powComplex, real part

Percentage Accurate: 41.1% → 77.2%

Time: 16.8s

Alternatives: 10

Speedup: 7.4×

• 35.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (cos (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * cos(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.cos(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.cos(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 41.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (cos (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * cos(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.cos(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.cos(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 77.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := \frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + t\_0}\\ t_2 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -500:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7.7 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{e^{t\_0}}{t\_2}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2 \cdot 10^{+231}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.im (atan2 x.im x.re)))
        (t_1
         (/ (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0)) (+ 1.0 t_0)))
        (t_2 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
   (if (<= y.re -500.0)
     t_1
     (if (<= y.re 7.7e+28)
       (/ 1.0 (/ (exp t_0) t_2))
       (if (<= y.re 2e+231) t_1 t_2)))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	double t_2 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -500.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 7.7e+28) {
		tmp = 1.0 / (exp(t_0) / t_2);
	} else if (y_46_re <= 2e+231) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_im * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	double t_2 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -500.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 7.7e+28) {
		tmp = 1.0 / (Math.exp(t_0) / t_2);
	} else if (y_46_re <= 2e+231) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_im * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0)
	t_2 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -500.0:
		tmp = t_1
	elif y_46_re <= 7.7e+28:
		tmp = 1.0 / (math.exp(t_0) / t_2)
	elif y_46_re <= 2e+231:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_im * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = Float64((Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0)) / Float64(1.0 + t_0))
	t_2 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -500.0)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 7.7e+28)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(exp(t_0) / t_2));
	elseif (y_46_re <= 2e+231)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	t_2 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -500.0)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 7.7e+28)
		tmp = 1.0 / (exp(t_0) / t_2);
	elseif (y_46_re <= 2e+231)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$im * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -500.0], t$95$1, If[LessEqual[y$46$re, 7.7e+28], N[(1.0 / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2e+231], t$95$1, t$95$2]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -500 or 7.6999999999999997e28 < y.re < 2.0000000000000001e231

   1. Initial program 37.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 62.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 69.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 69.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 64.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 82.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 82.9%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)}\right) \]

       3. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right), \left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       4. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \left(y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \left(1 + \color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right)\right) \]

       12. atan2-lowering-atan2.f64 82.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 82.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]

   if -500 < y.re < 7.6999999999999997e28

   1. Initial program 42.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 76.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 76.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 79.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 2.0000000000000001e231 < y.re

   1. Initial program 23.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 33.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 52.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 66.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.re}^{2} + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right), y.re\right) \]

       5. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.re\right) \]

       6. hypot-lowering-hypot.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 81.0%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -500:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7.7 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2 \cdot 10^{+231}:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 76.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_2 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_3 := y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.1 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\frac{{t\_1}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + t\_0}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 15:\\ \;\;\;\;\frac{\cos t\_2 - t\_3 \cdot \sin t\_2}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{t\_1}\right) - t\_0} \cdot \left(\cos t\_3 - y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \sin t\_3\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.im (atan2 x.im x.re)))
        (t_1 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))
        (t_2 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_3 (* y.im (log (hypot x.im x.re)))))
   (if (<= y.re -1.1e-37)
     (/ (pow t_1 (/ y.re 2.0)) (+ 1.0 t_0))
     (if (<= y.re 15.0)
       (/
        (- (cos t_2) (* t_3 (sin t_2)))
        (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (*
        (exp (- (* y.re (log (sqrt t_1))) t_0))
        (- (cos t_3) (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (sin t_3)))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_3 = y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.1e-37) {
		tmp = pow(t_1, (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	} else if (y_46_re <= 15.0) {
		tmp = (cos(t_2) - (t_3 * sin(t_2))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(t_1))) - t_0)) * (cos(t_3) - (y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * sin(t_3))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_im * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_2 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_3 = y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.1e-37) {
		tmp = Math.pow(t_1, (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	} else if (y_46_re <= 15.0) {
		tmp = (Math.cos(t_2) - (t_3 * Math.sin(t_2))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(t_1))) - t_0)) * (Math.cos(t_3) - (y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.sin(t_3))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_im * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_2 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_3 = y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.1e-37:
		tmp = math.pow(t_1, (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0)
	elif y_46_re <= 15.0:
		tmp = (math.cos(t_2) - (t_3 * math.sin(t_2))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(t_1))) - t_0)) * (math.cos(t_3) - (y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.sin(t_3))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_im * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_2 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_3 = Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.1e-37)
		tmp = Float64((t_1 ^ Float64(y_46_re / 2.0)) / Float64(1.0 + t_0));
	elseif (y_46_re <= 15.0)
		tmp = Float64(Float64(cos(t_2) - Float64(t_3 * sin(t_2))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(t_1))) - t_0)) * Float64(cos(t_3) - Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * sin(t_3)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_3 = y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.1e-37)
		tmp = (t_1 ^ (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	elseif (y_46_re <= 15.0)
		tmp = (cos(t_2) - (t_3 * sin(t_2))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(t_1))) - t_0)) * (cos(t_3) - (y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * sin(t_3))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$im * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.1e-37], N[(N[Power[t$95$1, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 15.0], N[(N[(N[Cos[t$95$2], $MachinePrecision] - N[(t$95$3 * N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[t$95$3], $MachinePrecision] - N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.10000000000000001e-37

