sintan (problem 3.4.5)

Percentage Accurate: 1.5% → 99.9%

Time: 24.3s

Alternatives: 6

Speedup: 207.0×

Specification

\[-0.4 \leq \varepsilon \land \varepsilon \leq 0.4\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\varepsilon - \sin \varepsilon}{\varepsilon - \tan \varepsilon} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps) :precision binary64 (/ (- eps (sin eps)) (- eps (tan eps))))

C

double code(double eps) {
	return (eps - sin(eps)) / (eps - tan(eps));
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (eps - sin(eps)) / (eps - tan(eps))
end function

Java

public static double code(double eps) {
	return (eps - Math.sin(eps)) / (eps - Math.tan(eps));
}

Python

def code(eps):
	return (eps - math.sin(eps)) / (eps - math.tan(eps))

Julia

function code(eps)
	return Float64(Float64(eps - sin(eps)) / Float64(eps - tan(eps)))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	tmp = (eps - sin(eps)) / (eps - tan(eps));
end

Wolfram

code[eps_] := N[(N[(eps - N[Sin[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(eps - N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 1.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\varepsilon - \sin \varepsilon}{\varepsilon - \tan \varepsilon} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps) :precision binary64 (/ (- eps (sin eps)) (- eps (tan eps))))

C

double code(double eps) {
	return (eps - sin(eps)) / (eps - tan(eps));
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (eps - sin(eps)) / (eps - tan(eps))
end function

Java

public static double code(double eps) {
	return (eps - Math.sin(eps)) / (eps - Math.tan(eps));
}

Python

def code(eps):
	return (eps - math.sin(eps)) / (eps - math.tan(eps))

Julia

function code(eps)
	return Float64(Float64(eps - sin(eps)) / Float64(eps - tan(eps)))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	tmp = (eps - sin(eps)) / (eps - tan(eps));
end

Wolfram

code[eps_] := N[(N[(eps - N[Sin[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(eps - N[Tan[eps], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\\ t_1 := \varepsilon \cdot t\_0\\ \frac{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(t\_1 \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(0.050625 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.004339285714285714 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00014722576530612244\right)\right)\right)\right)\right) + -0.125}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right) + \left(0.25 - t\_0 \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          0.225
          (*
           (* eps eps)
           (+ -0.009642857142857142 (* (* eps eps) 0.00024107142857142857)))))
        (t_1 (* eps t_0)))
   (/
    (+
     (*
      (* eps (* eps eps))
      (*
       t_1
       (*
        (* eps eps)
        (+
         0.050625
         (*
          eps
          (*
           eps
           (+
            -0.004339285714285714
            (* (* eps eps) 0.00014722576530612244))))))))
     -0.125)
    (+ (* (* eps eps) (* t_1 t_1)) (- 0.25 (* t_0 (* (* eps eps) -0.5)))))))

C

double code(double eps) {
	double t_0 = 0.225 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857)));
	double t_1 = eps * t_0;
	return (((eps * (eps * eps)) * (t_1 * ((eps * eps) * (0.050625 + (eps * (eps * (-0.004339285714285714 + ((eps * eps) * 0.00014722576530612244)))))))) + -0.125) / (((eps * eps) * (t_1 * t_1)) + (0.25 - (t_0 * ((eps * eps) * -0.5))));
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = 0.225d0 + ((eps * eps) * ((-0.009642857142857142d0) + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857d0)))
    t_1 = eps * t_0
    code = (((eps * (eps * eps)) * (t_1 * ((eps * eps) * (0.050625d0 + (eps * (eps * ((-0.004339285714285714d0) + ((eps * eps) * 0.00014722576530612244d0)))))))) + (-0.125d0)) / (((eps * eps) * (t_1 * t_1)) + (0.25d0 - (t_0 * ((eps * eps) * (-0.5d0)))))
end function

Java

public static double code(double eps) {
	double t_0 = 0.225 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857)));
	double t_1 = eps * t_0;
	return (((eps * (eps * eps)) * (t_1 * ((eps * eps) * (0.050625 + (eps * (eps * (-0.004339285714285714 + ((eps * eps) * 0.00014722576530612244)))))))) + -0.125) / (((eps * eps) * (t_1 * t_1)) + (0.25 - (t_0 * ((eps * eps) * -0.5))));
}

