arccos

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 9.8s

Alternatives: 10

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(-1 + t\_0 \cdot \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 + -0.125 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5 - -1\right)}\right) \cdot \frac{1}{-1 + x \cdot t\_0}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -1.0 (* x (+ 0.5 (* x -0.5))))))
   (*
    2.0
    (atan
     (*
      (+
       -1.0
       (*
        t_0
        (/
         (* (* x x) (+ -1.0 (* -0.125 (* x (* x x)))))
         (+ 1.0 (* (* x 0.5) (- (* x 0.5) -1.0))))))
      (/ 1.0 (+ -1.0 (* x t_0))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = -1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.5)));
	return 2.0 * atan(((-1.0 + (t_0 * (((x * x) * (-1.0 + (-0.125 * (x * (x * x))))) / (1.0 + ((x * 0.5) * ((x * 0.5) - -1.0)))))) * (1.0 / (-1.0 + (x * t_0)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = (-1.0d0) + (x * (0.5d0 + (x * (-0.5d0))))
    code = 2.0d0 * atan((((-1.0d0) + (t_0 * (((x * x) * ((-1.0d0) + ((-0.125d0) * (x * (x * x))))) / (1.0d0 + ((x * 0.5d0) * ((x * 0.5d0) - (-1.0d0))))))) * (1.0d0 / ((-1.0d0) + (x * t_0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = -1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.5)));
	return 2.0 * Math.atan(((-1.0 + (t_0 * (((x * x) * (-1.0 + (-0.125 * (x * (x * x))))) / (1.0 + ((x * 0.5) * ((x * 0.5) - -1.0)))))) * (1.0 / (-1.0 + (x * t_0)))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = -1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.5)))
	return 2.0 * math.atan(((-1.0 + (t_0 * (((x * x) * (-1.0 + (-0.125 * (x * (x * x))))) / (1.0 + ((x * 0.5) * ((x * 0.5) - -1.0)))))) * (1.0 / (-1.0 + (x * t_0)))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.5))))
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(-1.0 + Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 + Float64(-0.125 * Float64(x * Float64(x * x))))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * 0.5) * Float64(Float64(x * 0.5) - -1.0)))))) * Float64(1.0 / Float64(-1.0 + Float64(x * t_0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = -1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.5)));
	tmp = 2.0 * atan(((-1.0 + (t_0 * (((x * x) * (-1.0 + (-0.125 * (x * (x * x))))) / (1.0 + ((x * 0.5) * ((x * 0.5) - -1.0)))))) * (1.0 / (-1.0 + (x * t_0)))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(-1.0 + N[(t$95$0 * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(-0.125 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] - -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(-1.0 + N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(-1 \cdot x + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. --lowering--.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot 1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot 1\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1}\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\left(\left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right)\right)\right) + -1\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) + -1}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)}\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + -1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(\left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(-1 + 0.5 \cdot x\right)\right)\right)} + -1\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) + -1}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. flip3-+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{{-1}^{3} + {\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}^{3}}{-1 \cdot -1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) - -1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left({-1}^{3} + {\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}^{3}\right)}{-1 \cdot -1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) - -1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left({-1}^{3} + {\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}^{3}\right)\right), \left(-1 \cdot -1 + \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right) - -1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(\left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 + -0.125 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5 - -1\right)}} + -1\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) + -1}\right) \]

13. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(-1 + \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 + -0.125 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot 0.5 - -1\right)}\right) \cdot \frac{1}{-1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right)}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{-1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot 0.75\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (atan
   (*
    (/ 1.0 (+ -1.0 (* x (+ -1.0 (* x (+ 0.5 (* x -0.5)))))))
    (+ -1.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* x (+ -1.0 (* x 0.75))))))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 / (-1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.5))))))) * (-1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (-1.0 + (x * 0.75))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 / ((-1.0d0) + (x * ((-1.0d0) + (x * (0.5d0 + (x * (-0.5d0)))))))) * ((-1.0d0) + ((x * x) * (1.0d0 + (x * ((-1.0d0) + (x * 0.75d0))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 / (-1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.5))))))) * (-1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (-1.0 + (x * 0.75))))))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 / (-1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.5))))))) * (-1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (-1.0 + (x * 0.75))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 / Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.5))))))) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(x * 0.75)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 / (-1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.5))))))) * (-1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (-1.0 + (x * 0.75))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 / N[(-1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(x * 0.75), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(-1 \cdot x + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. --lowering--.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot 1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1}\right)\right)\right) \]

