UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 21.5s

Alternatives: 17

Speedup: 1.3×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_1 := {\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) + 1\right)}^{0.5}\\ \mathsf{fma}\left(t\_1 \cdot \sin t\_0, yi, \left(t\_1 \cdot \cos t\_0\right) \cdot xi + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI)))
        (t_1
         (pow
          (+
           (* (- 1.0 ux) (* (* maxCos (* ux (* ux maxCos))) (+ ux -1.0)))
           1.0)
          0.5)))
   (fma
    (* t_1 (sin t_0))
    yi
    (+ (* (* t_1 (cos t_0)) xi) (* ux (* (* (- 1.0 ux) maxCos) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_1 = powf((((1.0f - ux) * ((maxCos * (ux * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f))) + 1.0f), 0.5f);
	return fmaf((t_1 * sinf(t_0)), yi, (((t_1 * cosf(t_0)) * xi) + (ux * (((1.0f - ux) * maxCos) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_1 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0)))) + Float32(1.0)) ^ Float32(0.5)
	return fma(Float32(t_1 * sin(t_0)), yi, Float32(Float32(Float32(t_1 * cos(t_0)) * xi) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, \left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot xi + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) + 1\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, \left({\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right) + 1\right)}^{0.5} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot xi + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) + 1} \cdot \left(\sin t\_0 \cdot yi + \cos t\_0 \cdot xi\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (*
     (sqrt
      (+ (* (- 1.0 ux) (* (* ux ux) (* maxCos (* maxCos (+ ux -1.0))))) 1.0))
     (+ (* (sin t_0) yi) (* (cos t_0) xi)))
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (sqrtf((((1.0f - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (maxCos * (ux + -1.0f))))) + 1.0f)) * ((sinf(t_0) * yi) + (cosf(t_0) * xi))) + (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) + Float32(1.0))) * Float32(Float32(sin(t_0) * yi) + Float32(cos(t_0) * xi))) + Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (sqrt((((single(1.0) - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))) + single(1.0))) * ((sin(t_0) * yi) + (cos(t_0) * xi))) + (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) + 1} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ xi \cdot \cos t\_0 + \left(yi \cdot \sin t\_0 + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+
    (* xi (cos t_0))
    (+ (* yi (sin t_0)) (* zi (* maxCos (* ux (- 1.0 ux))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return (xi * cosf(t_0)) + ((yi * sinf(t_0)) + (zi * (maxCos * (ux * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = (xi * cos(t_0)) + ((yi * sin(t_0)) + (zi * (maxCos * (ux * (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.5% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ xi \cdot \cos t\_0 + \left(yi \cdot \sin t\_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (+ (* xi (cos t_0)) (+ (* yi (sin t_0)) (* maxCos (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return (xi * cosf(t_0)) + ((yi * sinf(t_0)) + (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = (xi * cos(t_0)) + ((yi * sin(t_0)) + (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right), \left(yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

7. Simplified 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.3% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.023000000044703484:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) + 1} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (if (<= uy 0.023000000044703484)
     (+
      (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
      (*
       (sqrt
        (+ (* (- 1.0 ux) (* (* ux ux) (* maxCos (* maxCos (+ ux -1.0))))) 1.0))
       (+
        xi
        (*
         uy
         (+
          (*
           uy
           (+
            (* -2.0 (* xi (* PI PI)))
            (* -1.3333333333333333 (* (* uy yi) (* PI (* PI PI))))))
          (* 2.0 (* PI yi)))))))
     (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.023000000044703484f) {
		tmp = (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (sqrtf((((1.0f - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (maxCos * (ux + -1.0f))))) + 1.0f)) * (xi + (uy * ((uy * ((-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + (-1.3333333333333333f * ((uy * yi) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi))))));
	} else {
		tmp = (xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.023000000044703484))
		tmp = Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) + Float32(1.0))) * Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(uy * yi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.023000000044703484))
		tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (sqrt((((single(1.0) - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))) + single(1.0))) * (xi + (uy * ((uy * ((single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))) + (single(-1.3333333333333333) * ((uy * yi) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi))))));
	else
		tmp = (xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.023

