Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 20.9s

Alternatives: 17

Speedup: 0.7×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ t_1 := \frac{u}{1 + \frac{1}{t\_0}} + \frac{1 - u}{1 + t\_0}\\ s \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{1}{t\_1}}{{t\_1}^{-2} + -1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s)))
        (t_1 (+ (/ u (+ 1.0 (/ 1.0 t_0))) (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 t_0)))))
   (* s (log (/ (+ 1.0 (/ 1.0 t_1)) (+ (pow t_1 -2.0) -1.0))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	float t_1 = (u / (1.0f + (1.0f / t_0))) + ((1.0f - u) / (1.0f + t_0));
	return s * logf(((1.0f + (1.0f / t_1)) / (powf(t_1, -2.0f) + -1.0f)));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	t_1 = Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + t_0)))
	return Float32(s * log(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_1)) / Float32((t_1 ^ Float32(-2.0)) + Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	t_1 = (u / (single(1.0) + (single(1.0) / t_0))) + ((single(1.0) - u) / (single(1.0) + t_0));
	tmp = s * log(((single(1.0) + (single(1.0) / t_1)) / ((t_1 ^ single(-2.0)) + single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}{{\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ t_1 := \frac{1}{t\_0}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + t\_1} + \frac{1 - u}{1 + t\_0}\right)}^{-2}}{-1 + \frac{1}{\frac{u}{-1 - t\_1} + \frac{1 - u}{-1 - t\_0}}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))) (t_1 (/ 1.0 t_0)))
   (*
    (- s)
    (log
     (/
      (- 1.0 (pow (+ (/ u (+ 1.0 t_1)) (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 t_0))) -2.0))
      (+ -1.0 (/ 1.0 (+ (/ u (- -1.0 t_1)) (/ (- 1.0 u) (- -1.0 t_0))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	float t_1 = 1.0f / t_0;
	return -s * logf(((1.0f - powf(((u / (1.0f + t_1)) + ((1.0f - u) / (1.0f + t_0))), -2.0f)) / (-1.0f + (1.0f / ((u / (-1.0f - t_1)) + ((1.0f - u) / (-1.0f - t_0)))))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	t_1 = Float32(Float32(1.0) / t_0)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) - (Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + t_1)) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + t_0))) ^ Float32(-2.0))) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u / Float32(Float32(-1.0) - t_1)) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(-1.0) - t_0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	t_1 = single(1.0) / t_0;
	tmp = -s * log(((single(1.0) - (((u / (single(1.0) + t_1)) + ((single(1.0) - u) / (single(1.0) + t_0))) ^ single(-2.0))) / (single(-1.0) + (single(1.0) / ((u / (single(-1.0) - t_1)) + ((single(1.0) - u) / (single(-1.0) - t_0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right), \left(-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}\right)} \]

7. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 + \frac{1}{\frac{u}{-1 - \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{-1 - e^{\frac{\pi}{s}}}}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + {\left({\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{t\_0}} + \frac{1 - u}{1 + t\_0}\right)}^{2}\right)}^{-0.5}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))))
   (*
    (- s)
    (log
     (+
      -1.0
      (pow
       (pow (+ (/ u (+ 1.0 (/ 1.0 t_0))) (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 t_0))) 2.0)
       -0.5))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf((-1.0f + powf(powf(((u / (1.0f + (1.0f / t_0))) + ((1.0f - u) / (1.0f + t_0))), 2.0f), -0.5f)));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + ((Float32(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) / t_0))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + t_0))) ^ Float32(2.0)) ^ Float32(-0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = exp((single(pi) / s));
	tmp = -s * log((single(-1.0) + ((((u / (single(1.0) + (single(1.0) / t_0))) + ((single(1.0) - u) / (single(1.0) + t_0))) ^ single(2.0)) ^ single(-0.5))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-1}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({\left(\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right), \left(\frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{{\left({\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{2}\right)}^{-0.5}} + -1\right) \]

7. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + {\left({\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{2}\right)}^{-0.5}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    -1.0
    (/
     1.0
     (+
      (/ (- 1.0 u) (+ 1.0 (exp (/ PI s))))
      (/ u (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s)))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (1.0f / (((1.0f - u) / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)))) + (u / (1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s)))))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s)))) + Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(1.0) / (((single(1.0) - u) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)))) + (u / (single(1.0) + exp((single(0.0) - (single(pi) / s)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(-1 + \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right), \left(-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}}}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{\left(-1 + -1\right)}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   3. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-1} \cdot {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-1}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot {\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-1}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

   5. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}{-1 - \frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right)} \]

9. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 + \left(e^{0 - \frac{\pi}{s}} - u\right)}{u}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (/ (+ 1.0 (- (exp (- 0.0 (/ PI s))) u)) u))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((1.0f + (expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))) - u)) / u));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))) - u)) / u)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(1.0) + (exp((single(0.0) - (single(pi) / s))) - u)) / u));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666}{s} + \pi \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{-s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}, -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}} + -1\right) \]

11. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)} + -1 \cdot u\right)}{u}\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)} + -1 \cdot u\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)} + -1 \cdot u\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), \left(-1 \cdot u\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    4. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \left(-1 \cdot u\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    5. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(-1 \cdot u\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    6. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \left(-1 \cdot u\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right), \left(-1 \cdot u\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \left(-1 \cdot u\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    9. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    10. neg-lowering-neg.f32 98.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(u\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

13. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(e^{0 - \frac{\pi}{s}} + \left(-u\right)\right)}{u}\right)} \]

14. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 + \left(e^{0 - \frac{\pi}{s}} - u\right)}{u}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (+ -1.0 (/ (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s)))) u)))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + ((1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s)))) / u)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s)))) / u))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + ((single(1.0) + exp((single(0.0) - (single(pi) / s)))) / u)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666}{s} + \pi \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{-s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}, -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}} + -1\right) \]

11. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 75.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* (- s) (log (/ (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s)))) u))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s)))) / u));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s)))) / u)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(1.0) + exp((single(0.0) - (single(pi) / s)))) / u));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666}{s} + \pi \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{-s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}, -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}} + -1\right) \]

11. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    3. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    4. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 76.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

13. Simplified 76.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right)} \]

14. Taylor expanded in s around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \log \left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\log \left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \log \color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}\right) \]

    5. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    8. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    9. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    10. neg-mul-1 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    11. distribute-neg-frac2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    12. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{-1 \cdot s}\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    15. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    16. neg-lowering-neg.f32 76.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

16. Simplified 76.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}{u}\right)} \]

17. Final simplification 76.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 8: 75.8% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \log \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* s (log (/ u (+ 1.0 (exp (- 0.0 (/ PI s))))))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * logf((u / (1.0f + expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * log(Float32(u / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * log((u / (single(1.0) + exp((single(0.0) - (single(pi) / s))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666}{s} + \pi \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{-s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}, -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}} + -1\right) \]

11. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    3. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    4. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 76.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

13. Simplified 76.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right)} \]
14. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(s \cdot \log \left(\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right)\right) \]

    2. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto s \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}\right)\right)\right)} \]

    3. neg-log N/A

       \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u}}\right) \]

    4. sub0-neg N/A

       \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}}\right) \]

    5. distribute-frac-neg2 N/A

       \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}}{u}}\right) \]

    6. clear-num N/A

       \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}}\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\log \left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}}\right)}\right) \]

    8. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}}\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \left(1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

    10. distribute-frac-neg2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. sub0-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \left(1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

15. Applied egg-rr 76.1%

    \[\leadsto \color{blue}{s \cdot \log \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 9: 37.0% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{2}{u}}{-1 + \frac{4}{u \cdot u}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* s (log (/ (+ 1.0 (/ 2.0 u)) (+ -1.0 (/ 4.0 (* u u)))))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * logf(((1.0f + (2.0f / u)) / (-1.0f + (4.0f / (u * u)))));
}

Fortran

real(4) function code(u, s)
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: s
    code = s * log(((1.0e0 + (2.0e0 / u)) / ((-1.0e0) + (4.0e0 / (u * u)))))
end function

