2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.4% → 99.6%

Time: 17.1s

Alternatives: 14

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\sin x}^{2}\\ t_1 := {\cos x}^{2}\\ t_2 := \frac{t\_0}{t\_1}\\ t_3 := 1 + t\_2\\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(t\_2 + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot t\_3 + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(t\_2 \cdot t\_3 - 0.16666666666666666\right) - \frac{t\_0 \cdot 0.16666666666666666}{t\_1}\right) - \left(-0.5 + \frac{t\_0 \cdot -0.5}{t\_1}\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (sin x) 2.0))
        (t_1 (pow (cos x) 2.0))
        (t_2 (/ t_0 t_1))
        (t_3 (+ 1.0 t_2)))
   (*
    eps
    (+
     1.0
     (+
      t_2
      (*
       eps
       (+
        (* (/ (sin x) (cos x)) t_3)
        (*
         eps
         (-
          (-
           (- (* t_2 t_3) 0.16666666666666666)
           (/ (* t_0 0.16666666666666666) t_1))
          (+ -0.5 (/ (* t_0 -0.5) t_1)))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(sin(x), 2.0);
	double t_1 = pow(cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = 1.0 + t_2;
	return eps * (1.0 + (t_2 + (eps * (((sin(x) / cos(x)) * t_3) + (eps * ((((t_2 * t_3) - 0.16666666666666666) - ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)) - (-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = sin(x) ** 2.0d0
    t_1 = cos(x) ** 2.0d0
    t_2 = t_0 / t_1
    t_3 = 1.0d0 + t_2
    code = eps * (1.0d0 + (t_2 + (eps * (((sin(x) / cos(x)) * t_3) + (eps * ((((t_2 * t_3) - 0.16666666666666666d0) - ((t_0 * 0.16666666666666666d0) / t_1)) - ((-0.5d0) + ((t_0 * (-0.5d0)) / t_1))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.sin(x), 2.0);
	double t_1 = Math.pow(Math.cos(x), 2.0);
	double t_2 = t_0 / t_1;
	double t_3 = 1.0 + t_2;
	return eps * (1.0 + (t_2 + (eps * (((Math.sin(x) / Math.cos(x)) * t_3) + (eps * ((((t_2 * t_3) - 0.16666666666666666) - ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)) - (-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.sin(x), 2.0)
	t_1 = math.pow(math.cos(x), 2.0)
	t_2 = t_0 / t_1
	t_3 = 1.0 + t_2
	return eps * (1.0 + (t_2 + (eps * (((math.sin(x) / math.cos(x)) * t_3) + (eps * ((((t_2 * t_3) - 0.16666666666666666) - ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)) - (-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0
	t_1 = cos(x) ^ 2.0
	t_2 = Float64(t_0 / t_1)
	t_3 = Float64(1.0 + t_2)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(t_2 + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(sin(x) / cos(x)) * t_3) + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(Float64(t_2 * t_3) - 0.16666666666666666) - Float64(Float64(t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)) - Float64(-0.5 + Float64(Float64(t_0 * -0.5) / t_1)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = sin(x) ^ 2.0;
	t_1 = cos(x) ^ 2.0;
	t_2 = t_0 / t_1;
	t_3 = 1.0 + t_2;
	tmp = eps * (1.0 + (t_2 + (eps * (((sin(x) / cos(x)) * t_3) + (eps * ((((t_2 * t_3) - 0.16666666666666666) - ((t_0 * 0.16666666666666666) / t_1)) - (-0.5 + ((t_0 * -0.5) / t_1))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 / t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(1.0 + N[(t$95$2 + N[(eps * N[(N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] / N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[(N[(t$95$2 * t$95$3), $MachinePrecision] - 0.16666666666666666), $MachinePrecision] - N[(N[(t$95$0 * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-0.5 + N[(N[(t$95$0 * -0.5), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - 0.16666666666666666\right) - \frac{{\sin x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}{{\cos x}^{2}}\right) - \left(-0.5 + \frac{{\sin x}^{2} \cdot -0.5}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left({\tan x}^{3} - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.3333333333333333 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+ 1.0 (pow (tan x) 2.0))
   (*
    eps
    (+
     (tan x)
     (-
      (pow (tan x) 3.0)
      (* eps (+ (* (* x x) -1.3333333333333333) -0.3333333333333333))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + pow(tan(x), 2.0)) + (eps * (tan(x) + (pow(tan(x), 3.0) - (eps * (((x * x) * -1.3333333333333333) + -0.3333333333333333))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((1.0d0 + (tan(x) ** 2.0d0)) + (eps * (tan(x) + ((tan(x) ** 3.0d0) - (eps * (((x * x) * (-1.3333333333333333d0)) + (-0.3333333333333333d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + Math.pow(Math.tan(x), 2.0)) + (eps * (Math.tan(x) + (Math.pow(Math.tan(x), 3.0) - (eps * (((x * x) * -1.3333333333333333) + -0.3333333333333333))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((1.0 + math.pow(math.tan(x), 2.0)) + (eps * (math.tan(x) + (math.pow(math.tan(x), 3.0) - (eps * (((x * x) * -1.3333333333333333) + -0.3333333333333333))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + (tan(x) ^ 2.0)) + Float64(eps * Float64(tan(x) + Float64((tan(x) ^ 3.0) - Float64(eps * Float64(Float64(Float64(x * x) * -1.3333333333333333) + -0.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((1.0 + (tan(x) ^ 2.0)) + (eps * (tan(x) + ((tan(x) ^ 3.0) - (eps * (((x * x) * -1.3333333333333333) + -0.3333333333333333))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(1.0 + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -1.3333333333333333), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.3333333333333333 + -0.3333333333333333\right)}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left({\tan x}^{3} - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.3333333333333333 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left({\tan x}^{3} - \varepsilon \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+ 1.0 (pow (tan x) 2.0))
   (* eps (+ (tan x) (- (pow (tan x) 3.0) (* eps -0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + pow(tan(x), 2.0)) + (eps * (tan(x) + (pow(tan(x), 3.0) - (eps * -0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((1.0d0 + (tan(x) ** 2.0d0)) + (eps * (tan(x) + ((tan(x) ** 3.0d0) - (eps * (-0.3333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + Math.pow(Math.tan(x), 2.0)) + (eps * (Math.tan(x) + (Math.pow(Math.tan(x), 3.0) - (eps * -0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((1.0 + math.pow(math.tan(x), 2.0)) + (eps * (math.tan(x) + (math.pow(math.tan(x), 3.0) - (eps * -0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + (tan(x) ^ 2.0)) + Float64(eps * Float64(tan(x) + Float64((tan(x) ^ 3.0) - Float64(eps * -0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((1.0 + (tan(x) ^ 2.0)) + (eps * (tan(x) + ((tan(x) ^ 3.0) - (eps * -0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(1.0 + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] - N[(eps * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.3333333333333333 + -0.3333333333333333\right)}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left({\tan x}^{3} - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.3333333333333333 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right), \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left({\tan x}^{3} - \color{blue}{\varepsilon \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \varepsilon \cdot x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   1.0
   (+
    (/ (pow (sin x) 2.0) (pow (cos x) 2.0))
    (+ (* 0.3333333333333333 (* eps eps)) (* eps x))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((pow(sin(x), 2.0) / pow(cos(x), 2.0)) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (eps * x))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (((sin(x) ** 2.0d0) / (cos(x) ** 2.0d0)) + ((0.3333333333333333d0 * (eps * eps)) + (eps * x))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((Math.pow(Math.sin(x), 2.0) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (eps * x))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + ((math.pow(math.sin(x), 2.0) / math.pow(math.cos(x), 2.0)) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (eps * x))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)) + Float64(eps * x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (((sin(x) ^ 2.0) / (cos(x) ^ 2.0)) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (eps * x))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot x\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(x\right)}, 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \varepsilon \cdot x\right)} + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

9. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \varepsilon \cdot x\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(\varepsilon \cdot x + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+ 1.0 (pow (tan x) 2.0))
   (+ (* eps x) (* eps (* eps 0.3333333333333333))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + pow(tan(x), 2.0)) + ((eps * x) + (eps * (eps * 0.3333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((1.0d0 + (tan(x) ** 2.0d0)) + ((eps * x) + (eps * (eps * 0.3333333333333333d0))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((1.0 + Math.pow(Math.tan(x), 2.0)) + ((eps * x) + (eps * (eps * 0.3333333333333333))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((1.0 + math.pow(math.tan(x), 2.0)) + ((eps * x) + (eps * (eps * 0.3333333333333333))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(1.0 + (tan(x) ^ 2.0)) + Float64(Float64(eps * x) + Float64(eps * Float64(eps * 0.3333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((1.0 + (tan(x) ^ 2.0)) + ((eps * x) + (eps * (eps * 0.3333333333333333))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(1.0 + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(eps * x), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {x}^{2}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), \mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-4}{3}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.3333333333333333 + -0.3333333333333333\right)}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-4}{3} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x + \left({\tan x}^{3} - \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.3333333333333333 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot x\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3}\right)\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    10. distribute-rgt-neg-in N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 98.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot x\right)}\right) \]

14. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(\varepsilon \cdot x + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* eps (* (tan x) (tan x)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (tan(x) * tan(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * (tan(x) * tan(x)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.tan(x) * Math.tan(x)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.tan(x) * math.tan(x)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(tan(x) * tan(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * (tan(x) * tan(x)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos \color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{\varepsilon \cdot 1} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \varepsilon \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{{\cos x}^{2}}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   8. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right), \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   10. quot-tan N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   11. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   12. quot-tan N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   13. tan-lowering-tan.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

7. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right) + \varepsilon} \]

8. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.4% accurate, 7.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (*
    (* x x)
    (+
     1.0
     (*
      (* x x)
      (+
       0.6666666666666666
       (*
        (* x x)
        (+ 0.37777777777777777 (* (* x x) 0.19682539682539682))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((x * x) * (1.0d0 + ((x * x) * (0.6666666666666666d0 + ((x * x) * (0.37777777777777777d0 + ((x * x) * 0.19682539682539682d0))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.37777777777777777 + Float64(Float64(x * x) * 0.19682539682539682)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.37777777777777777 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.19682539682539682), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos \color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45}} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45}} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \color{blue}{\left(\frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{62}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{62}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right) + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon + \color{blue}{1 \cdot \varepsilon} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon + \varepsilon \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

10. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

11. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.4% accurate, 7.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+
     1.0
     (*
      (* x x)
      (+
       0.6666666666666666
       (*
        (* x x)
        (+ 0.37777777777777777 (* (* x x) 0.19682539682539682))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + ((x * x) * (0.6666666666666666d0 + ((x * x) * (0.37777777777777777d0 + ((x * x) * 0.19682539682539682d0))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.37777777777777777 + Float64(Float64(x * x) * 0.19682539682539682)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.37777777777777777 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.19682539682539682), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos \color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45}} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45}} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \color{blue}{\left(\frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{62}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{62}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.4% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (*
    (* x x)
    (+
     1.0
     (* x (* x (+ 0.6666666666666666 (* (* x x) 0.37777777777777777)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((x * x) * (1.0d0 + (x * (x * (0.6666666666666666d0 + ((x * x) * 0.37777777777777777d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777)))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.6666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * 0.37777777777777777))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.6666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.37777777777777777), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos \color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45}} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45}} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \color{blue}{\left(\frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{62}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{62}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right) + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon + \color{blue}{1 \cdot \varepsilon} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon + \varepsilon \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

10. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    7. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right), x\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right), x\right), x\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(\frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right), x\right), x\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{17}{45}\right)\right), x\right), x\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{17}{45}\right)\right), x\right), x\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{17}{45}\right)\right), x\right), x\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 98.2%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{17}{45}\right)\right), x\right), x\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 98.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right) \cdot x\right) \cdot x\right)\right)} + \varepsilon \]

14. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.4% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+
     1.0
     (* (* x x) (+ 0.6666666666666666 (* (* x x) 0.37777777777777777))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((x * x) * (1.0d0 + ((x * x) * (0.6666666666666666d0 + ((x * x) * 0.37777777777777777d0))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * 0.37777777777777777)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.37777777777777777), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos \color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \color{blue}{\left(\frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{17}{45}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{17}{45}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 98.4% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+ eps (* (* x x) (+ eps (* 0.6666666666666666 (* eps (* x x)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + ((x * x) * (eps + (0.6666666666666666 * (eps * (x * x)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + ((x * x) * (eps + (0.6666666666666666d0 * (eps * (x * x)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + ((x * x) * (eps + (0.6666666666666666 * (eps * (x * x)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + ((x * x) * (eps + (0.6666666666666666 * (eps * (x * x)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(Float64(x * x) * Float64(eps + Float64(0.6666666666666666 * Float64(eps * Float64(x * x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + ((x * x) * (eps + (0.6666666666666666 * (eps * (x * x)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(eps + N[(0.6666666666666666 * N[(eps * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos \color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\varepsilon + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{2}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{2}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2}\right)\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot x\right)\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.6666666666666666\right)} \]

9. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + 0.6666666666666666 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 98.3% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* eps (* x x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * (x * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (x * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (x * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * (x * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos \color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{1} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45}} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45}} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \color{blue}{\left(\frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{62}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{62}{315}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right) + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon + \color{blue}{1 \cdot \varepsilon} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon + \varepsilon \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{2}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

10. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)}, \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 98.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 98.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)} + \varepsilon \]

14. Final simplification 98.0%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 13: 98.3% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ 1.0 (* x x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (x * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos \color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \varepsilon \cdot {x}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \varepsilon + {x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   2. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \left({x}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 + {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + {x}^{2}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 98.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \varepsilon\right) \]

8. Simplified 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot x\right) \cdot \varepsilon} \]

9. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 14: 97.9% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 62.1%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \varepsilon, \color{blue}{\cos \varepsilon}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \cos \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 97.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right) \]

5. Simplified 97.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 97.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))