Toniolo and Linder, Equation (2)

Percentage Accurate: 84.1% → 99.0%

Time: 16.9s

Alternatives: 10

Speedup: 1.9×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l Om Omc)
 :precision binary64
 (asin
  (sqrt (/ (- 1.0 (pow (/ Om Omc) 2.0)) (+ 1.0 (* 2.0 (pow (/ t l) 2.0)))))))

C

double code(double t, double l, double Om, double Omc) {
	return asin(sqrt(((1.0 - pow((Om / Omc), 2.0)) / (1.0 + (2.0 * pow((t / l), 2.0))))));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    code = asin(sqrt(((1.0d0 - ((om / omc) ** 2.0d0)) / (1.0d0 + (2.0d0 * ((t / l) ** 2.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double Om, double Omc) {
	return Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - Math.pow((Om / Omc), 2.0)) / (1.0 + (2.0 * Math.pow((t / l), 2.0))))));
}

Python

def code(t, l, Om, Omc):
	return math.asin(math.sqrt(((1.0 - math.pow((Om / Omc), 2.0)) / (1.0 + (2.0 * math.pow((t / l), 2.0))))))

Julia

function code(t, l, Om, Omc)
	return asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - (Float64(Om / Omc) ^ 2.0)) / Float64(1.0 + Float64(2.0 * (Float64(t / l) ^ 2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, Om, Omc)
	tmp = asin(sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) ^ 2.0)) / (1.0 + (2.0 * ((t / l) ^ 2.0))))));
end

Wolfram

code[t_, l_, Om_, Omc_] := N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - N[Power[N[(Om / Omc), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(2.0 * N[Power[N[(t / l), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 84.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l Om Omc)
 :precision binary64
 (asin
  (sqrt (/ (- 1.0 (pow (/ Om Omc) 2.0)) (+ 1.0 (* 2.0 (pow (/ t l) 2.0)))))))

C

double code(double t, double l, double Om, double Omc) {
	return asin(sqrt(((1.0 - pow((Om / Omc), 2.0)) / (1.0 + (2.0 * pow((t / l), 2.0))))));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    code = asin(sqrt(((1.0d0 - ((om / omc) ** 2.0d0)) / (1.0d0 + (2.0d0 * ((t / l) ** 2.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double Om, double Omc) {
	return Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - Math.pow((Om / Omc), 2.0)) / (1.0 + (2.0 * Math.pow((t / l), 2.0))))));
}

Python

def code(t, l, Om, Omc):
	return math.asin(math.sqrt(((1.0 - math.pow((Om / Omc), 2.0)) / (1.0 + (2.0 * math.pow((t / l), 2.0))))))

Julia

function code(t, l, Om, Omc)
	return asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - (Float64(Om / Omc) ^ 2.0)) / Float64(1.0 + Float64(2.0 * (Float64(t / l) ^ 2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, Om, Omc)
	tmp = asin(sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) ^ 2.0)) / (1.0 + (2.0 * ((t / l) ^ 2.0))))));
end

