UniformSampleCone, x

Percentage Accurate: 57.4% → 98.9%

Time: 14.2s

Alternatives: 15

Speedup: 2.1×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 2.0 (* ux (* (+ maxCos -1.0) (+ maxCos -1.0)))) (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * ((2.0f - (ux * ((maxCos + -1.0f) * (maxCos + -1.0f)))) + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * ((single(2.0) - (ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (maxCos + single(-1.0))))) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.9997000098228455:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* (* uy 2.0) PI))))
   (if (<= t_0 0.9997000098228455)
     (* t_0 (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))
     (*
      (sqrt
       (*
        ux
        (+
         (- 2.0 (* ux (* (+ maxCos -1.0) (+ maxCos -1.0))))
         (* maxCos -2.0))))
      (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.9997000098228455f) {
		tmp = t_0 * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	} else {
		tmp = sqrtf((ux * ((2.0f - (ux * ((maxCos + -1.0f) * (maxCos + -1.0f)))) + (maxCos * -2.0f)))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.9997000098228455))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi)));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.9997000098228455))
		tmp = t_0 * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	else
		tmp = sqrt((ux * ((single(2.0) - (ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (maxCos + single(-1.0))))) + (maxCos * single(-2.0))))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) (PI.f32))) < 0.99970001

   1. Initial program 60.5%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 90.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 90.0%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]

   if 0.99970001 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) (PI.f32)))

   1. Initial program 58.6%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \leq 0.9997000098228455:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ 1.0 (- (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) maxCos))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (1.0f + (((maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(1.0) + (((maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - \left(ux + maxCos \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (* ux (- 2.0 (+ ux (* maxCos (+ 2.0 (* ux -2.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f - (ux + (maxCos * (2.0f + (ux * -2.0f)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - Float32(ux + Float32(maxCos * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(-2.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) - (ux + (maxCos * (single(2.0) + (ux * single(-2.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\left(2 + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right) - ux\right)}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot maxCos\right), \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), \left(2 + -2 \cdot ux\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot ux\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(ux \cdot -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 98.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\left(-maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right) - ux\right)\right)}} \]

9. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - \left(ux + maxCos \cdot \left(2 + ux \cdot -2\right)\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ ux \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-1 + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  ux
  (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) (sqrt (+ -1.0 (* 2.0 (/ (- 1.0 maxCos) ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return ux * (cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * sqrtf((-1.0f + (2.0f * ((1.0f - maxCos) / ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(ux * Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) / ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = ux * (cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) * ((single(1.0) - maxCos) / ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) - {\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{1}{ux} - \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(1 - maxCos\right)}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto ux \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{1 - maxCos}{ux}} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{\color{blue}{ux}} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 97.5%

    \[\leadsto ux \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - \color{blue}{1}}\right) \]

12. Final simplification 97.5%

    \[\leadsto ux \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-1 + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 6: 88.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 2.0 (* ux (* (+ maxCos -1.0) (+ maxCos -1.0)))) (* maxCos -2.0))))
  (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((2.0f - (ux * ((maxCos + -1.0f) * (maxCos + -1.0f)))) + (maxCos * -2.0f)))) * (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(2.0) - (ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (maxCos + single(-1.0))))) + (maxCos * single(-2.0))))) * (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 88.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 88.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]

9. Final simplification 88.2%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \cdot \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 86.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 7.999999797903001 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 7.999999797903001e-5)
   (sqrt
    (*
     ux
     (+ 2.0 (- (* maxCos -2.0) (* ux (* (+ maxCos -1.0) (+ maxCos -1.0)))))))
   (*
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
    (* ux (sqrt (+ -1.0 (/ 2.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 7.999999797903001e-5f) {
		tmp = sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * -2.0f) - (ux * ((maxCos + -1.0f) * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (ux * sqrtf((-1.0f + (2.0f / ux))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(7.999999797903001e-5))
		tmp = sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(ux * sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(7.999999797903001e-5))
		tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * single(-2.0)) - (ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * (ux * sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) / ux))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 7.9999998e-5

   1. Initial program 60.1%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{fma}\left(-2, maxCos, -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{fma}\left(-2, maxCos, \mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}} \]

   if 7.9999998e-5 < uy

   1. Initial program 57.8%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) - {\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{1}{ux} - \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(1 - maxCos\right)}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f32 91.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 91.6%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \sqrt{\frac{2}{ux} + -1}\right)} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 71.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 71.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \left(ux \cdot \sqrt{\frac{2}{ux} + -1}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 7.999999797903001 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 86.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 3.999999989900971 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;ux \cdot \left(\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= maxCos 3.999999989900971e-6)
   (*
    ux
    (* (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))) (sqrt (+ -1.0 (/ 2.0 ux)))))
   (sqrt
    (*
     ux
     (+ 2.0 (- (* maxCos -2.0) (* ux (* (+ maxCos -1.0) (+ maxCos -1.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (maxCos <= 3.999999989900971e-6f) {
		tmp = ux * ((1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((-1.0f + (2.0f / ux))));
	} else {
		tmp = sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * -2.0f) - (ux * ((maxCos + -1.0f) * (maxCos + -1.0f)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(3.999999989900971e-6))
		tmp = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux)))));
	else
		tmp = sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(3.999999989900971e-6))
		tmp = ux * ((single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) / ux))));
	else
		tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * single(-2.0)) - (ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (maxCos + single(-1.0))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 3.99999999e-6

