UniformSampleCone, y

Percentage Accurate: 57.5% → 98.3%

Time: 17.2s

Alternatives: 21

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (+
    (* ux (+ (- 1.0 ux) 1.0))
    (* maxCos (- (* ux (+ (* 2.0 ux) -2.0)) (* maxCos (* ux ux))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((ux * ((1.0f - ux) + 1.0f)) + (maxCos * ((ux * ((2.0f * ux) + -2.0f)) - (maxCos * (ux * ux))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(1.0))) + Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) - Float32(maxCos * Float32(ux * ux)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt(((ux * ((single(1.0) - ux) + single(1.0))) + (maxCos * ((ux * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) - (maxCos * (ux * ux))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

11. Final simplification 98.3%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) + 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- (* (+ -1.0 maxCos) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) maxCos) 1.0)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((((-1.0f + maxCos) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos) + 1.0f)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-1.0) + maxCos) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos) + Float32(1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((((single(-1.0) + maxCos) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos) + single(1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Final simplification 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) + 1\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (* ux (+ (+ (- 1.0 ux) 1.0) (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (((1.0f - ux) + 1.0f) + (maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(1.0)) + Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (((single(1.0) - ux) + single(1.0)) + (maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

11. Final simplification 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + 1\right) + \left(1 - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (* ux (+ (+ (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)) 1.0) (- 1.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (((maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f)) + 1.0f) + (1.0f - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) + Float32(1.0)) + Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (((maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) + single(1.0)) + (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + \left(1 - \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-+r- N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + 1\right) - \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + 1\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), 1\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), 1\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), 1\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), 1\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), 1\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + 1\right) - \left(ux + -1\right)\right)}} \]

13. Final simplification 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + 1\right) + \left(1 - ux\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + \left(2 - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (* ux (+ (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)) (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f)) + (2.0f - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) + Float32(Float32(2.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) + (single(2.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(ux + -1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - \left(-1 + ux\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    6. associate--r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - -1\right) - ux\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 98.0%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 98.0%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(2 - ux\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) \cdot ux}} \]

13. Final simplification 98.0%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + \left(2 - ux\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right)\\ \mathbf{if}\;maxCos \leq 3.999999989900971 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{t\_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (+ (- 1.0 ux) 1.0))))
   (if (<= maxCos 3.999999989900971e-6)
     (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt t_0))
     (*
      (sqrt
       (+ t_0 (* maxCos (- (* ux (+ (* 2.0 ux) -2.0)) (* maxCos (* ux ux))))))
      (*
       uy
       (+
        (* 2.0 PI)
        (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) + 1.0f);
	float tmp;
	if (maxCos <= 3.999999989900971e-6f) {
		tmp = sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf(t_0);
	} else {
		tmp = sqrtf((t_0 + (maxCos * ((ux * ((2.0f * ux) + -2.0f)) - (maxCos * (ux * ux)))))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(1.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(3.999999989900971e-6))
		tmp = Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(t_0));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(t_0 + Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) - Float32(maxCos * Float32(ux * ux)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) + single(1.0));
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(3.999999989900971e-6))
		tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt(t_0);
	else
		tmp = sqrt((t_0 + (maxCos * ((ux * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) - (maxCos * (ux * ux)))))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 3.99999999e-6

   1. Initial program 59.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 59.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.0%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right)}} \]

   if 3.99999999e-6 < maxCos

   1. Initial program 54.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.7%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 3.999999989900971 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 3.999999989900971 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= maxCos 3.999999989900971e-6)
   (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))
   (*
    (sqrt
     (+
      (* ux (+ (- 1.0 ux) 1.0))
      (* maxCos (- (* ux (+ (* 2.0 ux) -2.0)) (* maxCos (* ux ux))))))
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (maxCos <= 3.999999989900971e-6f) {
		tmp = sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	} else {
		tmp = sqrtf(((ux * ((1.0f - ux) + 1.0f)) + (maxCos * ((ux * ((2.0f * ux) + -2.0f)) - (maxCos * (ux * ux)))))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (maxCos <= Float32(3.999999989900971e-6))
		tmp = Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(1.0))) + Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) - Float32(maxCos * Float32(ux * ux)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (maxCos <= single(3.999999989900971e-6))
		tmp = sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	else
		tmp = sqrt(((ux * ((single(1.0) - ux) + single(1.0))) + (maxCos * ((ux * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) - (maxCos * (ux * ux)))))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if maxCos < 3.99999999e-6

