Jmat.Real.dawson

Percentage Accurate: 54.4% → 100.0%

Time: 13.8s

Alternatives: 7

Speedup: 21.6×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_2 := t\_1 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_3 := t\_2 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot t\_0\right) + 0.0072644182 \cdot t\_1\right) + 0.0005064034 \cdot t\_2\right) + 0.0001789971 \cdot t\_3}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot t\_0\right) + 0.0694555761 \cdot t\_1\right) + 0.0140005442 \cdot t\_2\right) + 0.0008327945 \cdot t\_3\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(t\_3 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x)))
        (t_1 (* t_0 (* x x)))
        (t_2 (* t_1 (* x x)))
        (t_3 (* t_2 (* x x))))
   (*
    (/
     (+
      (+
       (+
        (+ (+ 1.0 (* 0.1049934947 (* x x))) (* 0.0424060604 t_0))
        (* 0.0072644182 t_1))
       (* 0.0005064034 t_2))
      (* 0.0001789971 t_3))
     (+
      (+
       (+
        (+
         (+ (+ 1.0 (* 0.7715471019 (* x x))) (* 0.2909738639 t_0))
         (* 0.0694555761 t_1))
        (* 0.0140005442 t_2))
       (* 0.0008327945 t_3))
      (* (* 2.0 0.0001789971) (* t_3 (* x x)))))
    x)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = t_0 * (x * x);
	double t_2 = t_1 * (x * x);
	double t_3 = t_2 * (x * x);
	return ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * t_0)) + (0.0072644182 * t_1)) + (0.0005064034 * t_2)) + (0.0001789971 * t_3)) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * t_0)) + (0.0694555761 * t_1)) + (0.0140005442 * t_2)) + (0.0008327945 * t_3)) + ((2.0 * 0.0001789971) * (t_3 * (x * x))))) * x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    t_1 = t_0 * (x * x)
    t_2 = t_1 * (x * x)
    t_3 = t_2 * (x * x)
    code = ((((((1.0d0 + (0.1049934947d0 * (x * x))) + (0.0424060604d0 * t_0)) + (0.0072644182d0 * t_1)) + (0.0005064034d0 * t_2)) + (0.0001789971d0 * t_3)) / ((((((1.0d0 + (0.7715471019d0 * (x * x))) + (0.2909738639d0 * t_0)) + (0.0694555761d0 * t_1)) + (0.0140005442d0 * t_2)) + (0.0008327945d0 * t_3)) + ((2.0d0 * 0.0001789971d0) * (t_3 * (x * x))))) * x
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = t_0 * (x * x);
	double t_2 = t_1 * (x * x);
	double t_3 = t_2 * (x * x);
	return ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * t_0)) + (0.0072644182 * t_1)) + (0.0005064034 * t_2)) + (0.0001789971 * t_3)) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * t_0)) + (0.0694555761 * t_1)) + (0.0140005442 * t_2)) + (0.0008327945 * t_3)) + ((2.0 * 0.0001789971) * (t_3 * (x * x))))) * x;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	t_1 = t_0 * (x * x)
	t_2 = t_1 * (x * x)
	t_3 = t_2 * (x * x)
	return ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * t_0)) + (0.0072644182 * t_1)) + (0.0005064034 * t_2)) + (0.0001789971 * t_3)) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * t_0)) + (0.0694555761 * t_1)) + (0.0140005442 * t_2)) + (0.0008327945 * t_3)) + ((2.0 * 0.0001789971) * (t_3 * (x * x))))) * x

