Hyperbolic secant

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 10.0s

Alternatives: 18

Speedup: 2.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 2.0 (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (exp(x) + exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (exp(x) + exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (math.exp(x) + math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (exp(x) + exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 2.0 (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (exp(x) + exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (exp(x) + exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (math.exp(x) + math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (exp(x) + exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\cosh x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (cosh x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / cosh(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 / cosh(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / Math.cosh(x);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / math.cosh(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / cosh(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / cosh(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[Cosh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{2}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{x} + e^{\mathsf{neg}\left(x\right)}}{2}\right)}\right) \]

   3. cosh-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \cosh x\right) \]

   4. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\cosh x}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 76.2% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\frac{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_1\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_1\right)\right)}{1 - t\_1} - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\right) - 2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{t\_2 \cdot t\_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.08333333333333333 (* (* x x) 0.002777777777777778)))
        (t_1 (* (* x x) t_0))
        (t_2 (* (* x x) (* x x))))
   (if (<= x 4e+38)
     (/
      2.0
      (/
       (-
        (/
         (*
          (* (* x x) (* (* x x) (+ 1.0 t_1)))
          (- 1.0 (* (* x x) (* t_0 t_1))))
         (- 1.0 t_1))
        4.0)
       (- (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x t_0)))) 2.0)))
     (/ 21600.0 (* t_2 t_2)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double t_2 = (x * x) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = 2.0 / ((((((x * x) * ((x * x) * (1.0 + t_1))) * (1.0 - ((x * x) * (t_0 * t_1)))) / (1.0 - t_1)) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * t_0)))) - 2.0));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_2 * t_2);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.08333333333333333d0 + ((x * x) * 0.002777777777777778d0)
    t_1 = (x * x) * t_0
    t_2 = (x * x) * (x * x)
    if (x <= 4d+38) then
        tmp = 2.0d0 / ((((((x * x) * ((x * x) * (1.0d0 + t_1))) * (1.0d0 - ((x * x) * (t_0 * t_1)))) / (1.0d0 - t_1)) - 4.0d0) / (((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * t_0)))) - 2.0d0))
    else
        tmp = 21600.0d0 / (t_2 * t_2)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double t_2 = (x * x) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = 2.0 / ((((((x * x) * ((x * x) * (1.0 + t_1))) * (1.0 - ((x * x) * (t_0 * t_1)))) / (1.0 - t_1)) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * t_0)))) - 2.0));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_2 * t_2);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)
	t_1 = (x * x) * t_0
	t_2 = (x * x) * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= 4e+38:
		tmp = 2.0 / ((((((x * x) * ((x * x) * (1.0 + t_1))) * (1.0 - ((x * x) * (t_0 * t_1)))) / (1.0 - t_1)) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * t_0)))) - 2.0))
	else:
		tmp = 21600.0 / (t_2 * t_2)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.002777777777777778))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= 4e+38)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_1))) * Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(t_0 * t_1)))) / Float64(1.0 - t_1)) - 4.0) / Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * t_0)))) - 2.0)));
	else
		tmp = Float64(21600.0 / Float64(t_2 * t_2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	t_1 = (x * x) * t_0;
	t_2 = (x * x) * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4e+38)
		tmp = 2.0 / ((((((x * x) * ((x * x) * (1.0 + t_1))) * (1.0 - ((x * x) * (t_0 * t_1)))) / (1.0 - t_1)) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * t_0)))) - 2.0));
	else
		tmp = 21600.0 / (t_2 * t_2);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.08333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 4e+38], N[(2.0 / N[(N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(21600.0 / N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.99999999999999991e38

