Lanczos kernel

Percentage Accurate: 97.9% → 97.9%

Time: 12.8s

Alternatives: 10

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(10^{-5} \leq x \land x \leq 1\right) \land \left(1 \leq tau \land tau \leq 5\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Alternative 1: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 85.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (*
    (/ (sin t_1) t_1)
    (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 87.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 87.8%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 79.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (/ (sin (* x PI)) (* x PI))
  (+ 1.0 (* (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))) (* tau tau)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI))) * (1.0f + ((x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) * (tau * tau)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))) * Float32(tau * tau))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi))) * (single(1.0) + ((x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))))) * (tau * tau)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({tau}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({tau}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 82.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

6. Final simplification 82.7%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 79.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(x \cdot \pi\right) \cdot \frac{\frac{1}{x} + x \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* x PI))
  (/
   (+ (/ 1.0 x) (* x (* PI (* PI (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))
   PI)))

C

float code(float x, float tau) {
	return sinf((x * ((float) M_PI))) * (((1.0f / x) + (x * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))))) / ((float) M_PI));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / x) + Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))) / Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = sin((x * single(pi))) * (((single(1.0) / x) + (x * (single(pi) * (single(pi) * (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))))) / single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   2. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{x \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{x}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}{\frac{\pi}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + \frac{1}{x}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{x} + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{x}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \left(x \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{x} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}}{\frac{\pi}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x} + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{x} + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 82.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x} + x \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)}{\pi} \cdot \sin \left(x \cdot \pi\right)} \]

10. Final simplification 82.4%

    \[\leadsto \sin \left(x \cdot \pi\right) \cdot \frac{\frac{1}{x} + x \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)}{\pi} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 78.9% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* PI PI)
   (* (* x x) (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((x * x) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * ((x * x) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 82.4%

   \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \]

10. Final simplification 82.4%

    \[\leadsto 1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 78.9% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (*
    (* PI PI)
    (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 69.7% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* (* tau tau) (* (* PI PI) (* x x))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (-0.16666666666666666f * ((tau * tau) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (x * x))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(x * x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (single(-0.16666666666666666) * ((tau * tau) * ((single(pi) * single(pi)) * (x * x))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 72.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 72.0%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 72.0%

    \[\leadsto 1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 64.5% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* x (* (* PI PI) (* x -0.16666666666666666)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (x * -0.16666666666666666f)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(x * Float32(-0.16666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (x * ((single(pi) * single(pi)) * (x * single(-0.16666666666666666))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 66.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 66.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(x \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), x\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 66.3%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right), x\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 66.3%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]

13. Final simplification 66.3%

    \[\leadsto 1 + x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 64.5% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -0.16666666666666666 (* x x)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f * (x * x)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) * (x * x)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 66.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 66.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \]

11. Final simplification 66.3%

    \[\leadsto 1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 63.5% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 1.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 65.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (x tau)
  :name "Lanczos kernel"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 1e-5 x) (<= x 1.0)) (and (<= 1.0 tau) (<= tau 5.0)))
  (* (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* (* x PI) tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x PI))))