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * log(Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(2.0) / u)) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(4.0) / Float32(u * u))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * log(((single(1.0) + (single(2.0) / u)) / (single(-1.0) + (single(4.0) / (u * u)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666}{s} + \pi \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{-s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}, -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}} + -1\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. flip-+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} \cdot \frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1 \cdot -1}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1}\right)\right) \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} \cdot \frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

    3. log-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\log 1 - \color{blue}{\log \left(\frac{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} \cdot \frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1 \cdot -1}\right)}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(0 - \log \color{blue}{\left(\frac{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} \cdot \frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1 \cdot -1}\right)}\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{\_.f32}\left(0, \color{blue}{\log \left(\frac{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} \cdot \frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1 \cdot -1}\right)}\right)\right) \]

    6. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} \cdot \frac{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{u} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(0 - \log \left(\frac{\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u} + 1}{{\left(\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right)}^{2} + -1}\right)\right)} \]

13. Taylor expanded in s around inf

    \[\leadsto \color{blue}{s \cdot \log \left(\frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{u}}{4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} - 1}\right)} \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\log \left(\frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{u}}{4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} - 1}\right)}\right) \]

    2. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{u}}{4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} - 1}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + 2 \cdot \frac{1}{u}\right), \left(4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(2 \cdot \frac{1}{u}\right)\right), \left(4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{2 \cdot 1}{u}\right)\right), \left(4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{2}{u}\right)\right), \left(4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \left(4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} - 1\right)\right)\right)\right) \]

    8. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \left(4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \left(4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}} + -1\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(4 \cdot \frac{1}{{u}^{2}}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{4 \cdot 1}{{u}^{2}}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{4}{{u}^{2}}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(4, \left({u}^{2}\right)\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(4, \left(u \cdot u\right)\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 37.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(u, u\right)\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

15. Simplified 37.1%

    \[\leadsto \color{blue}{s \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{2}{u}}{\frac{4}{u \cdot u} + -1}\right)} \]

16. Final simplification 37.1%

    \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{1 + \frac{2}{u}}{-1 + \frac{4}{u \cdot u}}\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 10: 37.0% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{2}{u}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (- s) (log (+ -1.0 (/ 2.0 u)))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((-1.0f + (2.0f / u)));
}

Fortran

real(4) function code(u, s)
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: s
    code = -s * log(((-1.0e0) + (2.0e0 / u)))
end function

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / u))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(-1.0) + (single(2.0) / u)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666}{s} + \pi \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{-s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}, -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}} + -1\right) \]

11. Taylor expanded in s around inf

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \log \left(2 \cdot \frac{1}{u} - 1\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\log \left(2 \cdot \frac{1}{u} - 1\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\log \left(2 \cdot \frac{1}{u} - 1\right)}\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \log \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{u} - 1\right)}\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{1}{u} - 1\right)}\right) \]

    5. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{u} - 1\right)\right)\right) \]

    6. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{u} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{u} + -1\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

    9. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

    11. /-lowering-/.f32 37.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, u\right), -1\right)\right)\right) \]

13. Simplified 37.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{2}{u} + -1\right)} \]

14. Final simplification 37.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(-1 + \frac{2}{u}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 36.9% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{2}{u}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (- s) (log (/ 2.0 u))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf((2.0f / u));
}

Fortran

real(4) function code(u, s)
    real(4), intent (in) :: u
    real(4), intent (in) :: s
    code = -s * log((2.0e0 / u))
end function

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(2.0) / u)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log((single(2.0) / u));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - \frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{s} + \frac{1}{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + \color{blue}{\left(1 - \frac{\frac{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666}{s} + \pi \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)}{-s} - \pi}{s}\right)}}} + -1\right) \]

8. Taylor expanded in s around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}, -1\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}{u}\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. rec-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right), -1\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\color{blue}{\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}} + -1\right) \]

11. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}{u}\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), u\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    3. exp-lowering-exp.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    4. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 76.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right), u\right)\right)\right) \]

13. Simplified 76.1%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\frac{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}}{u}\right)} \]