   1. Initial program 59.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) - {\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{1}{ux} - \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(1 - maxCos\right)}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto ux \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{2 \cdot \frac{1}{ux}} - 1}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{ux}} - 1}\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{\color{blue}{ux}} - 1}\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{2}{ux} + -1}\right)} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 88.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 88.3%

       \[\leadsto ux \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\frac{2}{ux} + -1}\right) \]

   if 3.99999999e-6 < maxCos

   1. Initial program 54.1%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

   6. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{fma}\left(-2, maxCos, -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{fma}\left(-2, maxCos, \mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f32 76.7%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 3.999999989900971 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;ux \cdot \left(\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 79.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt
  (*
   ux
   (+ 2.0 (- (* maxCos -2.0) (* ux (* (+ maxCos -1.0) (+ maxCos -1.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * -2.0f) - (ux * ((maxCos + -1.0f) * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * (2.0e0 + ((maxcos * (-2.0e0)) - (ux * ((maxcos + (-1.0e0)) * (maxcos + (-1.0e0))))))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(-2.0)) - Float32(ux * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * single(-2.0)) - (ux * ((maxCos + single(-1.0)) * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + -2 \cdot maxCos\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{fma}\left(-2, maxCos, -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(\mathsf{fma}\left(-2, maxCos, \mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-2 \cdot maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 79.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(-2 \cdot maxCos - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}} \]

9. Final simplification 79.1%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot -2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 79.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt
  (*
   ux
   (+ 1.0 (- (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) maxCos)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (1.0f + (((maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * (1.0e0 + (((maxcos + (-1.0e0)) * ((-1.0e0) + (ux * (1.0e0 - maxcos)))) - maxcos))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(1.0) + (((maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 79.1%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 79.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

11. Final simplification 79.1%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 79.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(-1 - maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* ux (sqrt (+ (* 2.0 (/ (- 1.0 maxCos) ux)) (- -1.0 (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return ux * sqrtf(((2.0f * ((1.0f - maxCos) / ux)) + (-1.0f - (maxCos * -2.0f))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = ux * sqrt(((2.0e0 * ((1.0e0 - maxcos) / ux)) + ((-1.0e0) - (maxcos * (-2.0e0)))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(ux * sqrt(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) / ux)) + Float32(Float32(-1.0) - Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = ux * sqrt(((single(2.0) * ((single(1.0) - maxCos) / ux)) + (single(-1.0) - (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) - {\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{1}{ux} - \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(1 - maxCos\right)}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}}\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), ux\right)\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 79.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 79.0%

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot maxCos\right)}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos + 1\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot maxCos\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 78.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 78.9%

    \[\leadsto ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - \color{blue}{\left(-2 \cdot maxCos + 1\right)}} \]

12. Final simplification 78.9%

    \[\leadsto ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(-1 - maxCos \cdot -2\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 12: 78.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ ux \cdot \sqrt{-1 + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* ux (sqrt (+ -1.0 (* 2.0 (/ (- 1.0 maxCos) ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return ux * sqrtf((-1.0f + (2.0f * ((1.0f - maxCos) / ux))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = ux * sqrt(((-1.0e0) + (2.0e0 * ((1.0e0 - maxcos) / ux))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(ux * sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) / ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = ux * sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) * ((single(1.0) - maxCos) / ux))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) - {\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{1}{ux} - \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(1 - maxCos\right)}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\sqrt{\left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}}\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), ux\right)\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f32 79.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 79.0%

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 78.4%

    \[\leadsto ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} - \color{blue}{1}} \]

12. Final simplification 78.4%

    \[\leadsto ux \cdot \sqrt{-1 + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 75.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ ux \cdot \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 (* ux (sqrt (+ -1.0 (/ 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return ux * sqrtf((-1.0f + (2.0f / ux)));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = ux * sqrt(((-1.0e0) + (2.0e0 / ux)))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(ux * sqrt(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(2.0) / ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = ux * sqrt((single(-1.0) + (single(2.0) / ux)));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around -inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) - {\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + -1 \cdot maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \frac{maxCos}{ux} + 2 \cdot \frac{1}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 2 \cdot \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{1}{ux} - \frac{maxCos}{ux}\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left({\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({ux}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(-1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2} + 2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(2 \cdot \frac{1 - maxCos}{ux} + -1 \cdot {\left(1 - maxCos\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(1 - maxCos\right)}{ux} - \left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 92.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \sqrt{\frac{2}{ux} + -1}\right)} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \frac{1}{ux} - 1}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} - 1\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux} + -1\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2 \cdot 1}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{ux}\right), -1\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 74.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(2, ux\right), -1\right)\right)\right) \]

11. Simplified 74.8%

    \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \sqrt{\frac{2}{ux} + -1}} \]

12. Final simplification 74.8%

    \[\leadsto ux \cdot \sqrt{-1 + \frac{2}{ux}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 14: 64.5% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * (2.0e0 + (maxcos * (-2.0e0)))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 50.5%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 63.9%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(-2, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 63.9%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}} \]

9. Final simplification 63.9%

   \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 15: 6.6% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 59.1%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 50.5%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 6.6%

   \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto {\left(1 - 1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto {0}^{\frac{1}{2}} \]

   3. metadata-eval 6.6%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 6.6%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))