Wolfram

code[t_, l_, Om_, Omc_] := N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - N[Power[N[(Om / Omc), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(2.0 * N[Power[N[(t / l), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{t\_m}{l\_m} \leq 5 \cdot 10^{+152}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{1 + \frac{\frac{t\_m}{l\_m}}{\frac{l\_m}{t\_m \cdot 2}}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - \frac{Om \cdot \frac{Om}{Omc}}{Omc}} \cdot \left(l\_m \cdot \sqrt{0.5}\right)}{t\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= (/ t_m l_m) 5e+152)
   (asin
    (sqrt
     (/
      (- 1.0 (/ (/ Om Omc) (/ Omc Om)))
      (+ 1.0 (/ (/ t_m l_m) (/ l_m (* t_m 2.0)))))))
   (asin
    (/ (* (sqrt (- 1.0 (/ (* Om (/ Om Omc)) Omc))) (* l_m (sqrt 0.5))) t_m))))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if ((t_m / l_m) <= 5e+152) {
		tmp = asin(sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0)))))));
	} else {
		tmp = asin(((sqrt((1.0 - ((Om * (Om / Omc)) / Omc))) * (l_m * sqrt(0.5))) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if ((t_m / l_m) <= 5d+152) then
        tmp = asin(sqrt(((1.0d0 - ((om / omc) / (omc / om))) / (1.0d0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0d0)))))))
    else
        tmp = asin(((sqrt((1.0d0 - ((om * (om / omc)) / omc))) * (l_m * sqrt(0.5d0))) / t_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if ((t_m / l_m) <= 5e+152) {
		tmp = Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0)))))));
	} else {
		tmp = Math.asin(((Math.sqrt((1.0 - ((Om * (Om / Omc)) / Omc))) * (l_m * Math.sqrt(0.5))) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if (t_m / l_m) <= 5e+152:
		tmp = math.asin(math.sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0)))))))
	else:
		tmp = math.asin(((math.sqrt((1.0 - ((Om * (Om / Omc)) / Omc))) * (l_m * math.sqrt(0.5))) / t_m))
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_m / l_m) <= 5e+152)
		tmp = asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(Om / Omc) / Float64(Omc / Om))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(t_m / l_m) / Float64(l_m / Float64(t_m * 2.0)))))));
	else
		tmp = asin(Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 - Float64(Float64(Om * Float64(Om / Omc)) / Omc))) * Float64(l_m * sqrt(0.5))) / t_m));
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if ((t_m / l_m) <= 5e+152)
		tmp = asin(sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0)))))));
	else
		tmp = asin(((sqrt((1.0 - ((Om * (Om / Omc)) / Omc))) * (l_m * sqrt(0.5))) / t_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[N[(t$95$m / l$95$m), $MachinePrecision], 5e+152], N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - N[(N[(Om / Omc), $MachinePrecision] / N[(Omc / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(t$95$m / l$95$m), $MachinePrecision] / N[(l$95$m / N[(t$95$m * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 - N[(N[(Om * N[(Om / Omc), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Omc), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(l$95$m * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 t l) < 5e152

   1. Initial program 87.6%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 87.6%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 87.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 87.6%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 87.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   if 5e152 < (/.f64 t l)

   1. Initial program 35.7%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 35.7%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 35.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 35.7%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 35.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{t} \cdot \sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\frac{\left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}}{t}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right), t\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}} \cdot \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right), \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right), \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right), \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right), \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right), \left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), t\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 93.2%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), t\right)\right) \]

   9. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}} \cdot \left(\ell \cdot \sqrt{0.5}\right)}{t}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), t\right)\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc} \cdot Om}{Omc}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), t\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc} \cdot Om\right), Omc\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), t\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), Om\right), Omc\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), t\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), Om\right), Omc\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), t\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.6%

       \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc} \cdot Om}{Omc}}} \cdot \left(\ell \cdot \sqrt{0.5}\right)}{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{t}{\ell} \leq 5 \cdot 10^{+152}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{1 + \frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{t \cdot 2}}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - \frac{Om \cdot \frac{Om}{Omc}}{Omc}} \cdot \left(\ell \cdot \sqrt{0.5}\right)}{t}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{t\_m}{l\_m} \leq 5 \cdot 10^{+152}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{1 + \frac{\frac{t\_m}{l\_m}}{\frac{l\_m}{t\_m \cdot 2}}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{l\_m \cdot \sqrt{0.5}}{t\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= (/ t_m l_m) 5e+152)
   (asin
    (sqrt
     (/
      (- 1.0 (/ (/ Om Omc) (/ Omc Om)))
      (+ 1.0 (/ (/ t_m l_m) (/ l_m (* t_m 2.0)))))))
   (asin (/ (* l_m (sqrt 0.5)) t_m))))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if ((t_m / l_m) <= 5e+152) {
		tmp = asin(sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0)))))));
	} else {
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if ((t_m / l_m) <= 5d+152) then
        tmp = asin(sqrt(((1.0d0 - ((om / omc) / (omc / om))) / (1.0d0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0d0)))))))
    else
        tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5d0)) / t_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if ((t_m / l_m) <= 5e+152) {
		tmp = Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0)))))));
	} else {
		tmp = Math.asin(((l_m * Math.sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if (t_m / l_m) <= 5e+152:
		tmp = math.asin(math.sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0)))))))
	else:
		tmp = math.asin(((l_m * math.sqrt(0.5)) / t_m))
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_m / l_m) <= 5e+152)
		tmp = asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(Om / Omc) / Float64(Omc / Om))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(t_m / l_m) / Float64(l_m / Float64(t_m * 2.0)))))));
	else
		tmp = asin(Float64(Float64(l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if ((t_m / l_m) <= 5e+152)
		tmp = asin(sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + ((t_m / l_m) / (l_m / (t_m * 2.0)))))));
	else
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[N[(t$95$m / l$95$m), $MachinePrecision], 5e+152], N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - N[(N[(Om / Omc), $MachinePrecision] / N[(Omc / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(t$95$m / l$95$m), $MachinePrecision] / N[(l$95$m / N[(t$95$m * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[N[(N[(l$95$m * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 t l) < 5e152