Python

def code(eps):
	t_0 = 0.225 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857)))
	t_1 = eps * t_0
	return (((eps * (eps * eps)) * (t_1 * ((eps * eps) * (0.050625 + (eps * (eps * (-0.004339285714285714 + ((eps * eps) * 0.00014722576530612244)))))))) + -0.125) / (((eps * eps) * (t_1 * t_1)) + (0.25 - (t_0 * ((eps * eps) * -0.5))))

Julia

function code(eps)
	t_0 = Float64(0.225 + Float64(Float64(eps * eps) * Float64(-0.009642857142857142 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.00024107142857142857))))
	t_1 = Float64(eps * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(eps * Float64(eps * eps)) * Float64(t_1 * Float64(Float64(eps * eps) * Float64(0.050625 + Float64(eps * Float64(eps * Float64(-0.004339285714285714 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.00014722576530612244)))))))) + -0.125) / Float64(Float64(Float64(eps * eps) * Float64(t_1 * t_1)) + Float64(0.25 - Float64(t_0 * Float64(Float64(eps * eps) * -0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	t_0 = 0.225 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857)));
	t_1 = eps * t_0;
	tmp = (((eps * (eps * eps)) * (t_1 * ((eps * eps) * (0.050625 + (eps * (eps * (-0.004339285714285714 + ((eps * eps) * 0.00014722576530612244)))))))) + -0.125) / (((eps * eps) * (t_1 * t_1)) + (0.25 - (t_0 * ((eps * eps) * -0.5))));
end

Wolfram

code[eps_] := Block[{t$95$0 = N[(0.225 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(-0.009642857142857142 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.00024107142857142857), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(eps * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(eps * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(0.050625 + N[(eps * N[(eps * N[(-0.004339285714285714 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.00014722576530612244), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.125), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.25 - N[(t$95$0 * N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 1.4%

   \[\frac{\varepsilon - \sin \varepsilon}{\varepsilon - \tan \varepsilon} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right) - \frac{1}{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(0.225 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) + -0.5} \]
6. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)}^{3} + {\frac{-1}{2}}^{3}}{\color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2} - \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)}^{3} + {\frac{-1}{2}}^{3}\right), \color{blue}{\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2} - \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right)\right)\right) + -0.125}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right)\right) + \left(0.25 - \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \left(\frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \frac{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.009642857142857142\right)\right)}\right)\right) + -0.125}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right)\right) + \left(0.25 - \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in eps around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)}\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2} + \frac{-243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-243}{56000} + \frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \left(\frac{4617}{31360000} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{4617}{31360000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{4617}{31360000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{4617}{31360000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4617}{31360000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \frac{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(0.050625 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.004339285714285714 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00014722576530612244\right)\right)\right)\right)}\right) + -0.125}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right)\right) + \left(0.25 - \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\\ t_1 := \varepsilon \cdot t\_0\\ \frac{-0.125 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(t\_1 \cdot \left(t\_1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.009642857142857142\right)\right)\right)\right)}{\left(0.25 - t\_0 \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right) + \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(0.050625 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.004339285714285714 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00020146683673469387\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          0.225
          (*
           (* eps eps)
           (+ -0.009642857142857142 (* (* eps eps) 0.00024107142857142857)))))
        (t_1 (* eps t_0)))
   (/
    (+
     -0.125
     (*
      (* eps (* eps eps))
      (* t_1 (* t_1 (* eps (+ 0.225 (* (* eps eps) -0.009642857142857142)))))))
    (+
     (- 0.25 (* t_0 (* (* eps eps) -0.5)))
     (*
      (* (* eps eps) (* eps eps))
      (+
       0.050625
       (*
        (* eps eps)
        (+ -0.004339285714285714 (* (* eps eps) 0.00020146683673469387)))))))))

