \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}{c}}}{\color{blue}{a}} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}{c}}\right), \color{blue}{a}\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}{c}\right)\right), a\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right), c\right)\right), a\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a}\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), c\right)\right), a\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), c\right)\right), a\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), c\right)\right), a\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), c\right)\right), a\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right), a\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 83.2%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right), a\right) \]

11. Applied egg-rr 83.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{\frac{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}}{c}}}{a}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 81.9% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333 \cdot \frac{c}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}}}{a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (*
   0.3333333333333333
   (/ c (+ (/ (* b -0.6666666666666666) a) (/ (* c 0.5) b))))
  a))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (0.3333333333333333 * (c / (((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b)))) / a;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (0.3333333333333333d0 * (c / (((b * (-0.6666666666666666d0)) / a) + ((c * 0.5d0) / b)))) / a
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (0.3333333333333333 * (c / (((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b)))) / a;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (0.3333333333333333 * (c / (((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b)))) / a

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(c / Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / a) + Float64(Float64(c * 0.5) / b)))) / a)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (0.3333333333333333 * (c / (((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b)))) / a;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(0.3333333333333333 * N[(c / N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision] + N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{3 \cdot a}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)}\right) \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{a}\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}}{c}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right), \color{blue}{c}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot c\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 83.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

9. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{-0.6666666666666666 \cdot b}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}}{c}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{a} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}{c}}} \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{a} \cdot \frac{c}{\color{blue}{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}} \]

    3. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{c}{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}}{\color{blue}{a}} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{c}{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}\right), \color{blue}{a}\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{c}{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}\right)\right), a\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right)\right), a\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a}\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right)\right)\right), a\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right)\right)\right), a\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right)\right)\right), a\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right)\right)\right), a\right) \]

    11. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right)\right), a\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 83.2%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right)\right), a\right) \]

11. Applied egg-rr 83.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \frac{c}{\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}}}{a}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 81.9% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}\right)}{c}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  0.3333333333333333
  (/ (* a (+ (/ (* b -0.6666666666666666) a) (/ (* c 0.5) b))) c)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.3333333333333333 / ((a * (((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b))) / c);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.3333333333333333d0 / ((a * (((b * (-0.6666666666666666d0)) / a) + ((c * 0.5d0) / b))) / c)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.3333333333333333 / ((a * (((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b))) / c);
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.3333333333333333 / ((a * (((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b))) / c)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.3333333333333333 / Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / a) + Float64(Float64(c * 0.5) / b))) / c))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.3333333333333333 / ((a * (((b * -0.6666666666666666) / a) + ((c * 0.5) / b))) / c);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.3333333333333333 / N[(N[(a * N[(N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision] + N[(N[(c * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{3 \cdot a}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)}\right) \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{a}\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}}{c}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right), \color{blue}{c}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot c\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 83.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

9. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{-0.6666666666666666 \cdot b}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}}{c}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}{c} \cdot a}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}}{c} \cdot a\right)}\right) \]

    3. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot a}{\color{blue}{c}}\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot a\right), \color{blue}{c}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a} + \frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right), a\right), c\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a}\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), a\right), c\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), a\right), c\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), a\right), c\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \left(\frac{c \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), a\right), c\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), c\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 83.2%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), c\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 83.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{\left(\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}\right) \cdot a}{c}}} \]

12. Final simplification 83.2%

    \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\frac{a \cdot \left(\frac{b \cdot -0.6666666666666666}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}\right)}{c}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 10: 81.9% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\frac{0.5}{b} + \frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c \cdot a}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/ 0.3333333333333333 a)
  (+ (/ 0.5 b) (/ (* b -0.6666666666666666) (* c a)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (0.3333333333333333 / a) / ((0.5 / b) + ((b * -0.6666666666666666) / (c * a)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (0.3333333333333333d0 / a) / ((0.5d0 / b) + ((b * (-0.6666666666666666d0)) / (c * a)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (0.3333333333333333 / a) / ((0.5 / b) + ((b * -0.6666666666666666) / (c * a)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (0.3333333333333333 / a) / ((0.5 / b) + ((b * -0.6666666666666666) / (c * a)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(0.3333333333333333 / a) / Float64(Float64(0.5 / b) + Float64(Float64(b * -0.6666666666666666) / Float64(c * a))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (0.3333333333333333 / a) / ((0.5 / b) + ((b * -0.6666666666666666) / (c * a)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(0.3333333333333333 / a), $MachinePrecision] / N[(N[(0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(N[(b * -0.6666666666666666), $MachinePrecision] / N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(3 \cdot a\right) \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{3 \cdot a}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}}} \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)}\right) \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{3}}{a}\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{3}\right), a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} + b}}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}} + b}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b \cdot b}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}}{c}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right), \color{blue}{c}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{a}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot c}{b}\right)\right), c\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot c\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 83.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-2}{3}, b\right), a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), c\right)\right) \]

9. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{-0.6666666666666666 \cdot b}{a} + \frac{c \cdot 0.5}{b}}{c}}} \]