   1. Initial program 87.6%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 87.6%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 87.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 87.6%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 87.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   if 5e152 < (/.f64 t l)

   1. Initial program 35.7%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 35.7%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 35.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 35.7%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 35.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 35.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{t}\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right), t\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), t\right)\right) \]

   12. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{t}{\ell} \leq 5 \cdot 10^{+152}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{1 + \frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{t \cdot 2}}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 83.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_m \leq 7.5 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{1 + \frac{\frac{t\_m}{l\_m} \cdot \left(t\_m \cdot 2\right)}{l\_m}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{l\_m \cdot \sqrt{0.5}}{t\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= t_m 7.5e+22)
   (asin
    (sqrt
     (/
      (- 1.0 (/ (/ Om Omc) (/ Omc Om)))
      (+ 1.0 (/ (* (/ t_m l_m) (* t_m 2.0)) l_m)))))
   (asin (/ (* l_m (sqrt 0.5)) t_m))))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (t_m <= 7.5e+22) {
		tmp = asin(sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0)) / l_m)))));
	} else {
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if (t_m <= 7.5d+22) then
        tmp = asin(sqrt(((1.0d0 - ((om / omc) / (omc / om))) / (1.0d0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0d0)) / l_m)))))
    else
        tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5d0)) / t_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (t_m <= 7.5e+22) {
		tmp = Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0)) / l_m)))));
	} else {
		tmp = Math.asin(((l_m * Math.sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if t_m <= 7.5e+22:
		tmp = math.asin(math.sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0)) / l_m)))))
	else:
		tmp = math.asin(((l_m * math.sqrt(0.5)) / t_m))
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (t_m <= 7.5e+22)
		tmp = asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(Om / Omc) / Float64(Omc / Om))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(t_m / l_m) * Float64(t_m * 2.0)) / l_m)))));
	else
		tmp = asin(Float64(Float64(l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if (t_m <= 7.5e+22)
		tmp = asin(sqrt(((1.0 - ((Om / Omc) / (Omc / Om))) / (1.0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0)) / l_m)))));
	else
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[t$95$m, 7.5e+22], N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - N[(N[(Om / Omc), $MachinePrecision] / N[(Omc / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(N[(t$95$m / l$95$m), $MachinePrecision] * N[(t$95$m * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[N[(N[(l$95$m * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 7.5000000000000002e22

   1. Initial program 86.7%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. asin-lowering-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. associate-+l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      12. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right), \left(1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 60.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(t, t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(t, t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(t, t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(t, t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(t, t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 67.2%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(t, t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 67.2%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{t}{\ell \cdot \ell} \cdot \left(2 \cdot t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\ell} \cdot \left(2 \cdot t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{t}{\ell} \cdot \left(2 \cdot t\right)}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \left(2 \cdot t\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(2 \cdot t\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(2 \cdot t\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 83.6%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 83.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{1 + \color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell} \cdot \left(2 \cdot t\right)}{\ell}}}}\right) \]

   if 7.5000000000000002e22 < t

   1. Initial program 67.6%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 67.6%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 67.6%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{t}\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right), t\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 49.8%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), t\right)\right) \]