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(t_0 * Float64(x * x))
	t_2 = Float64(t_1 * Float64(x * x))
	t_3 = Float64(t_2 * Float64(x * x))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(0.1049934947 * Float64(x * x))) + Float64(0.0424060604 * t_0)) + Float64(0.0072644182 * t_1)) + Float64(0.0005064034 * t_2)) + Float64(0.0001789971 * t_3)) / Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(0.7715471019 * Float64(x * x))) + Float64(0.2909738639 * t_0)) + Float64(0.0694555761 * t_1)) + Float64(0.0140005442 * t_2)) + Float64(0.0008327945 * t_3)) + Float64(Float64(2.0 * 0.0001789971) * Float64(t_3 * Float64(x * x))))) * x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	t_1 = t_0 * (x * x);
	t_2 = t_1 * (x * x);
	t_3 = t_2 * (x * x);
	tmp = ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * t_0)) + (0.0072644182 * t_1)) + (0.0005064034 * t_2)) + (0.0001789971 * t_3)) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * t_0)) + (0.0694555761 * t_1)) + (0.0140005442 * t_2)) + (0.0008327945 * t_3)) + ((2.0 * 0.0001789971) * (t_3 * (x * x))))) * x;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(0.1049934947 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0424060604 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0072644182 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0005064034 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0001789971 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(0.7715471019 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.2909738639 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0694555761 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0140005442 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0008327945 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 * 0.0001789971), $MachinePrecision] * N[(t$95$3 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]]]]]

Initial Program: 54.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := t\_0 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_2 := t\_1 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_3 := t\_2 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot t\_0\right) + 0.0072644182 \cdot t\_1\right) + 0.0005064034 \cdot t\_2\right) + 0.0001789971 \cdot t\_3}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot t\_0\right) + 0.0694555761 \cdot t\_1\right) + 0.0140005442 \cdot t\_2\right) + 0.0008327945 \cdot t\_3\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(t\_3 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (* x x)))
        (t_1 (* t_0 (* x x)))
        (t_2 (* t_1 (* x x)))
        (t_3 (* t_2 (* x x))))
   (*
    (/
     (+
      (+
       (+
        (+ (+ 1.0 (* 0.1049934947 (* x x))) (* 0.0424060604 t_0))
        (* 0.0072644182 t_1))
       (* 0.0005064034 t_2))
      (* 0.0001789971 t_3))
     (+
      (+
       (+
        (+
         (+ (+ 1.0 (* 0.7715471019 (* x x))) (* 0.2909738639 t_0))
         (* 0.0694555761 t_1))
        (* 0.0140005442 t_2))
       (* 0.0008327945 t_3))
      (* (* 2.0 0.0001789971) (* t_3 (* x x)))))
    x)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = t_0 * (x * x);
	double t_2 = t_1 * (x * x);
	double t_3 = t_2 * (x * x);
	return ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * t_0)) + (0.0072644182 * t_1)) + (0.0005064034 * t_2)) + (0.0001789971 * t_3)) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * t_0)) + (0.0694555761 * t_1)) + (0.0140005442 * t_2)) + (0.0008327945 * t_3)) + ((2.0 * 0.0001789971) * (t_3 * (x * x))))) * x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = (x * x) * (x * x)
    t_1 = t_0 * (x * x)
    t_2 = t_1 * (x * x)
    t_3 = t_2 * (x * x)
    code = ((((((1.0d0 + (0.1049934947d0 * (x * x))) + (0.0424060604d0 * t_0)) + (0.0072644182d0 * t_1)) + (0.0005064034d0 * t_2)) + (0.0001789971d0 * t_3)) / ((((((1.0d0 + (0.7715471019d0 * (x * x))) + (0.2909738639d0 * t_0)) + (0.0694555761d0 * t_1)) + (0.0140005442d0 * t_2)) + (0.0008327945d0 * t_3)) + ((2.0d0 * 0.0001789971d0) * (t_3 * (x * x))))) * x
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x * x);
	double t_1 = t_0 * (x * x);
	double t_2 = t_1 * (x * x);
	double t_3 = t_2 * (x * x);
	return ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * t_0)) + (0.0072644182 * t_1)) + (0.0005064034 * t_2)) + (0.0001789971 * t_3)) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * t_0)) + (0.0694555761 * t_1)) + (0.0140005442 * t_2)) + (0.0008327945 * t_3)) + ((2.0 * 0.0001789971) * (t_3 * (x * x))))) * x;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x * x)
	t_1 = t_0 * (x * x)
	t_2 = t_1 * (x * x)
	t_3 = t_2 * (x * x)
	return ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * t_0)) + (0.0072644182 * t_1)) + (0.0005064034 * t_2)) + (0.0001789971 * t_3)) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * t_0)) + (0.0694555761 * t_1)) + (0.0140005442 * t_2)) + (0.0008327945 * t_3)) + ((2.0 * 0.0001789971) * (t_3 * (x * x))))) * x