10. Taylor expanded in a around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a \cdot c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a \cdot c}}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a \cdot c}\right)}\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{\frac{-2}{3}} \cdot \frac{b}{a \cdot c}\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{b}{a \cdot c}\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{\frac{-2}{3}} \cdot \frac{b}{a \cdot c}\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\frac{\frac{-2}{3} \cdot b}{\color{blue}{a \cdot c}}\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-2}{3} \cdot b\right), \color{blue}{\left(a \cdot c\right)}\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-2}{3}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot c\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot c\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), \left(c \cdot \color{blue}{a}\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 83.1%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-2}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{a}\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 83.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.3333333333333333}{a}}{\color{blue}{\frac{0.5}{b} + \frac{b \cdot -0.6666666666666666}{c \cdot a}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 11: 81.4% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot \left(-0.5 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375}{b \cdot b}\right)}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* c (+ -0.5 (/ (* (* c a) -0.375) (* b b)))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (-0.5 + (((c * a) * -0.375) / (b * b)))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * ((-0.5d0) + (((c * a) * (-0.375d0)) / (b * b)))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * (-0.5 + (((c * a) * -0.375) / (b * b)))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * (-0.5 + (((c * a) * -0.375) / (b * b)))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * Float64(-0.5 + Float64(Float64(Float64(c * a) * -0.375) / Float64(b * b)))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * (-0.5 + (((c * a) * -0.375) / (b * b)))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * N[(-0.5 + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -0.375), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot c + \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{\frac{81}{64} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right) + \frac{81}{16} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right)}{a \cdot {b}^{6}}\right)\right)}{b}} \]

7. Simplified 92.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{{b}^{4}} + \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + \left(c \cdot -0.5 + \frac{-0.16666666666666666}{a} \cdot \frac{{a}^{4} \cdot \left({c}^{4} \cdot 6.328125\right)}{{b}^{6}}\right)\right)}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{1}{2}\right)\right)}, b\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{1}{2}\right)\right), b\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), b\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 82.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right), b\right) \]

10. Simplified 82.7%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} + -0.5\right)}}{b} \]

11. Final simplification 82.7%

    \[\leadsto \frac{c \cdot \left(-0.5 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375}{b \cdot b}\right)}{b} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 64.3% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (* c -0.5) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-0.5d0)) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -0.5) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -0.5) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -0.5) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 65.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 65.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 13: 64.2% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ -0.5 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-0.5 / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-0.5 / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-0.5 / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 65.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 65.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{b}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2}}{b} \cdot \color{blue}{c} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right), \color{blue}{c}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 65.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), c\right) \]

9. Applied egg-rr 65.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.5}{b} \cdot c} \]

10. Final simplification 65.5%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-0.5}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 3.2% accurate, 116.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 0.0)

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0;
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0

Julia

function code(a, b, c)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 53.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot \left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 53.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}{3 \cdot a} - \color{blue}{\frac{b}{3 \cdot a}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \frac{1}{3 \cdot a} - \frac{\color{blue}{b}}{3 \cdot a} \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \frac{1}{3 \cdot a} - b \cdot \color{blue}{\frac{1}{3 \cdot a}} \]

   4. prod-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}, \frac{1}{3 \cdot a}, \mathsf{neg}\left(\frac{1}{3 \cdot a} \cdot b\right)\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), b, \frac{1}{3 \cdot a} \cdot b\right)} \]

   5. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}, \frac{1}{3 \cdot a}, \mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{3 \cdot a}{b}}\right)\right) + \mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), b, \frac{1}{3 \cdot a} \cdot b\right) \]

   6. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}, \frac{1}{3 \cdot a}, \mathsf{neg}\left(\frac{b}{3 \cdot a}\right)\right) + \mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), b, \frac{1}{3 \cdot a} \cdot b\right) \]

   7. fmm-def N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} \cdot \frac{1}{3 \cdot a} - \frac{b}{3 \cdot a}\right) + \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right)}, b, \frac{1}{3 \cdot a} \cdot b\right) \]

   8. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)}}{3 \cdot a} - \frac{b}{3 \cdot a}\right) + \mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{3 \cdot a}}\right), b, \frac{1}{3 \cdot a} \cdot b\right) \]

   9. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a} + \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right)}, b, \frac{1}{3 \cdot a} \cdot b\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3 \cdot a}\right), b, \frac{1}{3 \cdot a} \cdot b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 53.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -3\right)} - b}{a \cdot 3} + \mathsf{fma}\left(\frac{-0.3333333333333333}{a}, b, \frac{b}{a \cdot 3}\right)} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{3} \cdot \frac{b}{a}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{b}{a} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} + \frac{1}{3}\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{b}{a} \cdot 0 \]

   3. mul0-rgt 3.2%

      \[\leadsto 0 \]

9. Simplified 3.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.0536712127723509e-8 a) (< a 94906265.62425156)) (and (< 1.0536712127723509e-8 b) (< b 94906265.62425156))) (and (< 1.0536712127723509e-8 c) (< c 94906265.62425156)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))