   12. Simplified 49.8%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 7.5 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{1 + \frac{\frac{t}{\ell} \cdot \left(t \cdot 2\right)}{\ell}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 82.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_m \leq 2.3 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{\frac{t\_m}{l\_m} \cdot \left(t\_m \cdot 2\right)}{l\_m}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{l\_m \cdot \sqrt{0.5}}{t\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= t_m 2.3e+22)
   (asin (sqrt (/ 1.0 (+ 1.0 (/ (* (/ t_m l_m) (* t_m 2.0)) l_m)))))
   (asin (/ (* l_m (sqrt 0.5)) t_m))))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (t_m <= 2.3e+22) {
		tmp = asin(sqrt((1.0 / (1.0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0)) / l_m)))));
	} else {
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if (t_m <= 2.3d+22) then
        tmp = asin(sqrt((1.0d0 / (1.0d0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0d0)) / l_m)))))
    else
        tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5d0)) / t_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (t_m <= 2.3e+22) {
		tmp = Math.asin(Math.sqrt((1.0 / (1.0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0)) / l_m)))));
	} else {
		tmp = Math.asin(((l_m * Math.sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if t_m <= 2.3e+22:
		tmp = math.asin(math.sqrt((1.0 / (1.0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0)) / l_m)))))
	else:
		tmp = math.asin(((l_m * math.sqrt(0.5)) / t_m))
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (t_m <= 2.3e+22)
		tmp = asin(sqrt(Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(t_m / l_m) * Float64(t_m * 2.0)) / l_m)))));
	else
		tmp = asin(Float64(Float64(l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if (t_m <= 2.3e+22)
		tmp = asin(sqrt((1.0 / (1.0 + (((t_m / l_m) * (t_m * 2.0)) / l_m)))));
	else
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[t$95$m, 2.3e+22], N[ArcSin[N[Sqrt[N[(1.0 / N[(1.0 + N[(N[(N[(t$95$m / l$95$m), $MachinePrecision] * N[(t$95$m * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[N[(N[(l$95$m * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 2.3000000000000002e22

   1. Initial program 86.7%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 86.7%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 86.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 86.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\ell} \cdot \left(2 \cdot t\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell} \cdot \left(2 \cdot t\right)}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \left(2 \cdot t\right)\right), \ell\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(2 \cdot t\right)\right), \ell\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(2 \cdot t\right)\right), \ell\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(t \cdot 2\right)\right), \ell\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 82.2%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(t, 2\right)\right), \ell\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 82.2%

       \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell} \cdot \left(t \cdot 2\right)}{\ell}} + 1}}\right) \]

   if 2.3000000000000002e22 < t

   1. Initial program 67.6%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 67.6%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 67.6%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{t}\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right), t\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 49.8%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), t\right)\right) \]

   12. Simplified 49.8%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 2.3 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{\frac{t}{\ell} \cdot \left(t \cdot 2\right)}{\ell}}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 86.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;l\_m \leq 7.1 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{l\_m \cdot \sqrt{0.5}}{t\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left({\left(1 + \frac{t\_m}{l\_m \cdot \frac{l\_m}{t\_m \cdot 2}}\right)}^{-0.5}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= l_m 7.1e-165)
   (asin (/ (* l_m (sqrt 0.5)) t_m))
   (asin (pow (+ 1.0 (/ t_m (* l_m (/ l_m (* t_m 2.0))))) -0.5))))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (l_m <= 7.1e-165) {
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	} else {
		tmp = asin(pow((1.0 + (t_m / (l_m * (l_m / (t_m * 2.0))))), -0.5));
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if (l_m <= 7.1d-165) then
        tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5d0)) / t_m))
    else
        tmp = asin(((1.0d0 + (t_m / (l_m * (l_m / (t_m * 2.0d0))))) ** (-0.5d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (l_m <= 7.1e-165) {
		tmp = Math.asin(((l_m * Math.sqrt(0.5)) / t_m));
	} else {
		tmp = Math.asin(Math.pow((1.0 + (t_m / (l_m * (l_m / (t_m * 2.0))))), -0.5));
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if l_m <= 7.1e-165:
		tmp = math.asin(((l_m * math.sqrt(0.5)) / t_m))
	else:
		tmp = math.asin(math.pow((1.0 + (t_m / (l_m * (l_m / (t_m * 2.0))))), -0.5))
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (l_m <= 7.1e-165)
		tmp = asin(Float64(Float64(l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	else
		tmp = asin((Float64(1.0 + Float64(t_m / Float64(l_m * Float64(l_m / Float64(t_m * 2.0))))) ^ -0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if (l_m <= 7.1e-165)
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	else
		tmp = asin(((1.0 + (t_m / (l_m * (l_m / (t_m * 2.0))))) ^ -0.5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[l$95$m, 7.1e-165], N[ArcSin[N[(N[(l$95$m * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[N[Power[N[(1.0 + N[(t$95$m / N[(l$95$m * N[(l$95$m / N[(t$95$m * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 7.10000000000000048e-165

