Bearing on a great circle

Percentage Accurate: 79.1% → 99.7%

Time: 33.2s

Alternatives: 30

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 79.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 77.0%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

7. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 93.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := t\_0 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1150000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{t\_1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (- t_0 (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_2
         (*
          (cos phi2)
          (fma
           (sin lambda1)
           (cos lambda2)
           (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))))
   (if (<= phi2 -1150000000.0)
     (atan2 t_2 t_1)
     (if (<= phi2 2e-34)
       (atan2
        t_2
        (-
         t_0
         (*
          (sin phi1)
          (+
           (* (sin lambda1) (sin lambda2))
           (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))
       (atan2
        (-
         (* (cos phi2) (* (sin lambda1) (cos lambda2)))
         (* (cos phi2) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
        t_1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_2 = cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1150000000.0) {
		tmp = atan2(t_2, t_1);
	} else if (phi2 <= 2e-34) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	} else {
		tmp = atan2(((cos(phi2) * (sin(lambda1) * cos(lambda2))) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), t_1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(t_0 - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1150000000.0)
		tmp = atan(t_2, t_1);
	elseif (phi2 <= 2e-34)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	else
		tmp = atan(Float64(Float64(cos(phi2) * Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2))) - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), t_1);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1150000000.0], N[ArcTan[t$95$2 / t$95$1], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 2e-34], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -1.15e9

   1. Initial program 63.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 89.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 89.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -1.15e9 < phi2 < 1.99999999999999986e-34

   1. Initial program 81.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 88.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2} + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \color{blue}{\lambda_1} \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \color{blue}{\sin \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \color{blue}{\sin \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}} \]

   if 1.99999999999999986e-34 < phi2

   1. Initial program 81.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 90.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 90.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1150000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 77.0%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

9. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_2 := t\_1 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_3 := \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1150000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{t\_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(t\_0 - t\_3\right)}{t\_1 - \sin \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0 - \cos \phi_2 \cdot t\_3}{t\_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin lambda1) (cos lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_2 (- t_1 (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_3 (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
   (if (<= phi2 -1150000000.0)
     (atan2
      (*
       (cos phi2)
       (fma
        (sin lambda1)
        (cos lambda2)
        (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
      t_2)
     (if (<= phi2 2e-34)
       (atan2
        (* (cos phi2) (- t_0 t_3))
        (-
         t_1
         (*
          (sin phi1)
          (+
           (* (sin lambda1) (sin lambda2))
           (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))
       (atan2 (- (* (cos phi2) t_0) (* (cos phi2) t_3)) t_2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(lambda1) * cos(lambda2);
	double t_1 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_2 = t_1 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_3 = cos(lambda1) * sin(lambda2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -1150000000.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), t_2);
	} else if (phi2 <= 2e-34) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * (t_0 - t_3)), (t_1 - (sin(phi1) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	} else {
		tmp = atan2(((cos(phi2) * t_0) - (cos(phi2) * t_3)), t_2);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_2 = Float64(t_1 - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_3 = Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1150000000.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), t_2);
	elseif (phi2 <= 2e-34)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(t_0 - t_3)), Float64(t_1 - Float64(sin(phi1) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	else
		tmp = atan(Float64(Float64(cos(phi2) * t_0) - Float64(cos(phi2) * t_3)), t_2);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1150000000.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 2e-34], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$0 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -1.15e9

   1. Initial program 63.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 89.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 89.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -1.15e9 < phi2 < 1.99999999999999986e-34

   1. Initial program 81.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 88.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       2. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2} + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right), \left(\sin \color{blue}{\lambda_1} \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \color{blue}{\sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \color{blue}{\lambda_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. sin-lowering-sin.f64 99.9%

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 99.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}} \]

