Trigonometry B

Percentage Accurate: 99.5% → 99.5%

Time: 9.5s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan x \cdot \tan x\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (tan x) (tan x)))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = tan(x) * tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) * tan(x)
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.tan(x) * Math.tan(x);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.tan(x) * math.tan(x)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(tan(x) * tan(x))
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) * tan(x);
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(2 \cdot x\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot -0.5\\ t_2 := 0.5 \cdot t\_0\\ \frac{1 + \frac{t\_2 - 0.5}{0.5 + t\_2}}{1 + \frac{-0.5 - t\_1}{-0.5 + t\_1}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* 2.0 x))) (t_1 (* t_0 -0.5)) (t_2 (* 0.5 t_0)))
   (/
    (+ 1.0 (/ (- t_2 0.5) (+ 0.5 t_2)))
    (+ 1.0 (/ (- -0.5 t_1) (+ -0.5 t_1))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cos((2.0 * x));
	double t_1 = t_0 * -0.5;
	double t_2 = 0.5 * t_0;
	return (1.0 + ((t_2 - 0.5) / (0.5 + t_2))) / (1.0 + ((-0.5 - t_1) / (-0.5 + t_1)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = cos((2.0d0 * x))
    t_1 = t_0 * (-0.5d0)
    t_2 = 0.5d0 * t_0
    code = (1.0d0 + ((t_2 - 0.5d0) / (0.5d0 + t_2))) / (1.0d0 + (((-0.5d0) - t_1) / ((-0.5d0) + t_1)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cos((2.0 * x));
	double t_1 = t_0 * -0.5;
	double t_2 = 0.5 * t_0;
	return (1.0 + ((t_2 - 0.5) / (0.5 + t_2))) / (1.0 + ((-0.5 - t_1) / (-0.5 + t_1)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.cos((2.0 * x))
	t_1 = t_0 * -0.5
	t_2 = 0.5 * t_0
	return (1.0 + ((t_2 - 0.5) / (0.5 + t_2))) / (1.0 + ((-0.5 - t_1) / (-0.5 + t_1)))

Julia

function code(x)
	t_0 = cos(Float64(2.0 * x))
	t_1 = Float64(t_0 * -0.5)
	t_2 = Float64(0.5 * t_0)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_2 - 0.5) / Float64(0.5 + t_2))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(-0.5 - t_1) / Float64(-0.5 + t_1))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = cos((2.0 * x));
	t_1 = t_0 * -0.5;
	t_2 = 0.5 * t_0;
	tmp = (1.0 + ((t_2 - 0.5) / (0.5 + t_2))) / (1.0 + ((-0.5 - t_1) / (-0.5 + t_1)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(2.0 * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * -0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 + N[(N[(t$95$2 - 0.5), $MachinePrecision] / N[(0.5 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(-0.5 - t$95$1), $MachinePrecision] / N[(-0.5 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right)}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   3. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   4. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin x\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   6. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   13. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   15. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   22. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}{1 + {\tan x}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \color{blue}{\tan x}\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   3. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right) \]

   4. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\color{blue}{\cos x \cdot \cos x}}\right)\right)\right) \]

   5. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\color{blue}{\cos x} \cdot \cos x}\right)\right)\right) \]

   6. sqr-cos-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)} - \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}\right)\right)\right) \]

   8. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)} - \frac{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   9. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)} - \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. sub-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \frac{1 - \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{1 + \color{blue}{\frac{-0.5 - \cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5}{\cos \left(x \cdot 2\right) \cdot -0.5 + -0.5}}} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \frac{1 + \frac{0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right) - 0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{1 + \frac{-0.5 - \cos \left(2 \cdot x\right) \cdot -0.5}{-0.5 + \cos \left(2 \cdot x\right) \cdot -0.5}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \frac{1 - t\_0}{1 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))) (/ (- 1.0 t_0) (+ 1.0 t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = (1.0d0 - t_0) / (1.0d0 + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(Float64(1.0 - t_0) / Float64(1.0 + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = (1.0 - t_0) / (1.0 + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right)}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 59.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\\ 1 + \frac{t\_0 - 0.5}{0.5 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (cos (* 2.0 x))))) (+ 1.0 (/ (- t_0 0.5) (+ 0.5 t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 * cos((2.0 * x));
	return 1.0 + ((t_0 - 0.5) / (0.5 + t_0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * x))
    code = 1.0d0 + ((t_0 - 0.5d0) / (0.5d0 + t_0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 * Math.cos((2.0 * x));
	return 1.0 + ((t_0 - 0.5) / (0.5 + t_0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 * math.cos((2.0 * x))
	return 1.0 + ((t_0 - 0.5) / (0.5 + t_0))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * x)))
	return Float64(1.0 + Float64(Float64(t_0 - 0.5) / Float64(0.5 + t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.5 * cos((2.0 * x));
	tmp = 1.0 + ((t_0 - 0.5) / (0.5 + t_0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(1.0 + N[(N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision] / N[(0.5 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right)}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   2. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   3. tan-quot N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   4. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin x\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   6. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   13. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   15. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   21. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   22. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f64 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \frac{1 - \color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}}{1 + {\tan x}^{2}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 60.3%

   \[\leadsto \frac{1 - \frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}}{\color{blue}{1}} \]

10. Final simplification 60.3%

    \[\leadsto 1 + \frac{0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right) - 0.5}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 59.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - {\tan x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (pow (tan x) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - pow(tan(x), 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - (tan(x) ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.pow(math.tan(x), 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - (tan(x) ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - (tan(x) ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 - \tan x \cdot \tan x\right), \color{blue}{\left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   3. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\tan x}^{2}\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left(1 + \tan x \cdot \tan x\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\tan x \cdot \tan x\right)}\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\tan x}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\tan x, \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - {\tan x}^{2}}{1 + {\tan x}^{2}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 60.3%

   \[\leadsto \frac{1 - {\tan x}^{2}}{\color{blue}{1}} \]

8. Final simplification 60.3%

   \[\leadsto 1 - {\tan x}^{2} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 55.0% accurate, 411.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 99.6%

   \[\frac{1 - \tan x \cdot \tan x}{1 + \tan x \cdot \tan x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 55.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (x)
  :name "Trigonometry B"
  :precision binary64
  (/ (- 1.0 (* (tan x) (tan x))) (+ 1.0 (* (tan x) (tan x)))))