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 92.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 69.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      6. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)}\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)}\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 70.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)}} - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}} \]

   if 3.99999999999999991e38 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 95.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 5.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 10.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 10.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{{x}^{8}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \color{blue}{\left({x}^{8}\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{4}\right)}\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{{x}^{4}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 75.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\\ t_2 := 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\\ t_3 := x \cdot t\_2\\ \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_3 \cdot t\_3\right) + -4\right)}{\left(-4 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right)\right) \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot t\_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{t\_0 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x)))
        (t_1
         (+
          1.0
          (*
           x
           (* x (+ 0.08333333333333333 (* (* x x) 0.002777777777777778))))))
        (t_2 (+ 1.0 (* (* x x) 0.08333333333333333)))
        (t_3 (* x t_2)))
   (if (<= x 4e+38)
     (/
      (* 2.0 (+ (* (* x x) (* t_3 t_3)) -4.0))
      (* (+ -4.0 (* (* x (* x (* x x))) (* t_1 t_1))) (+ 2.0 (* (* x x) t_2))))
     (/ 21600.0 (* t_0 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = 1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778))));
	double t_2 = 1.0 + ((x * x) * 0.08333333333333333);
	double t_3 = x * t_2;
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = (2.0 * (((x * x) * (t_3 * t_3)) + -4.0)) / ((-4.0 + ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * t_1))) * (2.0 + ((x * x) * t_2)));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    t_1 = 1.0d0 + (x * (x * (0.08333333333333333d0 + ((x * x) * 0.002777777777777778d0))))
    t_2 = 1.0d0 + ((x * x) * 0.08333333333333333d0)
    t_3 = x * t_2
    if (x <= 4d+38) then
        tmp = (2.0d0 * (((x * x) * (t_3 * t_3)) + (-4.0d0))) / (((-4.0d0) + ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * t_1))) * (2.0d0 + ((x * x) * t_2)))
    else
        tmp = 21600.0d0 / (t_0 * t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = 1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778))));
	double t_2 = 1.0 + ((x * x) * 0.08333333333333333);
	double t_3 = x * t_2;
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = (2.0 * (((x * x) * (t_3 * t_3)) + -4.0)) / ((-4.0 + ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * t_1))) * (2.0 + ((x * x) * t_2)));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	t_1 = 1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778))))
	t_2 = 1.0 + ((x * x) * 0.08333333333333333)
	t_3 = x * t_2
	tmp = 0
	if x <= 4e+38:
		tmp = (2.0 * (((x * x) * (t_3 * t_3)) + -4.0)) / ((-4.0 + ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * t_1))) * (2.0 + ((x * x) * t_2)))
	else:
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.002777777777777778)))))
	t_2 = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * 0.08333333333333333))
	t_3 = Float64(x * t_2)
	tmp = 0.0
	if (x <= 4e+38)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(t_3 * t_3)) + -4.0)) / Float64(Float64(-4.0 + Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * Float64(t_1 * t_1))) * Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * t_2))));
	else
		tmp = Float64(21600.0 / Float64(t_0 * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	t_1 = 1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778))));
	t_2 = 1.0 + ((x * x) * 0.08333333333333333);
	t_3 = x * t_2;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4e+38)
		tmp = (2.0 * (((x * x) * (t_3 * t_3)) + -4.0)) / ((-4.0 + ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * t_1))) * (2.0 + ((x * x) * t_2)));
	else
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(x * t$95$2), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 4e+38], N[(N[(2.0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$3 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(-4.0 + N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(21600.0 / N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.99999999999999991e38

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 92.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 69.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 72.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.5%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   12. Applied egg-rr 68.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\right) + -4\right)}{\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) + -4\right) \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}} \]