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(t_0 * Float64(x * x))
	t_2 = Float64(t_1 * Float64(x * x))
	t_3 = Float64(t_2 * Float64(x * x))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(0.1049934947 * Float64(x * x))) + Float64(0.0424060604 * t_0)) + Float64(0.0072644182 * t_1)) + Float64(0.0005064034 * t_2)) + Float64(0.0001789971 * t_3)) / Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(0.7715471019 * Float64(x * x))) + Float64(0.2909738639 * t_0)) + Float64(0.0694555761 * t_1)) + Float64(0.0140005442 * t_2)) + Float64(0.0008327945 * t_3)) + Float64(Float64(2.0 * 0.0001789971) * Float64(t_3 * Float64(x * x))))) * x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x * x);
	t_1 = t_0 * (x * x);
	t_2 = t_1 * (x * x);
	t_3 = t_2 * (x * x);
	tmp = ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * t_0)) + (0.0072644182 * t_1)) + (0.0005064034 * t_2)) + (0.0001789971 * t_3)) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * t_0)) + (0.0694555761 * t_1)) + (0.0140005442 * t_2)) + (0.0008327945 * t_3)) + ((2.0 * 0.0001789971) * (t_3 * (x * x))))) * x;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(0.1049934947 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0424060604 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0072644182 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0005064034 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0001789971 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(0.7715471019 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.2909738639 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0694555761 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0140005442 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0008327945 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 * 0.0001789971), $MachinePrecision] * N[(t$95$3 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]]]]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot x\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 50000000:\\ \;\;\;\;\frac{x\_m \cdot \left(1 + x\_m \cdot \left(\left(0.0005064034 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.0001789971\right) \cdot t\_0 + x\_m \cdot \left(0.1049934947 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)\right)}{1 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(t\_0 \cdot \left(x\_m \cdot \left(0.0008327945 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.0003579942\right)\right)\right) + \left(0.7715471019 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.2909738639 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0694555761 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{x\_m}\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x_m (* x_m (* x_m (* x_m (* x_m (* x_m x_m))))))))
   (*
    x_s
    (if (<= x_m 50000000.0)
      (/
       (*
        x_m
        (+
         1.0
         (*
          x_m
          (+
           (* (+ 0.0005064034 (* (* x_m x_m) 0.0001789971)) t_0)
           (*
            x_m
            (+
             0.1049934947
             (*
              (* x_m x_m)
              (+ 0.0424060604 (* (* x_m x_m) 0.0072644182)))))))))
       (+
        1.0
        (*
         x_m
         (*
          x_m
          (+
           (* t_0 (* x_m (+ 0.0008327945 (* x_m (* x_m 0.0003579942)))))
           (+
            0.7715471019
            (*
             (* x_m x_m)
             (+
              0.2909738639
              (*
               (* x_m x_m)
               (+ 0.0694555761 (* (* x_m x_m) 0.0140005442)))))))))))
      (/ 0.5 x_m)))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * x_m)))));
	double tmp;
	if (x_m <= 50000000.0) {
		tmp = (x_m * (1.0 + (x_m * (((0.0005064034 + ((x_m * x_m) * 0.0001789971)) * t_0) + (x_m * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182))))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * ((t_0 * (x_m * (0.0008327945 + (x_m * (x_m * 0.0003579942))))) + (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + ((x_m * x_m) * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * x_m)))))
    if (x_m <= 50000000.0d0) then
        tmp = (x_m * (1.0d0 + (x_m * (((0.0005064034d0 + ((x_m * x_m) * 0.0001789971d0)) * t_0) + (x_m * (0.1049934947d0 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604d0 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182d0))))))))) / (1.0d0 + (x_m * (x_m * ((t_0 * (x_m * (0.0008327945d0 + (x_m * (x_m * 0.0003579942d0))))) + (0.7715471019d0 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639d0 + ((x_m * x_m) * (0.0694555761d0 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442d0))))))))))
    else
        tmp = 0.5d0 / x_m
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double t_0 = x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * x_m)))));
	double tmp;
	if (x_m <= 50000000.0) {
		tmp = (x_m * (1.0 + (x_m * (((0.0005064034 + ((x_m * x_m) * 0.0001789971)) * t_0) + (x_m * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182))))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * ((t_0 * (x_m * (0.0008327945 + (x_m * (x_m * 0.0003579942))))) + (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + ((x_m * x_m) * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	t_0 = x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * x_m)))))
	tmp = 0
	if x_m <= 50000000.0:
		tmp = (x_m * (1.0 + (x_m * (((0.0005064034 + ((x_m * x_m) * 0.0001789971)) * t_0) + (x_m * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182))))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * ((t_0 * (x_m * (0.0008327945 + (x_m * (x_m * 0.0003579942))))) + (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + ((x_m * x_m) * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))))
	else:
		tmp = 0.5 / x_m
	return x_s * tmp