   if 1.99999999999999986e-34 < phi2

   1. Initial program 81.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 90.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 90.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1150000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - t\_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_3 := \sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1150000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{t\_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(t\_3 - t\_0\right)}{\sin \phi_2 - t\_1 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_3 - \cos \phi_2 \cdot t\_0}{t\_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos lambda1) (sin lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2 (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_3 (* (sin lambda1) (cos lambda2))))
   (if (<= phi2 -1150000000.0)
     (atan2
      (*
       (cos phi2)
       (fma
        (sin lambda1)
        (cos lambda2)
        (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
      t_2)
     (if (<= phi2 2e-34)
       (atan2
        (* (cos phi2) (- t_3 t_0))
        (-
         (sin phi2)
         (*
          t_1
          (+
           (* (sin lambda1) (sin lambda2))
           (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))
       (atan2 (- (* (cos phi2) t_3) (* (cos phi2) t_0)) t_2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(lambda1) * sin(lambda2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = (cos(phi1) * sin(phi2)) - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_3 = sin(lambda1) * cos(lambda2);
	double tmp;
	if (phi2 <= -1150000000.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), t_2);
	} else if (phi2 <= 2e-34) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * (t_3 - t_0)), (sin(phi2) - (t_1 * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	} else {
		tmp = atan2(((cos(phi2) * t_3) - (cos(phi2) * t_0)), t_2);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(t_1 * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_3 = Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1150000000.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), t_2);
	elseif (phi2 <= 2e-34)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(t_3 - t_0)), Float64(sin(phi2) - Float64(t_1 * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	else
		tmp = atan(Float64(Float64(cos(phi2) * t_3) - Float64(cos(phi2) * t_0)), t_2);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$1 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1150000000.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 2e-34], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(t$95$1 * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -1.15e9

   1. Initial program 63.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 89.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 89.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -1.15e9 < phi2 < 1.99999999999999986e-34

   1. Initial program 81.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 88.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   9. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 99.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   if 1.99999999999999986e-34 < phi2

   1. Initial program 81.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. sin-lowering-sin.f64 90.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 90.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 95.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1150000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 2 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 89.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 77.0%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 89.1%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

5. Final simplification 89.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 89.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{t\_0 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.52:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 8 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
          (- t_0 (* (cos lambda1) (* (cos phi2) (sin phi1)))))))
   (if (<= lambda1 -0.52)
     t_1
     (if (<= lambda1 8e-28)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.52) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda1 <= 8e-28) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))))
    if (lambda1 <= (-0.52d0)) then
        tmp = t_1
    else if (lambda1 <= 8d-28) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), (t_0 - (Math.cos(lambda1) * (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -0.52) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda1 <= 8e-28) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), (t_0 - (math.cos(lambda1) * (math.cos(phi2) * math.sin(phi1)))))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -0.52:
		tmp = t_1
	elif lambda1 <= 8e-28:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda1) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -0.52)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda1 <= 8e-28)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -0.52)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda1 <= 8e-28)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -0.52], t$95$1, If[LessEqual[lambda1, 8e-28], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -0.52000000000000002 or 7.99999999999999977e-28 < lambda1

   1. Initial program 61.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 81.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 81.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   9. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

       2. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

       4. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

       5. sin-lowering-sin.f64 81.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 81.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]

   if -0.52000000000000002 < lambda1 < 7.99999999999999977e-28

   1. Initial program 99.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -0.52:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 8 \cdot 10^{-28}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 77.0%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 89.1%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

5. Final simplification 89.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 87.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_2 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_3 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -7.6 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_3}{t\_1 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_3}{t\_1 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \frac{t\_2 \cdot t\_0}{t\_0}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (+ lambda1 lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_2 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_3 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -7.6e-6)
     (atan2 t_3 (- t_1 (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_2))))
     (if (<= phi1 4.0)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
        (- (sin phi2) (* (cos (- lambda2 lambda1)) (* (cos phi2) phi1))))
       (atan2
        t_3
        (- t_1 (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (/ (* t_2 t_0) t_0))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 + lambda2));
	double t_1 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_2 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_3 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -7.6e-6) {
		tmp = atan2(t_3, (t_1 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_2))));
	} else if (phi1 <= 4.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), (sin(phi2) - (cos((lambda2 - lambda1)) * (cos(phi2) * phi1))));
	} else {
		tmp = atan2(t_3, (t_1 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((t_2 * t_0) / t_0))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 + lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_2 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_3 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -7.6e-6)
		tmp = atan(t_3, Float64(t_1 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_2))));
	elseif (phi1 <= 4.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), Float64(sin(phi2) - Float64(cos(Float64(lambda2 - lambda1)) * Float64(cos(phi2) * phi1))));
	else
		tmp = atan(t_3, Float64(t_1 - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(t_2 * t_0) / t_0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 + lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -7.6e-6], N[ArcTan[t$95$3 / N[(t$95$1 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 4.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$3 / N[(t$95$1 - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -7.6000000000000001e-6

   1. Initial program 71.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 71.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 71.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 71.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 71.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -7.6000000000000001e-6 < phi1 < 4