   if 3.99999999999999991e38 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 95.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 5.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 10.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 10.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{{x}^{8}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \color{blue}{\left({x}^{8}\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{4}\right)}\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{{x}^{4}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{2 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\right) + -4\right)}{\left(-4 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 74.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_2 := x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_2 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_2\right)\right)\right)}{1 + t\_2 \cdot \left(t\_2 + -1\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{t\_1 \cdot t\_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.08333333333333333 (* (* x x) 0.002777777777777778)))
        (t_1 (* (* x x) (* x x)))
        (t_2 (* x (* x t_0))))
   (if (<= x 4e+38)
     (/
      2.0
      (+
       2.0
       (/
        (* (* x x) (+ 1.0 (* t_2 (* t_0 (* (* x x) t_2)))))
        (+ 1.0 (* t_2 (+ t_2 -1.0))))))
     (/ 21600.0 (* t_1 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	double t_1 = (x * x) * (x * x);
	double t_2 = x * (x * t_0);
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_2 * (t_0 * ((x * x) * t_2))))) / (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0)))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_1 * t_1);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.08333333333333333d0 + ((x * x) * 0.002777777777777778d0)
    t_1 = (x * x) * (x * x)
    t_2 = x * (x * t_0)
    if (x <= 4d+38) then
        tmp = 2.0d0 / (2.0d0 + (((x * x) * (1.0d0 + (t_2 * (t_0 * ((x * x) * t_2))))) / (1.0d0 + (t_2 * (t_2 + (-1.0d0))))))
    else
        tmp = 21600.0d0 / (t_1 * t_1)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	double t_1 = (x * x) * (x * x);
	double t_2 = x * (x * t_0);
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_2 * (t_0 * ((x * x) * t_2))))) / (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0)))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_1 * t_1);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)
	t_1 = (x * x) * (x * x)
	t_2 = x * (x * t_0)
	tmp = 0
	if x <= 4e+38:
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_2 * (t_0 * ((x * x) * t_2))))) / (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0)))))
	else:
		tmp = 21600.0 / (t_1 * t_1)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.002777777777777778))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	t_2 = Float64(x * Float64(x * t_0))
	tmp = 0.0
	if (x <= 4e+38)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(t_0 * Float64(Float64(x * x) * t_2))))) / Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(t_2 + -1.0))))));
	else
		tmp = Float64(21600.0 / Float64(t_1 * t_1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	t_1 = (x * x) * (x * x);
	t_2 = x * (x * t_0);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4e+38)
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 + (t_2 * (t_0 * ((x * x) * t_2))))) / (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0)))));
	else
		tmp = 21600.0 / (t_1 * t_1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.08333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 4e+38], N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(t$95$2 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(21600.0 / N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.99999999999999991e38

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 92.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{{1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left({1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 68.0%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\frac{\left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right) - 1\right)}}} \]

   if 3.99999999999999991e38 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 95.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 5.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 10.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 10.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{{x}^{8}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \color{blue}{\left({x}^{8}\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{4}\right)}\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{{x}^{4}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right) + -1\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 75.2% accurate, 3.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\frac{t\_1 \cdot t\_1 - 4}{t\_1 - 2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{t\_0 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x)))
        (t_1
         (*
          (* x x)
          (+
           1.0
           (*
            x
            (* x (+ 0.08333333333333333 (* (* x x) 0.002777777777777778))))))))
   (if (<= x 4e+38)
     (/ 2.0 (/ (- (* t_1 t_1) 4.0) (- t_1 2.0)))
     (/ 21600.0 (* t_0 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = (x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)))));
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = 2.0 / (((t_1 * t_1) - 4.0) / (t_1 - 2.0));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    t_1 = (x * x) * (1.0d0 + (x * (x * (0.08333333333333333d0 + ((x * x) * 0.002777777777777778d0)))))
    if (x <= 4d+38) then
        tmp = 2.0d0 / (((t_1 * t_1) - 4.0d0) / (t_1 - 2.0d0))
    else
        tmp = 21600.0d0 / (t_0 * t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = (x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)))));
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = 2.0 / (((t_1 * t_1) - 4.0) / (t_1 - 2.0));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	t_1 = (x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)))))
	tmp = 0
	if x <= 4e+38:
		tmp = 2.0 / (((t_1 * t_1) - 4.0) / (t_1 - 2.0))
	else:
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.002777777777777778))))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 4e+38)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(Float64(t_1 * t_1) - 4.0) / Float64(t_1 - 2.0)));
	else
		tmp = Float64(21600.0 / Float64(t_0 * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	t_1 = (x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)))));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4e+38)
		tmp = 2.0 / (((t_1 * t_1) - 4.0) / (t_1 - 2.0));
	else
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 4e+38], N[(2.0 / N[(N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(21600.0 / N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.99999999999999991e38