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	t_0 = Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(x_m * x_m))))))
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 50000000.0)
		tmp = Float64(Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(Float64(Float64(0.0005064034 + Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.0001789971)) * t_0) + Float64(x_m * Float64(0.1049934947 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.0424060604 + Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.0072644182))))))))) / Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(Float64(t_0 * Float64(x_m * Float64(0.0008327945 + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.0003579942))))) + Float64(0.7715471019 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.2909738639 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.0694555761 + Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.0140005442)))))))))));
	else
		tmp = Float64(0.5 / x_m);
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	t_0 = x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * (x_m * x_m)))));
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 50000000.0)
		tmp = (x_m * (1.0 + (x_m * (((0.0005064034 + ((x_m * x_m) * 0.0001789971)) * t_0) + (x_m * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182))))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * ((t_0 * (x_m * (0.0008327945 + (x_m * (x_m * 0.0003579942))))) + (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + ((x_m * x_m) * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	else
		tmp = 0.5 / x_m;
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(x$95$s * If[LessEqual[x$95$m, 50000000.0], N[(N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(N[(N[(0.0005064034 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.0001789971), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(0.1049934947 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.0424060604 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.0072644182), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(N[(t$95$0 * N[(x$95$m * N[(0.0008327945 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.0003579942), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.7715471019 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.2909738639 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.0694555761 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.0140005442), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / x$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5e7

   1. Initial program 68.9%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(0.0005064034 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001789971\right) \cdot x\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.0008327945 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003579942\right)\right)\right) + x \cdot \left(0.7715471019 + x \cdot \left(x \cdot 0.2909738639 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(0.0005064034 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) + x \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)\right)}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.0008327945 + x \cdot \left(x \cdot 0.0003579942\right)\right)\right) + \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