   1. Initial program 59.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 59.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.3%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

       3. --lowering--.f32 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 98.0%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]

   if 3.99999999e-6 < maxCos

   1. Initial program 54.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.7%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;maxCos \leq 3.999999989900971 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.11999999731779099:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.11999999731779099)
   (*
    (sqrt
     (+
      (* ux (+ (- 1.0 ux) 1.0))
      (* maxCos (- (* ux (+ (* 2.0 ux) -2.0)) (* maxCos (* ux ux))))))
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))
   (* (sin (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.11999999731779099f) {
		tmp = sqrtf(((ux * ((1.0f - ux) + 1.0f)) + (maxCos * ((ux * ((2.0f * ux) + -2.0f)) - (maxCos * (ux * ux)))))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.11999999731779099))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(1.0))) + Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) - Float32(maxCos * Float32(ux * ux)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.11999999731779099))
		tmp = sqrt(((ux * ((single(1.0) - ux) + single(1.0))) + (maxCos * ((ux * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) - (maxCos * (ux * ux)))))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
	else
		tmp = sin((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.119999997

   1. Initial program 59.4%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 59.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 96.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \]

   if 0.119999997 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 56.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot maxCos + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 40.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, maxCos\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + -2\right)\right)}} \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 67.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 67.3%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot ux}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.11999999731779099:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 89.0% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (+
    (* ux (+ (- 1.0 ux) 1.0))
    (* maxCos (- (* ux (+ (* 2.0 ux) -2.0)) (* maxCos (* ux ux))))))
  (*
   uy
   (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux * ((1.0f - ux) + 1.0f)) + (maxCos * ((ux * ((2.0f * ux) + -2.0f)) - (maxCos * (ux * ux)))))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(1.0))) + Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) - Float32(maxCos * Float32(ux * ux)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux * ((single(1.0) - ux) + single(1.0))) + (maxCos * ((ux * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) - (maxCos * (ux * ux)))))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.3%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{maxCos}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 89.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 89.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 89.3%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 89.0% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* uy (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (+ 2.0 (* ux (* (+ -1.0 maxCos) (- 1.0 maxCos)))) (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((ux * ((2.0f + (ux * ((-1.0f + maxCos) * (1.0f - maxCos)))) + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(-1.0) + maxCos) * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((ux * ((single(2.0) + (ux * ((single(-1.0) + maxCos) * (single(1.0) - maxCos)))) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left({\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos - 1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos + -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 89.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]

9. Final simplification 89.3%

   \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 88.5% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* ux (+ (+ (- 1.0 ux) 1.0) (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)))))
  (*
   uy
   (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (((1.0f - ux) + 1.0f) + (maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f))))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(1.0)) + Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0)))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - ux) + single(1.0)) + (maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0)))))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 89.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)} \]

14. Final simplification 89.1%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 12: 88.5% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left({\left(ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  uy
  (*
   (pow (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)) ux))) 0.5)
   (+ (* 2.0 PI) (* (* PI PI) (* -1.3333333333333333 (* PI (* uy uy))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * (powf((ux * (2.0f + ((maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f)) - ux))), 0.5f) * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-1.3333333333333333f * (((float) M_PI) * (uy * uy))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32((Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) - ux))) ^ Float32(0.5)) * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * uy)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * (((ux * (single(2.0) + ((maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) - ux))) ^ single(0.5)) * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-1.3333333333333333) * (single(pi) * (uy * uy))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right)\right)} \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{uy} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right)\right), \color{blue}{uy}\right) \]

15. Applied egg-rr 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(-2 + 2 \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \cdot uy} \]

16. Final simplification 89.1%

    \[\leadsto uy \cdot \left({\left(ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right)\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 13: 81.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{maxCos \cdot \left(\frac{ux}{maxCos} - ux\right) + \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(-1 + \left(ux - ux \cdot maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (* 2.0 (* uy PI))
  (sqrt
   (+
    (* maxCos (- (/ ux maxCos) ux))
    (* (- (* ux maxCos) ux) (+ -1.0 (- ux (* ux maxCos))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf(((maxCos * ((ux / maxCos) - ux)) + (((ux * maxCos) - ux) * (-1.0f + (ux - (ux * maxCos))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(ux / maxCos) - ux)) + Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) - ux) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux - Float32(ux * maxCos)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt(((maxCos * ((ux / maxCos) - ux)) + (((ux * maxCos) - ux) * (single(-1.0) + (ux - (ux * maxCos))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(1 \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right) - \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right), \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right), \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 58.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 58.2%