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 92.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 69.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   if 3.99999999999999991e38 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 95.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 5.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 10.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 10.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{{x}^{8}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \color{blue}{\left({x}^{8}\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{4}\right)}\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{{x}^{4}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 77.1% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\frac{t\_0 \cdot t\_0 - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right) - 2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* x x)
          (+
           1.0
           (*
            x
            (* x (+ 0.08333333333333333 (* (* x x) 0.002777777777777778))))))))
   (if (<= x 1e+77)
     (/
      2.0
      (/
       (- (* t_0 t_0) 4.0)
       (- (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x 0.08333333333333333)))) 2.0)))
     (/ 24.0 (* x (* x (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)))));
	double tmp;
	if (x <= 1e+77) {
		tmp = 2.0 / (((t_0 * t_0) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (1.0d0 + (x * (x * (0.08333333333333333d0 + ((x * x) * 0.002777777777777778d0)))))
    if (x <= 1d+77) then
        tmp = 2.0d0 / (((t_0 * t_0) - 4.0d0) / (((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.08333333333333333d0)))) - 2.0d0))
    else
        tmp = 24.0d0 / (x * (x * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)))));
	double tmp;
	if (x <= 1e+77) {
		tmp = 2.0 / (((t_0 * t_0) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)))))
	tmp = 0
	if x <= 1e+77:
		tmp = 2.0 / (((t_0 * t_0) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0))
	else:
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.002777777777777778))))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 1e+77)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - 4.0) / Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.08333333333333333)))) - 2.0)));
	else
		tmp = Float64(24.0 / Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)))));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1e+77)
		tmp = 2.0 / (((t_0 * t_0) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	else
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 1e+77], N[(2.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(24.0 / N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 9.99999999999999983e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 68.5%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 73.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   if 9.99999999999999983e76 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{{x}^{4}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{3}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right) \]

      9. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 77.1% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\\ \mathbf{if}\;x \leq 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + t\_0\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right) - 2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) 0.002777777777777778)))
   (if (<= x 1e+77)
     (/
      2.0
      (/
       (-
        (*
         (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.08333333333333333 t_0)))))
         (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x t_0)))))
        4.0)
       (- (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x 0.08333333333333333)))) 2.0)))
     (/ 24.0 (* x (* x (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * 0.002777777777777778;
	double tmp;
	if (x <= 1e+77) {
		tmp = 2.0 / (((((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + t_0))))) * ((x * x) * (1.0 + (x * (x * t_0))))) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * 0.002777777777777778d0
    if (x <= 1d+77) then
        tmp = 2.0d0 / (((((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * (0.08333333333333333d0 + t_0))))) * ((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * t_0))))) - 4.0d0) / (((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.08333333333333333d0)))) - 2.0d0))
    else
        tmp = 24.0d0 / (x * (x * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * 0.002777777777777778;
	double tmp;
	if (x <= 1e+77) {
		tmp = 2.0 / (((((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + t_0))))) * ((x * x) * (1.0 + (x * (x * t_0))))) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * 0.002777777777777778
	tmp = 0
	if x <= 1e+77:
		tmp = 2.0 / (((((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + t_0))))) * ((x * x) * (1.0 + (x * (x * t_0))))) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0))
	else:
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * 0.002777777777777778)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1e+77)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.08333333333333333 + t_0))))) * Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * t_0))))) - 4.0) / Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.08333333333333333)))) - 2.0)));
	else
		tmp = Float64(24.0 / Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * 0.002777777777777778;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1e+77)
		tmp = 2.0 / (((((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + t_0))))) * ((x * x) * (1.0 + (x * (x * t_0))))) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	else
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 1e+77], N[(2.0 / N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.08333333333333333 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(24.0 / N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 9.99999999999999983e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 68.5%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 73.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{360} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{360} \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 73.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 73.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right) - 2}} \]

   if 9.99999999999999983e76 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{{x}^{4}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{3}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right) \]