   if 5e7 < x

   1. Initial program 3.1%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{x}\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 3.8:\\ \;\;\;\;\frac{x\_m \cdot \left(1 + \left(x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.1049934947\right) + x\_m \cdot \left(\left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(x\_m \cdot \left(0.0424060604 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(0.7715471019 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.2909738639 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(0.0694555761 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{x\_m}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (if (<= x_m 3.8)
    (/
     (*
      x_m
      (+
       1.0
       (+
        (* x_m (* x_m 0.1049934947))
        (*
         x_m
         (*
          (* x_m x_m)
          (* x_m (+ 0.0424060604 (* (* x_m x_m) 0.0072644182))))))))
     (+
      1.0
      (*
       x_m
       (*
        x_m
        (+
         0.7715471019
         (*
          (* x_m x_m)
          (+
           0.2909738639
           (* x_m (* x_m (+ 0.0694555761 (* (* x_m x_m) 0.0140005442)))))))))))
    (/ 0.5 x_m))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 3.8) {
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * (x_m * 0.1049934947)) + (x_m * ((x_m * x_m) * (x_m * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182)))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 3.8d0) then
        tmp = (x_m * (1.0d0 + ((x_m * (x_m * 0.1049934947d0)) + (x_m * ((x_m * x_m) * (x_m * (0.0424060604d0 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182d0)))))))) / (1.0d0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019d0 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639d0 + (x_m * (x_m * (0.0694555761d0 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442d0))))))))))
    else
        tmp = 0.5d0 / x_m
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 3.8) {
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * (x_m * 0.1049934947)) + (x_m * ((x_m * x_m) * (x_m * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182)))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 3.8:
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * (x_m * 0.1049934947)) + (x_m * ((x_m * x_m) * (x_m * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182)))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))))
	else:
		tmp = 0.5 / x_m
	return x_s * tmp

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 3.8)
		tmp = Float64(Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64(Float64(x_m * Float64(x_m * 0.1049934947)) + Float64(x_m * Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(x_m * Float64(0.0424060604 + Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.0072644182)))))))) / Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(0.7715471019 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.2909738639 + Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(0.0694555761 + Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.0140005442)))))))))));
	else
		tmp = Float64(0.5 / x_m);
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 3.8)
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * (x_m * 0.1049934947)) + (x_m * ((x_m * x_m) * (x_m * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182)))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	else
		tmp = 0.5 / x_m;
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * If[LessEqual[x$95$m, 3.8], N[(N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.1049934947), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x$95$m * N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(x$95$m * N[(0.0424060604 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.0072644182), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(0.7715471019 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.2909738639 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(0.0694555761 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.0140005442), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / x$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.7999999999999998

   1. Initial program 68.9%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]

   3. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0005064034 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001789971\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.0008327945 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003579942\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.7715471019 + x \cdot \left(x \cdot 0.2909738639\right)\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0694555761 + x \cdot \left(x \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{7715471019}{10000000000}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2909738639}{10000000000}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2909738639}{10000000000}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{694555761}{10000000000}} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \color{blue}{\left(\frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{70002721}{5000000000}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{70002721}{5000000000}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0005064034 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001789971\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \left(\frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \left({x}^{2} \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 67.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 67.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1049934947}{10000000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1049934947}{10000000000} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1049934947}{10000000000} \cdot \frac{1049934947}{10000000000} - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)}{\frac{1049934947}{10000000000} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1049934947}{10000000000} \cdot \frac{1049934947}{10000000000} - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\frac{1049934947}{10000000000} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1049934947}{10000000000} \cdot \frac{1049934947}{10000000000} - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 67.2%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(0.011023633929318929 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.1049934947 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)}}\right)}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1102363392931892809}{100000000000000000000} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)}{\frac{1049934947}{10000000000} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1102363392931892809}{100000000000000000000} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)}{\frac{1049934947}{10000000000} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1049934947}{10000000000} \cdot \frac{1049934947}{10000000000} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)}{\frac{1049934947}{10000000000} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{\frac{1049934947}{10000000000} \cdot \frac{1049934947}{10000000000} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)}{\frac{1049934947}{10000000000} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 67.2%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.1049934947\right) \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right) \cdot x\right)}\right)}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 3.7999999999999998 < x

   1. Initial program 3.1%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{x}\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.8:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot 0.1049934947\right) + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 3.8:\\ \;\;\;\;\frac{x\_m \cdot \left(1 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)}{1 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(0.7715471019 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.2909738639 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot \left(0.0694555761 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{x\_m}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (if (<= x_m 3.8)
    (/
     (*
      x_m
      (+
       1.0
       (*
        (* x_m x_m)
        (+
         0.1049934947
         (* (* x_m x_m) (+ 0.0424060604 (* (* x_m x_m) 0.0072644182)))))))
     (+
      1.0
      (*
       x_m
       (*
        x_m
        (+
         0.7715471019
         (*
          (* x_m x_m)
          (+
           0.2909738639
           (* x_m (* x_m (+ 0.0694555761 (* (* x_m x_m) 0.0140005442)))))))))))
    (/ 0.5 x_m))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 3.8) {
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 3.8d0) then
        tmp = (x_m * (1.0d0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947d0 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604d0 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182d0))))))) / (1.0d0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019d0 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639d0 + (x_m * (x_m * (0.0694555761d0 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442d0))))))))))
    else
        tmp = 0.5d0 / x_m
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 3.8) {
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 3.8:
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))))
	else:
		tmp = 0.5 / x_m
	return x_s * tmp