C

double code(double eps) {
	double t_0 = 0.225 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857)));
	double t_1 = eps * t_0;
	return (-0.125 + ((eps * (eps * eps)) * (t_1 * (t_1 * (eps * (0.225 + ((eps * eps) * -0.009642857142857142))))))) / ((0.25 - (t_0 * ((eps * eps) * -0.5))) + (((eps * eps) * (eps * eps)) * (0.050625 + ((eps * eps) * (-0.004339285714285714 + ((eps * eps) * 0.00020146683673469387))))));
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = 0.225d0 + ((eps * eps) * ((-0.009642857142857142d0) + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857d0)))
    t_1 = eps * t_0
    code = ((-0.125d0) + ((eps * (eps * eps)) * (t_1 * (t_1 * (eps * (0.225d0 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142d0)))))))) / ((0.25d0 - (t_0 * ((eps * eps) * (-0.5d0)))) + (((eps * eps) * (eps * eps)) * (0.050625d0 + ((eps * eps) * ((-0.004339285714285714d0) + ((eps * eps) * 0.00020146683673469387d0))))))
end function

Java

public static double code(double eps) {
	double t_0 = 0.225 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857)));
	double t_1 = eps * t_0;
	return (-0.125 + ((eps * (eps * eps)) * (t_1 * (t_1 * (eps * (0.225 + ((eps * eps) * -0.009642857142857142))))))) / ((0.25 - (t_0 * ((eps * eps) * -0.5))) + (((eps * eps) * (eps * eps)) * (0.050625 + ((eps * eps) * (-0.004339285714285714 + ((eps * eps) * 0.00020146683673469387))))));
}

Python

def code(eps):
	t_0 = 0.225 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857)))
	t_1 = eps * t_0
	return (-0.125 + ((eps * (eps * eps)) * (t_1 * (t_1 * (eps * (0.225 + ((eps * eps) * -0.009642857142857142))))))) / ((0.25 - (t_0 * ((eps * eps) * -0.5))) + (((eps * eps) * (eps * eps)) * (0.050625 + ((eps * eps) * (-0.004339285714285714 + ((eps * eps) * 0.00020146683673469387))))))

Julia

function code(eps)
	t_0 = Float64(0.225 + Float64(Float64(eps * eps) * Float64(-0.009642857142857142 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.00024107142857142857))))
	t_1 = Float64(eps * t_0)
	return Float64(Float64(-0.125 + Float64(Float64(eps * Float64(eps * eps)) * Float64(t_1 * Float64(t_1 * Float64(eps * Float64(0.225 + Float64(Float64(eps * eps) * -0.009642857142857142))))))) / Float64(Float64(0.25 - Float64(t_0 * Float64(Float64(eps * eps) * -0.5))) + Float64(Float64(Float64(eps * eps) * Float64(eps * eps)) * Float64(0.050625 + Float64(Float64(eps * eps) * Float64(-0.004339285714285714 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.00020146683673469387)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	t_0 = 0.225 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857)));
	t_1 = eps * t_0;
	tmp = (-0.125 + ((eps * (eps * eps)) * (t_1 * (t_1 * (eps * (0.225 + ((eps * eps) * -0.009642857142857142))))))) / ((0.25 - (t_0 * ((eps * eps) * -0.5))) + (((eps * eps) * (eps * eps)) * (0.050625 + ((eps * eps) * (-0.004339285714285714 + ((eps * eps) * 0.00020146683673469387))))));
end

Wolfram

code[eps_] := Block[{t$95$0 = N[(0.225 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(-0.009642857142857142 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.00024107142857142857), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(eps * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(-0.125 + N[(N[(eps * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * N[(t$95$1 * N[(eps * N[(0.225 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * -0.009642857142857142), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(0.25 - N[(t$95$0 * N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.050625 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(-0.004339285714285714 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.00020146683673469387), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 1.4%

   \[\frac{\varepsilon - \sin \varepsilon}{\varepsilon - \tan \varepsilon} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right) - \frac{1}{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(0.225 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) + -0.5} \]
6. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)}^{3} + {\frac{-1}{2}}^{3}}{\color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2} - \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)}^{3} + {\frac{-1}{2}}^{3}\right), \color{blue}{\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{-1}{2} - \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-27}{2800} + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right)\right)\right) + -0.125}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right)\right) + \left(0.25 - \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \left(\frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \frac{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.009642857142857142\right)\right)}\right)\right) + -0.125}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right)\right) + \left(0.25 - \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in eps around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left({\varepsilon}^{4} \cdot \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{4}\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{4}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{81}{1600} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{243}{56000}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2} + \frac{-243}{56000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(\frac{-243}{56000} + \frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \left(\frac{3159}{15680000} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{3159}{15680000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{3159}{15680000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{3159}{15680000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{81}{1600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-243}{56000}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{3159}{15680000}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-27}{2800}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{27}{112000}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \frac{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.009642857142857142\right)\right)\right)\right) + -0.125}{\color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(0.050625 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.004339285714285714 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00020146683673469387\right)\right)} + \left(0.25 - \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right)} \]

14. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \frac{-0.125 + \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.009642857142857142\right)\right)\right)\right)}{\left(0.25 - \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.5\right)\right) + \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(0.050625 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(-0.004339285714285714 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00020146683673469387\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.9% accurate, 10.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(0.225 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps)
 :precision binary64
 (+
  -0.5
  (*
   (* eps eps)
   (+
    0.225
    (*
     eps
     (*
      eps
      (+ -0.009642857142857142 (* (* eps eps) 0.00024107142857142857))))))))

C

double code(double eps) {
	return -0.5 + ((eps * eps) * (0.225 + (eps * (eps * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857))))));
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-0.5d0) + ((eps * eps) * (0.225d0 + (eps * (eps * ((-0.009642857142857142d0) + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857d0))))))
end function

Java

public static double code(double eps) {
	return -0.5 + ((eps * eps) * (0.225 + (eps * (eps * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857))))));
}

Python

def code(eps):
	return -0.5 + ((eps * eps) * (0.225 + (eps * (eps * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857))))))

Julia

function code(eps)
	return Float64(-0.5 + Float64(Float64(eps * eps) * Float64(0.225 + Float64(eps * Float64(eps * Float64(-0.009642857142857142 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.00024107142857142857)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	tmp = -0.5 + ((eps * eps) * (0.225 + (eps * (eps * (-0.009642857142857142 + ((eps * eps) * 0.00024107142857142857))))));
end

Wolfram

code[eps_] := N[(-0.5 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * N[(0.225 + N[(eps * N[(eps * N[(-0.009642857142857142 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.00024107142857142857), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 1.4%

   \[\frac{\varepsilon - \sin \varepsilon}{\varepsilon - \tan \varepsilon} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right) - \frac{1}{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{27}{112000} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{27}{2800}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]

5. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(0.225 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) + -0.5} \]

6. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto -0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(0.225 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-0.009642857142857142 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.00024107142857142857\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.9% accurate, 15.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.5 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.009642857142857142\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps)
 :precision binary64
 (+ -0.5 (* eps (* eps (+ 0.225 (* (* eps eps) -0.009642857142857142))))))

C

double code(double eps) {
	return -0.5 + (eps * (eps * (0.225 + ((eps * eps) * -0.009642857142857142))));
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-0.5d0) + (eps * (eps * (0.225d0 + ((eps * eps) * (-0.009642857142857142d0)))))
end function

Java

public static double code(double eps) {
	return -0.5 + (eps * (eps * (0.225 + ((eps * eps) * -0.009642857142857142))));
}

Python

def code(eps):
	return -0.5 + (eps * (eps * (0.225 + ((eps * eps) * -0.009642857142857142))))

Julia

function code(eps)
	return Float64(-0.5 + Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.225 + Float64(Float64(eps * eps) * -0.009642857142857142)))))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	tmp = -0.5 + (eps * (eps * (0.225 + ((eps * eps) * -0.009642857142857142))));
end

Wolfram

code[eps_] := N[(-0.5 + N[(eps * N[(eps * N[(0.225 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * -0.009642857142857142), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 1.4%

   \[\frac{\varepsilon - \sin \varepsilon}{\varepsilon - \tan \varepsilon} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) - \frac{1}{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto {\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{9}{40} + \frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \left(\frac{-27}{2800} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{-27}{2800}\right)\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right) \]

5. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.009642857142857142\right)\right) + -0.5} \]

6. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto -0.5 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.225 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot -0.009642857142857142\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.7% accurate, 29.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.225 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps) :precision binary64 (+ -0.5 (* (* eps eps) 0.225)))

C

double code(double eps) {
	return -0.5 + ((eps * eps) * 0.225);
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (-0.5d0) + ((eps * eps) * 0.225d0)
end function

Java

public static double code(double eps) {
	return -0.5 + ((eps * eps) * 0.225);
}

Python

def code(eps):
	return -0.5 + ((eps * eps) * 0.225)