   1. Initial program 37.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 71.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 73.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 69.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 85.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 85.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)}\right) \]

       3. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right), \left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       4. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \left(y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \left(1 + \color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right)\right) \]

       12. atan2-lowering-atan2.f64 85.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 85.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]

   if -1.10000000000000001e-37 < y.re < 15

   1. Initial program 42.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 77.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + -1 \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 81.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \left(-\left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 15 < y.re

   1. Initial program 32.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) + -1 \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.re\right), \color{blue}{\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \left(\color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 69.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.1 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 15:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) - \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) - y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 76.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0}\\ \mathbf{if}\;y.im \leq -3800000000:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 14000000000000:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.im (atan2 x.im x.re)))
        (t_1
         (*
          (cos (* y.re (atan2 x.im x.re)))
          (exp
           (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0)))))
   (if (<= y.im -3800000000.0)
     t_1
     (if (<= y.im 14000000000000.0)
       (/
        (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))
        (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       t_1))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	double tmp;
	if (y_46_im <= -3800000000.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_im <= 14000000000000.0) {
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_im * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = Math.cos((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	double tmp;
	if (y_46_im <= -3800000000.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_im <= 14000000000000.0) {
		tmp = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_im * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = math.cos((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0))
	tmp = 0
	if y_46_im <= -3800000000.0:
		tmp = t_1
	elif y_46_im <= 14000000000000.0:
		tmp = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_im * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = Float64(cos(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))) * exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_im <= -3800000000.0)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_im <= 14000000000000.0)
		tmp = Float64(cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_im <= -3800000000.0)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_im <= 14000000000000.0)
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$im * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$im, -3800000000.0], t$95$1, If[LessEqual[y$46$im, 14000000000000.0], N[(N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.im < -3.8e9 or 1.4e13 < y.im

   1. Initial program 33.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 65.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 65.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -3.8e9 < y.im < 1.4e13

   1. Initial program 43.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 87.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 95.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -3800000000:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 14000000000000:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 76.1% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := \frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + t\_0}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -960:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 8.8 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;e^{0 - t\_0}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10^{+228}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.im (atan2 x.im x.re)))
        (t_1
         (/ (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0)) (+ 1.0 t_0))))
   (if (<= y.re -960.0)
     t_1
     (if (<= y.re 8.8e+28)
       (exp (- 0.0 t_0))
       (if (<= y.re 1e+228) t_1 (pow (hypot x.re x.im) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -960.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 8.8e+28) {
		tmp = exp((0.0 - t_0));
	} else if (y_46_re <= 1e+228) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_im * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -960.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 8.8e+28) {
		tmp = Math.exp((0.0 - t_0));
	} else if (y_46_re <= 1e+228) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_im * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -960.0:
		tmp = t_1
	elif y_46_re <= 8.8e+28:
		tmp = math.exp((0.0 - t_0))
	elif y_46_re <= 1e+228:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_im * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = Float64((Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0)) / Float64(1.0 + t_0))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -960.0)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 8.8e+28)
		tmp = exp(Float64(0.0 - t_0));
	elseif (y_46_re <= 1e+228)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0)) / (1.0 + t_0);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -960.0)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 8.8e+28)
		tmp = exp((0.0 - t_0));
	elseif (y_46_re <= 1e+228)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$im * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -960.0], t$95$1, If[LessEqual[y$46$re, 8.8e+28], N[Exp[N[(0.0 - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1e+228], t$95$1, N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -960 or 8.79999999999999946e28 < y.re < 9.9999999999999992e227