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 3.8)
		tmp = Float64(Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.1049934947 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.0424060604 + Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.0072644182))))))) / Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(0.7715471019 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.2909738639 + Float64(x_m * Float64(x_m * Float64(0.0694555761 + Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.0140005442)))))))))));
	else
		tmp = Float64(0.5 / x_m);
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 3.8)
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * (0.0424060604 + ((x_m * x_m) * 0.0072644182))))))) / (1.0 + (x_m * (x_m * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * (0.0694555761 + ((x_m * x_m) * 0.0140005442))))))))));
	else
		tmp = 0.5 / x_m;
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * If[LessEqual[x$95$m, 3.8], N[(N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.1049934947 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.0424060604 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.0072644182), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(0.7715471019 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.2909738639 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * N[(0.0694555761 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.0140005442), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / x$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.7999999999999998

   1. Initial program 68.9%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]

   3. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0005064034 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001789971\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.0008327945 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003579942\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.7715471019 + x \cdot \left(x \cdot 0.2909738639\right)\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0694555761 + x \cdot \left(x \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{7715471019}{10000000000}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2909738639}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2909738639}{10000000000}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2909738639}{10000000000}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{694555761}{10000000000}} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{694555761}{10000000000} + \frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \color{blue}{\left(\frac{70002721}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{70002721}{5000000000}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{70002721}{5000000000}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0005064034 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001789971\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{106015151}{2500000000} + \frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \left(\frac{36322091}{5000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \left({x}^{2} \cdot \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 67.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{694555761}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{70002721}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 67.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right)\right)}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.0694555761 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 3.7999999999999998 < x

   1. Initial program 3.1%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{x}\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.3% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 2.6:\\ \;\;\;\;\frac{x\_m \cdot \left(1 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot 0.0424060604\right)\right)}{1 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.7715471019 + \left(x\_m \cdot x\_m\right) \cdot \left(0.2909738639 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot 0.0694555761\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{x\_m}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (if (<= x_m 2.6)
    (/
     (*
      x_m
      (+ 1.0 (* (* x_m x_m) (+ 0.1049934947 (* (* x_m x_m) 0.0424060604)))))
     (+
      1.0
      (*
       (* x_m x_m)
       (+
        0.7715471019
        (* (* x_m x_m) (+ 0.2909738639 (* x_m (* x_m 0.0694555761))))))))
    (/ 0.5 x_m))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 2.6) {
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * 0.0424060604))))) / (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * 0.0694555761)))))));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 2.6d0) then
        tmp = (x_m * (1.0d0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947d0 + ((x_m * x_m) * 0.0424060604d0))))) / (1.0d0 + ((x_m * x_m) * (0.7715471019d0 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639d0 + (x_m * (x_m * 0.0694555761d0)))))))
    else
        tmp = 0.5d0 / x_m
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 2.6) {
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * 0.0424060604))))) / (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * 0.0694555761)))))));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 2.6:
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * 0.0424060604))))) / (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * 0.0694555761)))))))
	else:
		tmp = 0.5 / x_m
	return x_s * tmp