Julia

function code(eps)
	return Float64(-0.5 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.225))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	tmp = -0.5 + ((eps * eps) * 0.225);
end

Wolfram

code[eps_] := N[(-0.5 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.225), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 1.4%

   \[\frac{\varepsilon - \sin \varepsilon}{\varepsilon - \tan \varepsilon} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{9}{40} \cdot {\varepsilon}^{2} - \frac{1}{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{9}{40} \cdot {\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{9}{40} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{9}{40}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{9}{40}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{9}{40}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \frac{-1}{2}\right) \]

5. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.225 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + -0.5} \]

6. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto -0.5 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.225 \]
7. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.2% accurate, 207.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps) :precision binary64 -0.5)

C

double code(double eps) {
	return -0.5;
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    code = -0.5d0
end function

Java

public static double code(double eps) {
	return -0.5;
}

Python

def code(eps):
	return -0.5

Julia

function code(eps)
	return -0.5
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	tmp = -0.5;
end

Wolfram

code[eps_] := -0.5

Derivation

1. Initial program 1.4%

   \[\frac{\varepsilon - \sin \varepsilon}{\varepsilon - \tan \varepsilon} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2}} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.5} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 5.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\\ \left(\left(-0.5 + \frac{9 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{40}\right) + \frac{-27 \cdot t\_0}{2800}\right) + \frac{27 \cdot \left(\left(t\_0 \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)}{112000} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (* eps eps) eps) eps)))
   (+
    (+ (+ -0.5 (/ (* 9.0 (* eps eps)) 40.0)) (/ (* -27.0 t_0) 2800.0))
    (/ (* 27.0 (* (* t_0 eps) eps)) 112000.0))))

C

double code(double eps) {
	double t_0 = ((eps * eps) * eps) * eps;
	return ((-0.5 + ((9.0 * (eps * eps)) / 40.0)) + ((-27.0 * t_0) / 2800.0)) + ((27.0 * ((t_0 * eps) * eps)) / 112000.0);
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = ((eps * eps) * eps) * eps
    code = (((-0.5d0) + ((9.0d0 * (eps * eps)) / 40.0d0)) + (((-27.0d0) * t_0) / 2800.0d0)) + ((27.0d0 * ((t_0 * eps) * eps)) / 112000.0d0)
end function

Java

public static double code(double eps) {
	double t_0 = ((eps * eps) * eps) * eps;
	return ((-0.5 + ((9.0 * (eps * eps)) / 40.0)) + ((-27.0 * t_0) / 2800.0)) + ((27.0 * ((t_0 * eps) * eps)) / 112000.0);
}

Python

def code(eps):
	t_0 = ((eps * eps) * eps) * eps
	return ((-0.5 + ((9.0 * (eps * eps)) / 40.0)) + ((-27.0 * t_0) / 2800.0)) + ((27.0 * ((t_0 * eps) * eps)) / 112000.0)

Julia

function code(eps)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(eps * eps) * eps) * eps)
	return Float64(Float64(Float64(-0.5 + Float64(Float64(9.0 * Float64(eps * eps)) / 40.0)) + Float64(Float64(-27.0 * t_0) / 2800.0)) + Float64(Float64(27.0 * Float64(Float64(t_0 * eps) * eps)) / 112000.0))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	t_0 = ((eps * eps) * eps) * eps;
	tmp = ((-0.5 + ((9.0 * (eps * eps)) / 40.0)) + ((-27.0 * t_0) / 2800.0)) + ((27.0 * ((t_0 * eps) * eps)) / 112000.0);
end

Wolfram

code[eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(-0.5 + N[(N[(9.0 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 40.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-27.0 * t$95$0), $MachinePrecision] / 2800.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(27.0 * N[(N[(t$95$0 * eps), $MachinePrecision] * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 112000.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (eps)
  :name "sintan (problem 3.4.5)"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -0.4 eps) (<= eps 0.4))

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ -1/2 (/ (* 9 (* eps eps)) 40) (/ (* -27 (* eps eps eps eps)) 2800) (/ (* 27 (* eps eps eps eps eps eps)) 112000)))

  (/ (- eps (sin eps)) (- eps (tan eps))))