14. Taylor expanded in s around inf

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \log \left(\frac{2}{u}\right)\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{2}{u}\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\log \left(\frac{2}{u}\right)}\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \log \color{blue}{\left(\frac{2}{u}\right)}\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \color{blue}{\left(\frac{2}{u}\right)}\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{2 \cdot 1}{u}\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(2 \cdot \frac{1}{u}\right)\right) \]

    7. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{u}\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{u}\right)\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{2}{u}\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f32 37.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, u\right)\right)\right) \]

16. Simplified 37.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{2}{u}\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 12: 14.0% accurate, 43.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{s \cdot s}{-s}}{\frac{s}{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (/ (/ (* s s) (- s)) (/ s PI)))

C

float code(float u, float s) {
	return ((s * s) / -s) / (s / ((float) M_PI));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(s * s) / Float32(-s)) / Float32(s / Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = ((s * s) / -s) / (s / single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 10.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 10.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(s\right)}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\frac{\color{blue}{s}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 10.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 10.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-s}{\frac{s}{\pi}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    2. flip-- N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{s}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 13.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 13.1%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}}}{\frac{s}{\pi}} \]

12. Final simplification 13.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{s \cdot s}{-s}}{\frac{s}{\pi}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 13.9% accurate, 43.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot s}{-s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (/ PI s) (/ (* s s) (- s))))

C

float code(float u, float s) {
	return (((float) M_PI) / s) * ((s * s) / -s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(Float32(s * s) / Float32(-s)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(pi) / s) * ((s * s) / -s);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 10.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 10.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 13.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 13.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}} \cdot \frac{\pi}{s} \]

10. Final simplification 13.0%

    \[\leadsto \frac{\pi}{s} \cdot \frac{s \cdot s}{-s} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 11.4% accurate, 48.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 4 \cdot \left(u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)\right) - \pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- (* 4.0 (* u (* PI 0.5))) PI))

C

float code(float u, float s) {
	return (4.0f * (u * (((float) M_PI) * 0.5f))) - ((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(4.0) * Float32(u * Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)))) - Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(4.0) * (u * (single(pi) * single(0.5)))) - single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \frac{-16}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} - \frac{-16}{3}\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 4 \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{4}\right) \]

9. Simplified 10.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.25 \cdot \left(\pi \cdot u\right) - \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot -0.25 + \pi \cdot 0.25\right)\right) \cdot 4} \]

10. Taylor expanded in u around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    3. unsub-neg N/A

       \[\leadsto 4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

    4. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\left(4 \cdot \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(u \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \frac{-1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    6. distribute-rgt-out-- N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(u \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \left(u \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(u, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 10.6%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(4, \mathsf{*.f32}\left(u, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

12. Simplified 10.6%

    \[\leadsto \color{blue}{4 \cdot \left(u \cdot \left(\pi \cdot 0.5\right)\right) - \pi} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 15: 11.2% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \pi \cdot \left(s \cdot \frac{-1}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* PI (* s (/ -1.0 s))))

C

float code(float u, float s) {
	return ((float) M_PI) * (s * (-1.0f / s));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(pi) * Float32(s * Float32(Float32(-1.0) / s)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(pi) * (s * (single(-1.0) / s));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 10.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 10.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{s}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{s}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{s} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{s} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)}\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{s}} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{s}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)}\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 10.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 10.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\pi \cdot \left(\frac{1}{s} \cdot \left(-s\right)\right)} \]

10. Final simplification 10.4%

    \[\leadsto \pi \cdot \left(s \cdot \frac{-1}{s}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 16: 11.2% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{s}{0 - \frac{s}{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (/ s (- 0.0 (/ s PI))))

C

float code(float u, float s) {
	return s / (0.0f - (s / ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s / Float32(Float32(0.0) - Float32(s / Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s / (single(0.0) - (s / single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 10.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 10.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(s\right)}{\color{blue}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\frac{\color{blue}{s}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 10.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 10.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-s}{\frac{s}{\pi}}} \]

10. Final simplification 10.4%

    \[\leadsto \frac{s}{0 - \frac{s}{\pi}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 17: 11.2% accurate, 216.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 10.4%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 10.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))