   1. Initial program 79.7%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 79.7%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 79.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 79.7%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 79.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 79.1%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{t}\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right), t\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.4%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), t\right)\right) \]

   12. Simplified 34.4%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)} \]

   if 7.10000000000000048e-165 < l

   1. Initial program 84.3%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 84.3%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 84.3%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 84.4%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 84.4%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 82.8%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}\right) \]

   11. Applied egg-rr 82.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left({\left(1 + \frac{t}{\ell \cdot \frac{\ell}{t \cdot 2}}\right)}^{-0.5}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 73.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_m \leq 4.2 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\sqrt{1 - \frac{\frac{Om}{\frac{Omc}{Om}}}{Omc}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{l\_m \cdot \sqrt{0.5}}{t\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= t_m 4.2e+20)
   (asin (sqrt (- 1.0 (/ (/ Om (/ Omc Om)) Omc))))
   (asin (/ (* l_m (sqrt 0.5)) t_m))))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (t_m <= 4.2e+20) {
		tmp = asin(sqrt((1.0 - ((Om / (Omc / Om)) / Omc))));
	} else {
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if (t_m <= 4.2d+20) then
        tmp = asin(sqrt((1.0d0 - ((om / (omc / om)) / omc))))
    else
        tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5d0)) / t_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (t_m <= 4.2e+20) {
		tmp = Math.asin(Math.sqrt((1.0 - ((Om / (Omc / Om)) / Omc))));
	} else {
		tmp = Math.asin(((l_m * Math.sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if t_m <= 4.2e+20:
		tmp = math.asin(math.sqrt((1.0 - ((Om / (Omc / Om)) / Omc))))
	else:
		tmp = math.asin(((l_m * math.sqrt(0.5)) / t_m))
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (t_m <= 4.2e+20)
		tmp = asin(sqrt(Float64(1.0 - Float64(Float64(Om / Float64(Omc / Om)) / Omc))));
	else
		tmp = asin(Float64(Float64(l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if (t_m <= 4.2e+20)
		tmp = asin(sqrt((1.0 - ((Om / (Omc / Om)) / Omc))));
	else
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[t$95$m, 4.2e+20], N[ArcSin[N[Sqrt[N[(1.0 - N[(N[(Om / N[(Omc / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Omc), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[N[(N[(l$95$m * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 4.2e20

   1. Initial program 86.7%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. asin-lowering-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. associate-+l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      12. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right), \left(1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 60.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 55.8%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.8%

      \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{\frac{Omc}{Om} \cdot Omc}\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{\frac{Omc}{Om}}}{Omc}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{\frac{Omc}{Om}}\right), Omc\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right), Omc\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 60.7%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right), Omc\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 60.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{\frac{Omc}{Om}}}{Omc}}}\right) \]

   if 4.2e20 < t

   1. Initial program 67.6%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 67.6%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 67.6%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 67.6%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{t}\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right), t\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 49.8%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), t\right)\right) \]