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 2.6)
		tmp = Float64(Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.1049934947 + Float64(Float64(x_m * x_m) * 0.0424060604))))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.7715471019 + Float64(Float64(x_m * x_m) * Float64(0.2909738639 + Float64(x_m * Float64(x_m * 0.0694555761))))))));
	else
		tmp = Float64(0.5 / x_m);
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 2.6)
		tmp = (x_m * (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.1049934947 + ((x_m * x_m) * 0.0424060604))))) / (1.0 + ((x_m * x_m) * (0.7715471019 + ((x_m * x_m) * (0.2909738639 + (x_m * (x_m * 0.0694555761)))))));
	else
		tmp = 0.5 / x_m;
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * If[LessEqual[x$95$m, 2.6], N[(N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.1049934947 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * 0.0424060604), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.7715471019 + N[(N[(x$95$m * x$95$m), $MachinePrecision] * N[(0.2909738639 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * 0.0694555761), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / x$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.60000000000000009

   1. Initial program 68.9%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]

   3. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0005064034 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001789971\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.0008327945 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003579942\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.7715471019 + x \cdot \left(x \cdot 0.2909738639\right)\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0694555761 + x \cdot \left(x \cdot 0.0140005442\right)\right)\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{7715471019}{10000000000} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{7715471019}{10000000000}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{7715471019}{10000000000}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2909738639}{10000000000} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2909738639}{10000000000} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2909738639}{10000000000}} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2909738639}{10000000000}} + \frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \color{blue}{\left(\frac{694555761}{10000000000} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \left(\frac{694555761}{10000000000} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \left(\left(\frac{694555761}{10000000000} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{694555761}{10000000000} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{694555761}{10000000000} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{694555761}{10000000000}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{106015151}{2500000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{36322091}{5000000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2532017}{5000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1789971}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{694555761}{10000000000}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.0424060604 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0072644182\right)\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.0005064034 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0001789971\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot 0.0694555761\right)\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + \frac{106015151}{2500000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + \frac{106015151}{2500000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1049934947}{10000000000} + \frac{106015151}{2500000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + \frac{106015151}{2500000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + \frac{106015151}{2500000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1049934947}{10000000000} + \frac{106015151}{2500000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \left(\frac{106015151}{2500000000} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \left({x}^{2} \cdot \frac{106015151}{2500000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{106015151}{2500000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{106015151}{2500000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 67.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1049934947}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{106015151}{2500000000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{7715471019}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2909738639}{10000000000}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{694555761}{10000000000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 67.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.1049934947 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0424060604\right)\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.7715471019 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2909738639 + x \cdot \left(x \cdot 0.0694555761\right)\right)\right)} \]

   if 2.60000000000000009 < x

   1. Initial program 3.1%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{x}\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.2% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 0.78:\\ \;\;\;\;x\_m \cdot \left(1 + x\_m \cdot \left(x\_m \cdot -0.6665536072\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{x\_m}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (*
  x_s
  (if (<= x_m 0.78)
    (* x_m (+ 1.0 (* x_m (* x_m -0.6665536072))))
    (/ 0.5 x_m))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.78) {
		tmp = x_m * (1.0 + (x_m * (x_m * -0.6665536072)));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 0.78d0) then
        tmp = x_m * (1.0d0 + (x_m * (x_m * (-0.6665536072d0))))
    else
        tmp = 0.5d0 / x_m
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.78) {
		tmp = x_m * (1.0 + (x_m * (x_m * -0.6665536072)));
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 0.78:
		tmp = x_m * (1.0 + (x_m * (x_m * -0.6665536072)))
	else:
		tmp = 0.5 / x_m
	return x_s * tmp

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 0.78)
		tmp = Float64(x_m * Float64(1.0 + Float64(x_m * Float64(x_m * -0.6665536072))));
	else
		tmp = Float64(0.5 / x_m);
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 0.78)
		tmp = x_m * (1.0 + (x_m * (x_m * -0.6665536072)));
	else
		tmp = 0.5 / x_m;
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * If[LessEqual[x$95$m, 0.78], N[(x$95$m * N[(1.0 + N[(x$95$m * N[(x$95$m * -0.6665536072), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / x$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.78000000000000003