   1. Initial program 99.1%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. Simplified 98.6%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   if 0.023 < uy

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]

      16. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 94.5%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.023000000044703484:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) + 1} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.4% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\\ \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) + t\_0 \cdot \left(\frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi}{t\_0} - \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* uy uy))))
   (+
    (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi))
    (*
     t_0
     (-
      (/ (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi) t_0)
      (+
       (/ (* -2.0 (* PI yi)) (* uy uy))
       (* (* PI (* PI PI)) (* yi 1.3333333333333333))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (uy * uy);
	return ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi)) + (t_0 * (((cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) / t_0) - (((-2.0f * (((float) M_PI) * yi)) / (uy * uy)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (yi * 1.3333333333333333f)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(uy * uy))
	return Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)) + Float32(t_0 * Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) / t_0) - Float32(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) / Float32(uy * uy)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(yi * Float32(1.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (uy * uy);
	tmp = ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi)) + (t_0 * (((cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi) / t_0) - (((single(-2.0) * (single(pi) * yi)) / (uy * uy)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (yi * single(1.3333333333333333))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around -inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({uy}^{3} \cdot \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 \cdot {uy}^{3}\right) \cdot \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot {uy}^{3}\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left({uy}^{3}\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left(uy \cdot {uy}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left({uy}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(uy \cdot uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}}\right), \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 94.1%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\left(1.3333333333333333 \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(-\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)}\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left({uy}^{3} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

13. Simplified 94.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}{uy \cdot uy} + \left(1.3333333333333333 \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)}\right)} \]

14. Final simplification 94.0%

    \[\leadsto \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) + \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)} - \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 90.3% accurate, 3.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\\ maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + t\_0 \cdot \left(\frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi}{t\_0} - \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* uy uy))))
   (+
    (* maxCos (* ux zi))
    (*
     t_0
     (-
      (/ (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi) t_0)
      (+
       (/ (* -2.0 (* PI yi)) (* uy uy))
       (* (* PI (* PI PI)) (* yi 1.3333333333333333))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (uy * uy);
	return (maxCos * (ux * zi)) + (t_0 * (((cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) / t_0) - (((-2.0f * (((float) M_PI) * yi)) / (uy * uy)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (yi * 1.3333333333333333f)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(uy * uy))
	return Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) + Float32(t_0 * Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) / t_0) - Float32(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) / Float32(uy * uy)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(yi * Float32(1.3333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (uy * uy);
	tmp = (maxCos * (ux * zi)) + (t_0 * (((cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi) / t_0) - (((single(-2.0) * (single(pi) * yi)) / (uy * uy)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (yi * single(1.3333333333333333))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around -inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({uy}^{3} \cdot \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 \cdot {uy}^{3}\right) \cdot \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot {uy}^{3}\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left({uy}^{3}\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left(uy \cdot {uy}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left({uy}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(uy \cdot uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}}\right), \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 94.1%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\left(1.3333333333333333 \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(-\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)}\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left({uy}^{3} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

13. Simplified 91.3%

    \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(-1 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}{uy \cdot uy} + \left(1.3333333333333333 \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)}\right)} \]