      9. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 76.4% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - t\_0 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\right)\right)}{1 - t\_1}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.08333333333333333 (* (* x x) 0.002777777777777778)))
        (t_1 (* x (* x t_0))))
   (if (<= x 1e+77)
     (/
      2.0
      (+ 2.0 (/ (* (* x x) (- 1.0 (* t_0 (* (* x x) t_1)))) (- 1.0 t_1))))
     (/ 24.0 (* x (* x (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double tmp;
	if (x <= 1e+77) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * ((x * x) * t_1)))) / (1.0 - t_1)));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.08333333333333333d0 + ((x * x) * 0.002777777777777778d0)
    t_1 = x * (x * t_0)
    if (x <= 1d+77) then
        tmp = 2.0d0 / (2.0d0 + (((x * x) * (1.0d0 - (t_0 * ((x * x) * t_1)))) / (1.0d0 - t_1)))
    else
        tmp = 24.0d0 / (x * (x * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double tmp;
	if (x <= 1e+77) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * ((x * x) * t_1)))) / (1.0 - t_1)));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778)
	t_1 = x * (x * t_0)
	tmp = 0
	if x <= 1e+77:
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * ((x * x) * t_1)))) / (1.0 - t_1)))
	else:
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.002777777777777778))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * t_0))
	tmp = 0.0
	if (x <= 1e+77)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 - Float64(t_0 * Float64(Float64(x * x) * t_1)))) / Float64(1.0 - t_1))));
	else
		tmp = Float64(24.0 / Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.08333333333333333 + ((x * x) * 0.002777777777777778);
	t_1 = x * (x * t_0);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1e+77)
		tmp = 2.0 / (2.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * ((x * x) * t_1)))) / (1.0 - t_1)));
	else
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.08333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 1e+77], N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(24.0 / N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 9.99999999999999983e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 72.4%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}}} \]

   if 9.99999999999999983e76 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{{x}^{4}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{3}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right) \]

      9. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 76.3% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.000462962962962963\right)\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right) - 2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1e+77)
   (/
    2.0
    (/
     (-
      (*
       (* (* x x) (* x x))
       (+
        1.0
        (*
         x
         (*
          x
          (+
           0.16666666666666666
           (* x (* x (+ 0.0125 (* (* x x) 0.000462962962962963)))))))))
      4.0)
     (- (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x 0.08333333333333333)))) 2.0)))
   (/ 24.0 (* x (* x (* x x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1e+77) {
		tmp = 2.0 / (((((x * x) * (x * x)) * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.0125 + ((x * x) * 0.000462962962962963))))))))) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1d+77) then
        tmp = 2.0d0 / (((((x * x) * (x * x)) * (1.0d0 + (x * (x * (0.16666666666666666d0 + (x * (x * (0.0125d0 + ((x * x) * 0.000462962962962963d0))))))))) - 4.0d0) / (((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.08333333333333333d0)))) - 2.0d0))
    else
        tmp = 24.0d0 / (x * (x * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1e+77) {
		tmp = 2.0 / (((((x * x) * (x * x)) * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.0125 + ((x * x) * 0.000462962962962963))))))))) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1e+77:
		tmp = 2.0 / (((((x * x) * (x * x)) * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.0125 + ((x * x) * 0.000462962962962963))))))))) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0))
	else:
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1e+77)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.0125 + Float64(Float64(x * x) * 0.000462962962962963))))))))) - 4.0) / Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.08333333333333333)))) - 2.0)));
	else
		tmp = Float64(24.0 / Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1e+77)
		tmp = 2.0 / (((((x * x) * (x * x)) * (1.0 + (x * (x * (0.16666666666666666 + (x * (x * (0.0125 + ((x * x) * 0.000462962962962963))))))))) - 4.0) / (((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))) - 2.0));
	else
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1e+77], N[(2.0 / N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * N[(x * N[(0.0125 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.000462962962962963), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(24.0 / N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 9.99999999999999983e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 68.5%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 73.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{x}, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{x}, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       11. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       16. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

       18. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{80} + \frac{1}{2160} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 72.4%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.000462962962962963\right)\right)\right)\right)\right)} - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right) - 2}} \]

   if 9.99999999999999983e76 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{{x}^{4}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{3}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right) \]