   1. Initial program 37.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 62.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 69.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 69.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 65.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 83.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 83.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)}\right) \]

       3. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right), \left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       4. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \left(y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} + 1\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \left(1 + \color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right)\right) \]

       12. atan2-lowering-atan2.f64 83.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 83.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]

   if -960 < y.re < 8.79999999999999946e28

   1. Initial program 41.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 78.8%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. rec-exp N/A

          \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

       2. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto e^{-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

       3. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       6. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       7. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       8. atan2-lowering-atan2.f64 78.6%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 78.6%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(-y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]

   if 9.9999999999999992e227 < y.re

   1. Initial program 23.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 33.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 52.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 52.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 66.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.re}^{2} + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right), y.re\right) \]

       5. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.re\right) \]

       6. hypot-lowering-hypot.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 81.0%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -960:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 8.8 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;e^{0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10^{+228}:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 77.5% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2400:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.9 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;e^{0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
   (if (<= y.re -2400.0)
     t_0
     (if (<= y.re 3.9e-11) (exp (- 0.0 (* y.im (atan2 x.im x.re)))) t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2400.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 3.9e-11) {
		tmp = exp((0.0 - (y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2400.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 3.9e-11) {
		tmp = Math.exp((0.0 - (y_46_im * Math.atan2(x_46_im, x_46_re))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2400.0:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 3.9e-11:
		tmp = math.exp((0.0 - (y_46_im * math.atan2(x_46_im, x_46_re))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2400.0)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 3.9e-11)
		tmp = exp(Float64(0.0 - Float64(y_46_im * atan(x_46_im, x_46_re))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2400.0)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 3.9e-11)
		tmp = exp((0.0 - (y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2400.0], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 3.9e-11], N[Exp[N[(0.0 - N[(y$46$im * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -2400 or 3.9000000000000001e-11 < y.re

   1. Initial program 35.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 65.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 65.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.re}^{2} + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right), y.re\right) \]

       5. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.re\right) \]

       6. hypot-lowering-hypot.f64 76.4%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 76.4%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -2400 < y.re < 3.9000000000000001e-11

   1. Initial program 41.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 78.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 78.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 80.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. rec-exp N/A

          \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

       2. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto e^{-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

       3. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       6. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       7. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       8. atan2-lowering-atan2.f64 80.2%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 80.2%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(-y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2400:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.9 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;e^{0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 62.5% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im) :precision binary64 (pow (hypot x.re x.im) y.re))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	return math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	return hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 38.4%

   \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. exp-diff N/A

      \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   5. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

   6. exp-diff N/A

      \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

3. Simplified 66.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in y.re around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   6. hypot-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. hypot-lowering-hypot.f64 71.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

7. Simplified 71.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

8. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 71.7%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

11. Taylor expanded in y.im around 0

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.re}^{2} + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right), y.re\right) \]

    5. hypot-define N/A

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.re\right) \]

    6. hypot-lowering-hypot.f64 62.5%

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right) \]

13. Simplified 62.5%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 52.0% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.4 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.7 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -3.4e+19)
   (pow x.im y.re)
   (if (<= y.re 3.7e-11)
     (/ 1.0 (+ 1.0 (* y.im (atan2 x.im x.re))))
     (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.4e+19) {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.7e-11) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-3.4d+19)) then
        tmp = x_46im ** y_46re
    else if (y_46re <= 3.7d-11) then
        tmp = 1.0d0 / (1.0d0 + (y_46im * atan2(x_46im, x_46re)))
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.4e+19) {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.7e-11) {
		tmp = 1.0 / (1.0 + (y_46_im * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -3.4e+19:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	elif y_46_re <= 3.7e-11:
		tmp = 1.0 / (1.0 + (y_46_im * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -3.4e+19)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.7e-11)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(y_46_im * atan(x_46_im, x_46_re))));
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -3.4e+19)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.7e-11)
		tmp = 1.0 / (1.0 + (y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -3.4e+19], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.7e-11], N[(1.0 / N[(1.0 + N[(y$46$im * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -3.4e19 or 3.7000000000000001e-11 < y.re