14. Final simplification 91.3%

    \[\leadsto maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)} - \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.0% accurate, 3.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ t_1 := uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.0001500000071246177:\\ \;\;\;\;xi + \left(t\_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) + 0.5 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(xi + t\_0\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(\frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi}{t\_1} - \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (+ (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0)) (* 2.0 (* PI yi)))))
        (t_1 (* uy (* uy uy))))
   (if (<= uy 0.0001500000071246177)
     (+
      xi
      (+
       t_0
       (*
        maxCos
        (+
         (* ux (* (- 1.0 ux) zi))
         (*
          0.5
          (*
           (* maxCos (* ux ux))
           (* (+ xi t_0) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))))))
     (*
      t_1
      (-
       (/ (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi) t_1)
       (+
        (/ (* -2.0 (* PI yi)) (* uy uy))
        (* (* PI (* PI PI)) (* yi 1.3333333333333333))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi)));
	float t_1 = uy * (uy * uy);
	float tmp;
	if (uy <= 0.0001500000071246177f) {
		tmp = xi + (t_0 + (maxCos * ((ux * ((1.0f - ux) * zi)) + (0.5f * ((maxCos * (ux * ux)) * ((xi + t_0) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))))))));
	} else {
		tmp = t_1 * (((cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) / t_1) - (((-2.0f * (((float) M_PI) * yi)) / (uy * uy)) + ((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (yi * 1.3333333333333333f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))
	t_1 = Float32(uy * Float32(uy * uy))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.0001500000071246177))
		tmp = Float32(xi + Float32(t_0 + Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)) + Float32(Float32(0.5) * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * ux)) * Float32(Float32(xi + t_0) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))));
	else
		tmp = Float32(t_1 * Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) / t_1) - Float32(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) / Float32(uy * uy)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(yi * Float32(1.3333333333333333))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi)));
	t_1 = uy * (uy * uy);
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.0001500000071246177))
		tmp = xi + (t_0 + (maxCos * ((ux * ((single(1.0) - ux) * zi)) + (single(0.5) * ((maxCos * (ux * ux)) * ((xi + t_0) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))))))));
	else
		tmp = t_1 * (((cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi) / t_1) - (((single(-2.0) * (single(pi) * yi)) / (uy * uy)) + ((single(pi) * (single(pi) * single(pi))) * (yi * single(1.3333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 1.50000007e-4

   1. Initial program 99.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. Simplified 99.4%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   11. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) + ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   13. Simplified 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(xi + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.50000007e-4 < uy

   1. Initial program 97.9%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in uy around -inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({uy}^{3} \cdot \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 \cdot {uy}^{3}\right) \cdot \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot {uy}^{3}\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left({uy}^{3}\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left(uy \cdot {uy}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left({uy}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(uy \cdot uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}}\right), \left(-1 \cdot \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. Simplified 86.3%

       \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\left(1.3333333333333333 \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(-\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)}\right)\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   11. Taylor expanded in ux around 0

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left({uy}^{3} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(-1 \cdot {uy}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot {uy}^{3}\right), \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)}\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left({uy}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)} - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right) \]

       4. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \color{blue}{\frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \left(uy \cdot {uy}^{2}\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left({uy}^{2}\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \color{blue}{\frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(uy \cdot uy\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)\right), \left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)\right) \]

       9. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(-2 \cdot \frac{yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{uy}^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{uy}^{3}}\right)}\right)\right) \]

   13. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}{uy \cdot uy} + \left(1.3333333333333333 \cdot yi\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) - \frac{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.0001500000071246177:\\ \;\;\;\;xi + \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) + 0.5 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(xi + uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\frac{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi}{uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)} - \left(\frac{-2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)}{uy \cdot uy} + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot 1.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 86.1% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ xi + \left(t\_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) + 0.5 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(xi + t\_0\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (+ (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0)) (* 2.0 (* PI yi))))))
   (+
    xi
    (+
     t_0
     (*
      maxCos
      (+
       (* ux (* (- 1.0 ux) zi))
       (*
        0.5
        (*
         (* maxCos (* ux ux))
         (* (+ xi t_0) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi)));
	return xi + (t_0 + (maxCos * ((ux * ((1.0f - ux) * zi)) + (0.5f * ((maxCos * (ux * ux)) * ((xi + t_0) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))
	return Float32(xi + Float32(t_0 + Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)) + Float32(Float32(0.5) * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * ux)) * Float32(Float32(xi + t_0) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi)));
	tmp = xi + (t_0 + (maxCos * ((ux * ((single(1.0) - ux) * zi)) + (single(0.5) * ((maxCos * (ux * ux)) * ((xi + t_0) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) + ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

13. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(xi + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 85.5%

    \[\leadsto xi + \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) + 0.5 \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \cdot \left(\left(xi + uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 86.0% accurate, 8.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ xi + \left(t\_0 + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(\left(xi + t\_0\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) - maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (+ (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0)) (* 2.0 (* PI yi))))))
   (+
    xi
    (+
     t_0
     (*
      ux
      (+
       (* maxCos zi)
       (* ux (- (* (+ xi t_0) (* -0.5 (* maxCos maxCos))) (* maxCos zi)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi)));
	return xi + (t_0 + (ux * ((maxCos * zi) + (ux * (((xi + t_0) * (-0.5f * (maxCos * maxCos))) - (maxCos * zi))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi))))
	return Float32(xi + Float32(t_0 + Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * zi) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(xi + t_0) * Float32(Float32(-0.5) * Float32(maxCos * maxCos))) - Float32(maxCos * zi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = uy * (((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi)));
	tmp = xi + (t_0 + (ux * ((maxCos * zi) + (ux * (((xi + t_0) * (single(-0.5) * (maxCos * maxCos))) - (maxCos * zi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(\left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot zi + \left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(xi + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 85.5%

    \[\leadsto xi + \left(uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + ux \cdot \left(maxCos \cdot zi + ux \cdot \left(\left(xi + uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) - maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 85.9% accurate, 15.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* uy (+ (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0)) (* 2.0 (* PI yi))))
  (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi)))) + (xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)))) + Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi)))) + (xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 85.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

14. Final simplification 85.4%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 12: 83.0% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* uy (+ (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0)) (* 2.0 (* PI yi))))
  (+ xi (* maxCos (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * (((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi)))) + (xi + (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)))) + Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * (((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi)))) + (xi + (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 82.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

14. Final simplification 82.9%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 13: 77.7% accurate, 24.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* uy (+ (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0)) (* 2.0 (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (uy * (((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f)) + (2.0f * (((float) M_PI) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (uy * (((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0))) + (single(2.0) * (single(pi) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)} \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 78.6%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 78.6%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

14. Final simplification 78.6%

    \[\leadsto xi + uy \cdot \left(\left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 14: 13.9% accurate, 51.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* maxCos (* zi (* ux (- 1.0 ux)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return maxCos * (zi * (ux * (1.0f - ux)));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = maxcos * (zi * (ux * (1.0e0 - ux)))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(maxCos * Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = maxCos * (zi * (ux * (single(1.0) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{maxCos} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto zi \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 12.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 12.8%

   \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto zi \cdot \left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \color{blue}{maxCos}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{maxCos} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(zi, \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), maxCos\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right), maxCos\right) \]

   6. --lowering--.f32 12.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), maxCos\right) \]

9. Applied egg-rr 12.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos} \]

10. Final simplification 12.8%

    \[\leadsto maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 15: 13.9% accurate, 51.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* zi (* maxCos (* ux (- 1.0 ux)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return zi * (maxCos * (ux * (1.0f - ux)));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = zi * (maxcos * (ux * (1.0e0 - ux)))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = zi * (maxCos * (ux * (single(1.0) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{maxCos} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto zi \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 12.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 12.8%

   \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 16: 12.2% accurate, 92.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 (* ux (* maxCos zi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ux * (maxCos * zi);
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = ux * (maxcos * zi)
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(ux * Float32(maxCos * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ux * (maxCos * zi);
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{maxCos} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto zi \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 12.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 12.8%

   \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 11.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right) \]

10. Simplified 11.7%

    \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto maxCos \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{ux}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(maxCos \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux} \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot zi\right), \color{blue}{ux}\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 11.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, zi\right), ux\right) \]

12. Applied egg-rr 11.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux} \]

13. Final simplification 11.7%

    \[\leadsto ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 17: 12.2% accurate, 92.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 (* maxCos (* ux zi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return maxCos * (ux * zi);
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = maxcos * (ux * zi)
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(maxCos * Float32(ux * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = maxCos * (ux * zi);
end

Derivation

1. Initial program 98.8%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in zi around inf

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{maxCos} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(zi \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(zi \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot maxCos \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto zi \cdot \color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot maxCos\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto zi \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)}\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 12.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 12.8%

   \[\leadsto \color{blue}{zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 11.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right) \]

10. Simplified 11.7%

    \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))