   3. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot 1\right), \left(\frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) - 1}\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\left(\left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right)\right)\right) + -1\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) + -1}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)}\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + -1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(\left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(-1 + 0.5 \cdot x\right)\right)\right)} + -1\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) + -1}\right) \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot x - 1\right)\right)\right)}, -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + x \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot x - 1\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + x \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot x - 1\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + x \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot x - 1\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{3}{4} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{3}{4} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{3}{4} \cdot x + -1\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \frac{3}{4} \cdot x\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{3}{4} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \frac{3}{4}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 99.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{3}{4}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot 0.75\right)\right)} + -1\right) \cdot \frac{1}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right) + -1}\right) \]

14. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{-1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot 0.75\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.4% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x + -1\right) - -0.5\right) - 0.5\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (atan
   (+ (/ 1.0 (+ 1.0 x)) (* x (* x (- (* x (- (* x (+ x -1.0)) -0.5)) 0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 / (1.0 + x)) + (x * (x * ((x * ((x * (x + -1.0)) - -0.5)) - 0.5)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 / (1.0d0 + x)) + (x * (x * ((x * ((x * (x + (-1.0d0))) - (-0.5d0))) - 0.5d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 / (1.0 + x)) + (x * (x * ((x * ((x * (x + -1.0)) - -0.5)) - 0.5)))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 / (1.0 + x)) + (x * (x * ((x * ((x * (x + -1.0)) - -0.5)) - 0.5)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 + x)) + Float64(x * Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x + -1.0)) - -0.5)) - 0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 / (1.0 + x)) + (x * (x * ((x * ((x * (x + -1.0)) - -0.5)) - 0.5)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * N[(N[(x * N[(N[(x * N[(x + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(-1 \cdot x + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. --lowering--.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot x + \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot x\right) + \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) + \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   5. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 + x} + \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1 - x \cdot x}{1 + x} + \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   7. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{1 + x} - \frac{x \cdot x}{1 + x}\right) + \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

   8. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + x} - \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + x}\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + 1 \cdot x}\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot x}\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   12. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{1 - -1 \cdot x}\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 - -1 \cdot x\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   14. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot x\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + 1 \cdot x\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 + x\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   18. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{x \cdot x}{1 + x}\right), \left(\left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{1}{1 + x} - \left(\frac{x \cdot x}{1 + x} - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(1 + -1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + -1 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} - \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)\right)}\right) \]

11. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x + -1\right) - -0.5\right) - 0.5\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x + -1\right)\right) - -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (- 1.0 (* x (- (* x (* 0.5 (+ x -1.0))) -1.0))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((1.0 - (x * ((x * (0.5 * (x + -1.0))) - -1.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((1.0d0 - (x * ((x * (0.5d0 * (x + (-1.0d0)))) - (-1.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((1.0 - (x * ((x * (0.5 * (x + -1.0))) - -1.0))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((1.0 - (x * ((x * (0.5 * (x + -1.0))) - -1.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(1.0 - Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(0.5 * Float64(x + -1.0))) - -1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((1.0 - (x * ((x * (0.5 * (x + -1.0))) - -1.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(1.0 - N[(x * N[(N[(x * N[(0.5 * N[(x + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(-1 \cdot x + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. --lowering--.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x + -1\right)\right) - -1\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (* (- 1.0 x) (+ 1.0 (* x (* x 0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 - x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.5d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 - x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(-1 \cdot x + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(1 + -1 \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -1 \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. --lowering--.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right) - 1\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right) - 1\right)\right)}\right) \]

   2. atan-lowering-atan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right) - 1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right) - x \cdot 1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   5. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right) - x\right) + 1\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   7. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(1 - x\right)\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(1 - x\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\left(1 - x\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)\right) + \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 - x\right)\right) + \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - x\right) + \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 - x\right) + \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   17. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2} + 1\right) \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 - x\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(1 - x\right)\right)} \]

9. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(1 - x\right) + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (+ (- 1.0 x) (* x (* x 0.5))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 - x) + (x * (x * 0.5))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 - x) + (x * (x * 0.5d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 - x) + (x * (x * 0.5))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 - x) + (x * (x * 0.5))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 - x) + Float64(x * Float64(x * 0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 - x) + (x * (x * 0.5))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot -1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + x \cdot -1\right) + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot x\right) + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(1 - x\right) + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 - x\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\left(1 - x\right) + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (+ 1.0 (* x (+ -1.0 (* x 0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((1.0 + (x * (-1.0 + (x * 0.5)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((1.0d0 + (x * ((-1.0d0) + (x * 0.5d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((1.0 + (x * (-1.0 + (x * 0.5)))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((1.0 + (x * (-1.0 + (x * 0.5)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(x * 0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((1.0 + (x * (-1.0 + (x * 0.5)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.1%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(1.0 - x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 - x\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.7%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 - x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 97.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan 1.0)))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(1.0);
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[1.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{1}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 97.9%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024156 
(FPCore (x)
  :name "arccos"
  :precision binary64
  (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))