   12. Simplified 49.8%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 72.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_m \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(1 + \frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om \cdot -0.5}{Omc}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{l\_m \cdot \sqrt{0.5}}{t\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= t_m 1.55)
   (asin (+ 1.0 (* (/ Om Omc) (/ (* Om -0.5) Omc))))
   (asin (/ (* l_m (sqrt 0.5)) t_m))))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (t_m <= 1.55) {
		tmp = asin((1.0 + ((Om / Omc) * ((Om * -0.5) / Omc))));
	} else {
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if (t_m <= 1.55d0) then
        tmp = asin((1.0d0 + ((om / omc) * ((om * (-0.5d0)) / omc))))
    else
        tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5d0)) / t_m))
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (t_m <= 1.55) {
		tmp = Math.asin((1.0 + ((Om / Omc) * ((Om * -0.5) / Omc))));
	} else {
		tmp = Math.asin(((l_m * Math.sqrt(0.5)) / t_m));
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if t_m <= 1.55:
		tmp = math.asin((1.0 + ((Om / Omc) * ((Om * -0.5) / Omc))))
	else:
		tmp = math.asin(((l_m * math.sqrt(0.5)) / t_m))
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (t_m <= 1.55)
		tmp = asin(Float64(1.0 + Float64(Float64(Om / Omc) * Float64(Float64(Om * -0.5) / Omc))));
	else
		tmp = asin(Float64(Float64(l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if (t_m <= 1.55)
		tmp = asin((1.0 + ((Om / Omc) * ((Om * -0.5) / Omc))));
	else
		tmp = asin(((l_m * sqrt(0.5)) / t_m));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[t$95$m, 1.55], N[ArcSin[N[(1.0 + N[(N[(Om / Omc), $MachinePrecision] * N[(N[(Om * -0.5), $MachinePrecision] / Omc), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[N[(N[(l$95$m * N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 1.55000000000000004

   1. Initial program 86.9%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. asin-lowering-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. associate-+l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      12. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right), \left(1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 55.9%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.9%

      \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}\right)} \]

   8. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 55.9%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.9%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \frac{\left(Om \cdot Om\right) \cdot -0.5}{Omc \cdot Omc}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{Om \cdot \left(Om \cdot \frac{-1}{2}\right)}{Omc \cdot Omc}\right)\right)\right) \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om \cdot \frac{-1}{2}}{Omc}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Om \cdot \frac{-1}{2}}{Omc}\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Om \cdot \frac{-1}{2}}{Omc}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot \frac{-1}{2}\right), Omc\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 60.5%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, \frac{-1}{2}\right), Omc\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 60.5%

       \[\leadsto \sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om \cdot -0.5}{Omc}}\right) \]

   if 1.55000000000000004 < t

   1. Initial program 68.0%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om}{Omc}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{1}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Omc}{Om}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 68.0%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 68.0%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \color{blue}{\frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      3. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \frac{t \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell}\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(t \cdot t\right)\right) \cdot \frac{1}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell} + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(2 \cdot t\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(2 \cdot t\right) \cdot t}{\ell \cdot \ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot t}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{2 \cdot t}{\ell}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      14. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}}\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\frac{\ell}{2 \cdot t}\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      17. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 68.0%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(Omc, Om\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 68.0%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{\frac{Om}{Omc}}{\frac{Omc}{Om}}}{\color{blue}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}}\right) \]

   7. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, t\right)\right)\right), 1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 67.2%

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\frac{\ell}{2 \cdot t}} + 1}}\right) \]

   10. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}{t}\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\right), t\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), t\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), t\right)\right) \]