   1. Initial program 35.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)}\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 31.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 31.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log x.im\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 25.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 25.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.im}, y.re\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 28.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 28.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im\right)} \cdot {x.im}^{y.re} \]

   12. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right) \]

   14. Simplified 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \]

   if -3.4e19 < y.re < 3.7000000000000001e-11

   1. Initial program 41.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 77.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 79.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 46.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 46.3%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   14. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \color{blue}{1}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right)\right) \]

       5. atan2-lowering-atan2.f64 43.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right)\right) \]

   16. Simplified 43.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.4 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.7 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 51.8% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.4 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.9 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;1 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -3.4e+19)
   (pow x.im y.re)
   (if (<= y.re 3.9e-11) (- 1.0 (* y.im (atan2 x.im x.re))) (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.4e+19) {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.9e-11) {
		tmp = 1.0 - (y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re));
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-3.4d+19)) then
        tmp = x_46im ** y_46re
    else if (y_46re <= 3.9d-11) then
        tmp = 1.0d0 - (y_46im * atan2(x_46im, x_46re))
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.4e+19) {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.9e-11) {
		tmp = 1.0 - (y_46_im * Math.atan2(x_46_im, x_46_re));
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -3.4e+19:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	elif y_46_re <= 3.9e-11:
		tmp = 1.0 - (y_46_im * math.atan2(x_46_im, x_46_re))
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -3.4e+19)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.9e-11)
		tmp = Float64(1.0 - Float64(y_46_im * atan(x_46_im, x_46_re)));
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -3.4e+19)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.9e-11)
		tmp = 1.0 - (y_46_im * atan2(x_46_im, x_46_re));
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -3.4e+19], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.9e-11], N[(1.0 - N[(y$46$im * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -3.4e19 or 3.9000000000000001e-11 < y.re

   1. Initial program 35.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)}\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 31.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 31.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log x.im\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 25.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 25.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.im}, y.re\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 28.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 28.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im\right)} \cdot {x.im}^{y.re} \]

   12. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right) \]

   14. Simplified 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \]

   if -3.4e19 < y.re < 3.9000000000000001e-11

   1. Initial program 41.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, -1\right)\right)\right)\right) \]

      15. atan2-lowering-atan2.f64 77.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), -1\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot e^{y.im \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot -1\right)}} \]

   6. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto 1 + \left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto 1 - \color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. atan2-lowering-atan2.f64 43.6%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 43.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 51.7% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.4 \cdot 10^{+19}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.9 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -3.4e+19)
   (pow x.im y.re)
   (if (<= y.re 3.9e-11) 1.0 (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.4e+19) {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.9e-11) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-3.4d+19)) then
        tmp = x_46im ** y_46re
    else if (y_46re <= 3.9d-11) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.4e+19) {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.9e-11) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -3.4e+19:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	elif y_46_re <= 3.9e-11:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -3.4e+19)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.9e-11)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -3.4e+19)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.9e-11)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -3.4e+19], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.9e-11], 1.0, N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -3.4e19 or 3.9000000000000001e-11 < y.re

   1. Initial program 35.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)}\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. hypot-lowering-hypot.f64 31.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 31.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.im}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log x.im\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left({x.im}^{y.re}\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 25.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 25.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.im}^{y.re}} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.im}, y.re\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log x.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]

       3. log-lowering-log.f64 28.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 28.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log x.im\right)} \cdot {x.im}^{y.re} \]

   12. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(x.im, \color{blue}{y.re}\right) \]

   14. Simplified 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \]

   if -3.4e19 < y.re < 3.9000000000000001e-11

   1. Initial program 41.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 46.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 46.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 25.8% accurate, 829.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	return 1.0

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 38.4%

   \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

   4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

   8. hypot-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

   9. hypot-lowering-hypot.f64 58.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

5. Simplified 58.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

6. Taylor expanded in y.re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 21.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024156 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, real part"
  :precision binary64
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (cos (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))