      9. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 72.9% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 5.2:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444}{0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.002777777777777778}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{t\_0 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x))))
   (if (<= x 5.2)
     (/
      2.0
      (+
       2.0
       (*
        (* x x)
        (+
         1.0
         (/
          (* (* x x) 0.006944444444444444)
          (+ 0.08333333333333333 (* (* x x) -0.002777777777777778)))))))
     (/ 21600.0 (* t_0 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 5.2) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * 0.006944444444444444) / (0.08333333333333333 + ((x * x) * -0.002777777777777778))))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    if (x <= 5.2d0) then
        tmp = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + (((x * x) * 0.006944444444444444d0) / (0.08333333333333333d0 + ((x * x) * (-0.002777777777777778d0)))))))
    else
        tmp = 21600.0d0 / (t_0 * t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 5.2) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * 0.006944444444444444) / (0.08333333333333333 + ((x * x) * -0.002777777777777778))))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= 5.2:
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * 0.006944444444444444) / (0.08333333333333333 + ((x * x) * -0.002777777777777778))))))
	else:
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= 5.2)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.006944444444444444) / Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * -0.002777777777777778)))))));
	else
		tmp = Float64(21600.0 / Float64(t_0 * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5.2)
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * 0.006944444444444444) / (0.08333333333333333 + ((x * x) * -0.002777777777777778))))));
	else
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5.2], N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.006944444444444444), $MachinePrecision] / N[(0.08333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(21600.0 / N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.20000000000000018

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 95.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}{\color{blue}{\frac{1}{12} - \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}{\color{blue}{\frac{1}{12} - \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} - \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 75.2%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.006944444444444444 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot 7.71604938271605 \cdot 10^{-6}\right)}{0.08333333333333333 + -0.002777777777777778 \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{144} \cdot {x}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{144}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{12}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{144}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{12}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{144}\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 67.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{144}\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{360}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 67.2%

       \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444}}{0.08333333333333333 + -0.002777777777777778 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \]

   if 5.20000000000000018 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 84.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 84.3%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 13.8%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 18.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 18.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{{x}^{8}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \color{blue}{\left({x}^{8}\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{4}\right)}\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{{x}^{4}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 88.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 88.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.2:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.006944444444444444}{0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.002777777777777778}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 93.1% accurate, 7.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 7.2:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{t\_0 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x))))
   (if (<= x 7.2)
     (/
      2.0
      (+
       2.0
       (*
        (* x x)
        (+
         1.0
         (*
          x
          (* x (+ 0.08333333333333333 (* x (* x 0.002777777777777778)))))))))
     (/ 21600.0 (* t_0 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 7.2) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))))))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    if (x <= 7.2d0) then
        tmp = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * (0.08333333333333333d0 + (x * (x * 0.002777777777777778d0))))))))
    else
        tmp = 21600.0d0 / (t_0 * t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 7.2) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))))))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= 7.2:
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))))))))
	else:
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= 7.2)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.08333333333333333 + Float64(x * Float64(x * 0.002777777777777778)))))))));
	else
		tmp = Float64(21600.0 / Float64(t_0 * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 7.2)
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.08333333333333333 + (x * (x * 0.002777777777777778))))))));
	else
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 7.2], N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.08333333333333333 + N[(x * N[(x * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(21600.0 / N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 7.20000000000000018

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 95.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.7%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{360}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\left(x \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{360}\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 95.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{360}\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 95.7%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot x}\right)\right)\right)} \]

   if 7.20000000000000018 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 84.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 84.3%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 13.8%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 18.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 18.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{{x}^{8}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \color{blue}{\left({x}^{8}\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{4}\right)}\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{{x}^{4}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 88.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 88.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 7.2:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 94.0% accurate, 8.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot -0.002777777777777778\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  2.0
  (+
   2.0
   (*
    (* x x)
    (+
     1.0
     (*
      (* x x)
      (+
       0.08333333333333333
       (* (* (* x x) (* x x)) -0.002777777777777778))))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.08333333333333333 + (((x * x) * (x * x)) * -0.002777777777777778))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + ((x * x) * (0.08333333333333333d0 + (((x * x) * (x * x)) * (-0.002777777777777778d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.08333333333333333 + (((x * x) * (x * x)) * -0.002777777777777778))))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.08333333333333333 + (((x * x) * (x * x)) * -0.002777777777777778))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * -0.002777777777777778)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.08333333333333333 + (((x * x) * (x * x)) * -0.002777777777777778))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 92.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 92.8%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 54.6%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 58.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