   12. Simplified 48.5%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \sqrt{0.5}}{t}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 53.6% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;l\_m \leq 1.02 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(Om \cdot Om\right)}{Omc \cdot Omc}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(1 + \frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om \cdot -0.5}{Omc}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= l_m 1.02e-196)
   (asin (/ (* -0.5 (* Om Om)) (* Omc Omc)))
   (asin (+ 1.0 (* (/ Om Omc) (/ (* Om -0.5) Omc))))))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (l_m <= 1.02e-196) {
		tmp = asin(((-0.5 * (Om * Om)) / (Omc * Omc)));
	} else {
		tmp = asin((1.0 + ((Om / Omc) * ((Om * -0.5) / Omc))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if (l_m <= 1.02d-196) then
        tmp = asin((((-0.5d0) * (om * om)) / (omc * omc)))
    else
        tmp = asin((1.0d0 + ((om / omc) * ((om * (-0.5d0)) / omc))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (l_m <= 1.02e-196) {
		tmp = Math.asin(((-0.5 * (Om * Om)) / (Omc * Omc)));
	} else {
		tmp = Math.asin((1.0 + ((Om / Omc) * ((Om * -0.5) / Omc))));
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if l_m <= 1.02e-196:
		tmp = math.asin(((-0.5 * (Om * Om)) / (Omc * Omc)))
	else:
		tmp = math.asin((1.0 + ((Om / Omc) * ((Om * -0.5) / Omc))))
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (l_m <= 1.02e-196)
		tmp = asin(Float64(Float64(-0.5 * Float64(Om * Om)) / Float64(Omc * Omc)));
	else
		tmp = asin(Float64(1.0 + Float64(Float64(Om / Omc) * Float64(Float64(Om * -0.5) / Omc))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if (l_m <= 1.02e-196)
		tmp = asin(((-0.5 * (Om * Om)) / (Omc * Omc)));
	else
		tmp = asin((1.0 + ((Om / Omc) * ((Om * -0.5) / Omc))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[l$95$m, 1.02e-196], N[ArcSin[N[(N[(-0.5 * N[(Om * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Omc * Omc), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[N[(1.0 + N[(N[(Om / Omc), $MachinePrecision] * N[(N[(Om * -0.5), $MachinePrecision] / Omc), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 1.0200000000000001e-196

   1. Initial program 80.1%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. asin-lowering-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. associate-+l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      12. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right), \left(1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 50.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 36.8%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 36.8%

      \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}\right)} \]

   8. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 36.6%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 36.6%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \frac{\left(Om \cdot Om\right) \cdot -0.5}{Omc \cdot Omc}\right)} \]

   11. Taylor expanded in Om around inf

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({Om}^{2}\right)\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(Om \cdot Om\right)\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 11.9%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 11.9%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(Om \cdot Om\right)}{Omc \cdot Omc}\right)} \]

   if 1.0200000000000001e-196 < l

   1. Initial program 83.4%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. asin-lowering-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. associate-+l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      12. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right), \left(1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 63.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 56.7%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}\right)} \]

   8. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 56.7%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 56.7%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \frac{\left(Om \cdot Om\right) \cdot -0.5}{Omc \cdot Omc}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{Om \cdot \left(Om \cdot \frac{-1}{2}\right)}{Omc \cdot Omc}\right)\right)\right) \]

       2. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om \cdot \frac{-1}{2}}{Omc}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{Om}{Omc}\right), \left(\frac{Om \cdot \frac{-1}{2}}{Omc}\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \left(\frac{Om \cdot \frac{-1}{2}}{Omc}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot \frac{-1}{2}\right), Omc\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 59.5%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(Om, Omc\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, \frac{-1}{2}\right), Omc\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 59.5%

       \[\leadsto \sin^{-1} \left(1 + \color{blue}{\frac{Om}{Omc} \cdot \frac{Om \cdot -0.5}{Omc}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 53.3% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;l\_m \leq 3 \cdot 10^{-196}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(Om \cdot Om\right)}{Omc \cdot Omc}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} 1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc)
 :precision binary64
 (if (<= l_m 3e-196) (asin (/ (* -0.5 (* Om Om)) (* Omc Omc))) (asin 1.0)))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (l_m <= 3e-196) {
		tmp = asin(((-0.5 * (Om * Om)) / (Omc * Omc)));
	} else {
		tmp = asin(1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    real(8) :: tmp
    if (l_m <= 3d-196) then
        tmp = asin((((-0.5d0) * (om * om)) / (omc * omc)))
    else
        tmp = asin(1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	double tmp;
	if (l_m <= 3e-196) {
		tmp = Math.asin(((-0.5 * (Om * Om)) / (Omc * Omc)));
	} else {
		tmp = Math.asin(1.0);
	}
	return tmp;
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	tmp = 0
	if l_m <= 3e-196:
		tmp = math.asin(((-0.5 * (Om * Om)) / (Omc * Omc)))
	else:
		tmp = math.asin(1.0)
	return tmp