   \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right) - \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(\frac{ux}{maxCos} - ux\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\frac{ux}{maxCos} - ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{ux}{maxCos}\right), ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 80.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.9%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{maxCos \cdot \left(\frac{ux}{maxCos} - ux\right)} - \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)} \]

11. Final simplification 80.9%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{maxCos \cdot \left(\frac{ux}{maxCos} - ux\right) + \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(-1 + \left(ux - ux \cdot maxCos\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 81.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  2.0
  (*
   (sqrt
    (*
     ux
     (+ (- (* (+ -1.0 maxCos) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) maxCos) 1.0)))
   (* uy PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * (sqrtf((ux * ((((-1.0f + maxCos) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - maxCos) + 1.0f))) * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-1.0) + maxCos) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - maxCos) + Float32(1.0)))) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * (sqrt((ux * ((((single(-1.0) + maxCos) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - maxCos) + single(1.0)))) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right) - maxCos\right)}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

10. Simplified 80.9%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

11. Final simplification 80.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - maxCos\right) + 1\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 81.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* ux (+ (+ (- 1.0 ux) 1.0) (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)))))
  (* 2.0 (* uy PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (((1.0f - ux) + 1.0f) + (maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f))))) * (2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(1.0)) + Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0)))))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (((single(1.0) - ux) + single(1.0)) + (maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0)))))) * (single(2.0) * (uy * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. PI-lowering-PI.f32 80.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 80.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)} \]

14. Final simplification 80.7%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 16: 81.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  uy
  (* 2.0 (* PI (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)) ux))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * (2.0f * (((float) M_PI) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f)) - ux))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) - ux)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * (single(2.0) * (single(pi) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) - ux))))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 80.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 80.7%

    \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)} \cdot \pi\right)\right)} \]

17. Final simplification 80.7%

    \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)}\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 17: 81.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  2.0
  (* (* uy PI) (sqrt (* ux (- (+ 2.0 (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0))) ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * ((uy * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux * ((2.0f + (maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f))) - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0)))) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * ((uy * single(pi)) * sqrt((ux * ((single(2.0) + (maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0)))) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)}}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)}\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)}}\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)}}\right)\right)\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 80.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 80.7%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 18: 81.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  2.0
  (* (* uy PI) (sqrt (* ux (+ 2.0 (- (* maxCos (+ (* 2.0 ux) -2.0)) ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * ((uy * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux * (2.0f + ((maxCos * ((2.0f * ux) + -2.0f)) - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(2.0) * ux) + Float32(-2.0))) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * ((uy * single(pi)) * sqrt((ux * (single(2.0) + ((maxCos * ((single(2.0) * ux) + single(-2.0))) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 59.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.3%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 + \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux - 1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\left(ux + -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.1%

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(-\left(ux + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right)}} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 89.1%

    \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right)\right) - ux\right)}\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)}\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right) - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) - ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 80.7%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right), -2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 80.7%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

17. Final simplification 80.7%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux + -2\right) - ux\right)\right)}\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 19: 77.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* 2.0 (* uy PI)) (sqrt (+ ux (* ux (- 1.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux + (ux * (1.0f - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((ux + (ux * (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(1 \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) + \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right) - \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos - ux\right), \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right), \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 58.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 58.2%

   \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)\right) - \left(ux \cdot maxCos - ux\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{ux - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux - \color{blue}{-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux - -1 \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux - -1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 76.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 76.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux - \left(-ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

11. Final simplification 76.6%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 20: 65.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (* 2.0 (* uy PI)) (sqrt (* ux (+ 2.0 (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (2.0f * (uy * ((float) M_PI))) * sqrtf((ux * (2.0f + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(2.0) * (uy * single(pi))) * sqrt((ux * (single(2.0) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - 2 \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 65.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 65.3%

   \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 + maxCos \cdot -2\right)}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 21: 7.1% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 59.0%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \color{blue}{{\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot ux - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 52.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot maxCos - ux\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 7.1%

   \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot {\left(1 - 1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot {0}^{\frac{1}{2}} \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 0 \]

   4. mul0-rgt 7.1%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 7.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024158 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))