   1. Initial program 68.9%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-833192009}{1250000000} \cdot {x}^{2}\right)}, x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-833192009}{1250000000} \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-833192009}{1250000000} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-833192009}{1250000000} \cdot x\right) \cdot x\right)\right), x\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{-833192009}{1250000000} \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-833192009}{1250000000} \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-833192009}{1250000000}\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 66.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-833192009}{1250000000}\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 66.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.6665536072\right)\right)} \cdot x \]

   if 0.78000000000000003 < x

   1. Initial program 3.1%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{x}\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.78:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.6665536072\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.9% accurate, 21.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x\_m \leq 0.72:\\ \;\;\;\;x\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{x\_m}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m)
 :precision binary64
 (* x_s (if (<= x_m 0.72) x_m (/ 0.5 x_m))))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.72) {
		tmp = x_m;
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    real(8) :: tmp
    if (x_m <= 0.72d0) then
        tmp = x_m
    else
        tmp = 0.5d0 / x_m
    end if
    code = x_s * tmp
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	double tmp;
	if (x_m <= 0.72) {
		tmp = x_m;
	} else {
		tmp = 0.5 / x_m;
	}
	return x_s * tmp;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	tmp = 0
	if x_m <= 0.72:
		tmp = x_m
	else:
		tmp = 0.5 / x_m
	return x_s * tmp

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0
	if (x_m <= 0.72)
		tmp = x_m;
	else
		tmp = Float64(0.5 / x_m);
	end
	return Float64(x_s * tmp)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(x_s, x_m)
	tmp = 0.0;
	if (x_m <= 0.72)
		tmp = x_m;
	else
		tmp = 0.5 / x_m;
	end
	tmp_2 = x_s * tmp;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * If[LessEqual[x$95$m, 0.72], x$95$m, N[(0.5 / x$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.71999999999999997

   1. Initial program 68.9%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 67.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]

   if 0.71999999999999997 < x

   1. Initial program 3.1%

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{x}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{x}\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 51.5% accurate, 173.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x\_m = \left|x\right| \\ x\_s = \mathsf{copysign}\left(1, x\right) \\ x\_s \cdot x\_m \end{array} \]

FPCore

x\_m = (fabs.f64 x)
x\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) x)
(FPCore (x_s x_m) :precision binary64 (* x_s x_m))

C

x\_m = fabs(x);
x\_s = copysign(1.0, x);
double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * x_m;
}

Fortran

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0d0, x)
real(8) function code(x_s, x_m)
    real(8), intent (in) :: x_s
    real(8), intent (in) :: x_m
    code = x_s * x_m
end function

Java

x\_m = Math.abs(x);
x\_s = Math.copySign(1.0, x);
public static double code(double x_s, double x_m) {
	return x_s * x_m;
}

Python

x\_m = math.fabs(x)
x\_s = math.copysign(1.0, x)
def code(x_s, x_m):
	return x_s * x_m

Julia

x\_m = abs(x)
x\_s = copysign(1.0, x)
function code(x_s, x_m)
	return Float64(x_s * x_m)
end

MATLAB

x\_m = abs(x);
x\_s = sign(x) * abs(1.0);
function tmp = code(x_s, x_m)
	tmp = x_s * x_m;
end

Wolfram

x\_m = N[Abs[x], $MachinePrecision]
x\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[x]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[x$95$s_, x$95$m_] := N[(x$95$s * x$95$m), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.0%

   \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 50.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.dawson"
  :precision binary64
  (* (/ (+ (+ (+ (+ (+ 1.0 (* 0.1049934947 (* x x))) (* 0.0424060604 (* (* x x) (* x x)))) (* 0.0072644182 (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)))) (* 0.0005064034 (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)))) (* 0.0001789971 (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x)))) (+ (+ (+ (+ (+ (+ 1.0 (* 0.7715471019 (* x x))) (* 0.2909738639 (* (* x x) (* x x)))) (* 0.0694555761 (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)))) (* 0.0140005442 (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)))) (* 0.0008327945 (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x)))) (* (* 2.0 0.0001789971) (* (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x))))) x))