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0
	if (l_m <= 3e-196)
		tmp = asin(Float64(Float64(-0.5 * Float64(Om * Om)) / Float64(Omc * Omc)));
	else
		tmp = asin(1.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp_2 = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = 0.0;
	if (l_m <= 3e-196)
		tmp = asin(((-0.5 * (Om * Om)) / (Omc * Omc)));
	else
		tmp = asin(1.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := If[LessEqual[l$95$m, 3e-196], N[ArcSin[N[(N[(-0.5 * N[(Om * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Omc * Omc), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcSin[1.0], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if l < 3e-196

   1. Initial program 80.1%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. asin-lowering-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. associate-+l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      12. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right), \left(1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 50.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 36.8%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 36.8%

      \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}\right)} \]

   8. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 36.6%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 36.6%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(1 + \frac{\left(Om \cdot Om\right) \cdot -0.5}{Omc \cdot Omc}\right)} \]

   11. Taylor expanded in Om around inf

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({Om}^{2}\right)\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(Om \cdot Om\right)\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 11.9%

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 11.9%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(Om \cdot Om\right)}{Omc \cdot Omc}\right)} \]

   if 3e-196 < l

   1. Initial program 83.4%

      \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. asin-lowering-asin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

      7. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      11. associate-+l- N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      12. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right), \left(1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 63.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 56.7%

         \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.7%

      \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}\right)} \]

   8. Taylor expanded in Om around 0

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{1}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 58.8%

       \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 50.2% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} t_m = \left|t\right| \\ l_m = \left|\ell\right| \\ \sin^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

t_m = (fabs.f64 t)
l_m = (fabs.f64 l)
(FPCore (t_m l_m Om Omc) :precision binary64 (asin 1.0))

C

t_m = fabs(t);
l_m = fabs(l);
double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	return asin(1.0);
}

Fortran

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
real(8) function code(t_m, l_m, om, omc)
    real(8), intent (in) :: t_m
    real(8), intent (in) :: l_m
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: omc
    code = asin(1.0d0)
end function

Java

t_m = Math.abs(t);
l_m = Math.abs(l);
public static double code(double t_m, double l_m, double Om, double Omc) {
	return Math.asin(1.0);
}

Python

t_m = math.fabs(t)
l_m = math.fabs(l)
def code(t_m, l_m, Om, Omc):
	return math.asin(1.0)

Julia

t_m = abs(t)
l_m = abs(l)
function code(t_m, l_m, Om, Omc)
	return asin(1.0)
end

MATLAB

t_m = abs(t);
l_m = abs(l);
function tmp = code(t_m, l_m, Om, Omc)
	tmp = asin(1.0);
end

Wolfram

t_m = N[Abs[t], $MachinePrecision]
l_m = N[Abs[l], $MachinePrecision]
code[t$95$m_, l$95$m_, Om_, Omc_] := N[ArcSin[1.0], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.3%

   \[\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. asin-lowering-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   5. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}}\right)\right) \]

   7. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-frac-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   10. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{0 - \left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2} - 1\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   11. associate-+l- N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(0 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   12. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right) + 1}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(\mathsf{neg}\left({\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right)\right)}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   14. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}}{1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - {\left(\frac{Om}{Omc}\right)}^{2}\right), \left(1 + 2 \cdot {\left(\frac{t}{\ell}\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 55.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}{1 + \frac{2 \cdot \left(t \cdot t\right)}{\ell \cdot \ell}}}\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in t around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - \frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\frac{{Om}^{2}}{{Omc}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({Om}^{2}\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(Om \cdot Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left({Omc}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \left(Omc \cdot Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 44.3%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right), \mathsf{*.f64}\left(Omc, Omc\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 44.3%

   \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \frac{Om \cdot Om}{Omc \cdot Omc}}\right)} \]

8. Taylor expanded in Om around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{1}\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 47.0%

    \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{1} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (t l Om Omc)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (2)"
  :precision binary64
  (asin (sqrt (/ (- 1.0 (pow (/ Om Omc) 2.0)) (+ 1.0 (* 2.0 (pow (/ t l) 2.0)))))))