10. Simplified 58.4%

    \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{360} \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\frac{-1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. pow-sqr N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \frac{-1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \frac{-1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 94.7%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \frac{-1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 94.7%

    \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot -0.002777777777777778\right)\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 13: 91.2% accurate, 9.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 6:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{t\_0 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x))))
   (if (<= x 6.0)
     (/ 2.0 (+ 2.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x 0.08333333333333333))))))
     (/ 21600.0 (* t_0 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 6.0) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    if (x <= 6.0d0) then
        tmp = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.08333333333333333d0)))))
    else
        tmp = 21600.0d0 / (t_0 * t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= 6.0) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
	} else {
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= 6.0:
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))))
	else:
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= 6.0)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.08333333333333333))))));
	else
		tmp = Float64(21600.0 / Float64(t_0 * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 6.0)
		tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
	else
		tmp = 21600.0 / (t_0 * t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 6.0], N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(21600.0 / N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 6

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \frac{1}{12}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{12}\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot x}\right)} \]

   if 6 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 84.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 84.3%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) + \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2}{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2}}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) - 2 \cdot 2\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 13.8%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) - 2}}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 18.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 4\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 18.3%

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) - 4}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) - 2}} \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{{x}^{8}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \color{blue}{\left({x}^{8}\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{4}\right)}\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \left({x}^{4} \cdot \color{blue}{{x}^{4}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{4}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{4}\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. pow-sqr N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 88.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(21600, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 88.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 6:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{21600}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 88.2% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ 2.0 (+ 2.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x 0.08333333333333333)))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.08333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.08333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * 0.08333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 89.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 89.1%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{12}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \frac{1}{12}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{12}\right), \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 89.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{12}\right), x\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 89.1%

   \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot x}\right)} \]

8. Final simplification 89.1%

   \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 15: 82.1% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.75:\\ \;\;\;\;\frac{2}{2 + x \cdot x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 3.75) (/ 2.0 (+ 2.0 (* x x))) (/ 24.0 (* x (* x (* x x))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.75) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + (x * x));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 3.75d0) then
        tmp = 2.0d0 / (2.0d0 + (x * x))
    else
        tmp = 24.0d0 / (x * (x * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 3.75) {
		tmp = 2.0 / (2.0 + (x * x));
	} else {
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 3.75:
		tmp = 2.0 / (2.0 + (x * x))
	else:
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.75)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(x * x)));
	else
		tmp = Float64(24.0 / Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.75)
		tmp = 2.0 / (2.0 + (x * x));
	else
		tmp = 24.0 / (x * (x * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 3.75], N[(2.0 / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(24.0 / N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.75

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 87.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

   if 3.75 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 79.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 79.9%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{{x}^{4}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \color{blue}{\left({x}^{4}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right)\right) \]

      3. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{3}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right)\right) \]

      9. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 79.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(24, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 79.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{24}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 64.0% accurate, 20.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.42:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{x \cdot x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x 1.42) 1.0 (/ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.42) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 2.0 / (x * x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.42d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = 2.0d0 / (x * x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.42) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 2.0 / (x * x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.42:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = 2.0 / (x * x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.42)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(2.0 / Float64(x * x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.42)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = 2.0 / (x * x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.42], 1.0, N[(2.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.4199999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 67.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.4199999999999999 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 57.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{{x}^{2}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 57.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

   8. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{x \cdot x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 17: 76.6% accurate, 29.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 2.0 (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(2 + {x}^{2}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 79.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 79.8%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 18: 51.2% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\frac{2}{e^{x} + e^{-x}} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 50.7%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic secant"
  :precision binary64
  (/ 2.0 (+ (exp x) (exp (- x)))))