   1. Initial program 77.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_2 + -1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 - \color{blue}{\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\sin \phi_2, \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\phi_1} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      10. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      14. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      16. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      17. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      18. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      20. cos-lowering-cos.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}} \]

   if 4 < phi1

   1. Initial program 82.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1 - \color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}, \mathsf{neg}\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos \lambda_2, \cos \lambda_1, \mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 82.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -7.6 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 87.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -3 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -3e-6)
     (atan2 t_2 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_1))))
     (if (<= phi1 4.0)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
        (- (sin phi2) (* (cos (- lambda2 lambda1)) (* (cos phi2) phi1))))
       (atan2 t_2 (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -3e-6) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 4.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), (sin(phi2) - (cos((lambda2 - lambda1)) * (cos(phi2) * phi1))));
	} else {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -3e-6)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 4.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), Float64(sin(phi2) - Float64(cos(Float64(lambda2 - lambda1)) * Float64(cos(phi2) * phi1))));
	else
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -3e-6], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 4.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * phi1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -3.0000000000000001e-6

   1. Initial program 71.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 71.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 71.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 71.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 71.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -3.0000000000000001e-6 < phi1 < 4

   1. Initial program 77.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_2 + -1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 - \color{blue}{\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\sin \phi_2, \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\phi_1} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      10. remove-double-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      14. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      16. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      17. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      18. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_2} \cdot \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      20. cos-lowering-cos.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}} \]

   if 4 < phi1

   1. Initial program 82.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 82.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 82.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -3 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 4:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 86.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.6 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 9.5 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -1.6e-14)
     (atan2 t_2 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_1))))
     (if (<= phi1 9.5e-109)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
        (sin phi2))
       (atan2 t_2 (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.6e-14) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_1))));
	} else if (phi1 <= 9.5e-109) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -1.6e-14)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_1))));
	elseif (phi1 <= 9.5e-109)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -1.6e-14], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 9.5e-109], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -1.6000000000000001e-14

   1. Initial program 72.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 72.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 72.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -1.6000000000000001e-14 < phi1 < 9.49999999999999933e-109

   1. Initial program 75.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \color{blue}{-\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 9.49999999999999933e-109 < phi1

   1. Initial program 82.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 82.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.6 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 9.5 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 86.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -6.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 9.5 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))
   (if (<= phi1 -6.2e-14)
     t_0
     (if (<= phi1 9.5e-109)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -6.2e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 9.5e-109) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -6.2e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 9.5e-109)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -6.2e-14], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 9.5e-109], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -6.20000000000000009e-14 or 9.49999999999999933e-109 < phi1

   1. Initial program 78.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 78.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 78.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   if -6.20000000000000009e-14 < phi1 < 9.49999999999999933e-109

   1. Initial program 75.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \color{blue}{-\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -6.2 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 9.5 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 79.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -2.1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 0.00078:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda2 -2.1e-5)
   (atan2
    (*
     (cos phi2)
     (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
    (sin phi2))
   (if (<= lambda2 0.00078)
     (atan2
      (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
      (-
       (* (cos phi1) (sin phi2))
       (* (sin phi1) (* (cos lambda1) (cos phi2)))))
     (atan2
      (-
       (* (cos phi2) (* (sin lambda1) (cos lambda2)))
       (* (cos phi2) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
      (sin phi2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda2 <= -2.1e-5) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 0.00078) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = atan2(((cos(phi2) * (sin(lambda1) * cos(lambda2))) - (cos(phi2) * (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -2.1e-5)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 0.00078)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	else
		tmp = atan(Float64(Float64(cos(phi2) * Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2))) - Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda2, -2.1e-5], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 0.00078], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -2.09999999999999988e-5

   1. Initial program 51.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 80.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 60.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 60.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \color{blue}{-\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if -2.09999999999999988e-5 < lambda2 < 7.79999999999999986e-4

   1. Initial program 98.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 98.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   7. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}\right) \cdot \sin \phi_1} \]

   if 7.79999999999999986e-4 < lambda2

   1. Initial program 50.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 74.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2 + \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      13. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \cos \phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2 + \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -2.1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 0.00078:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 79.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -2.1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 0.00215:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda2 -2.1e-5)
   (atan2
    (*
     (cos phi2)
     (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
    (sin phi2))
   (if (<= lambda2 0.00215)
     (atan2
      (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
      (-
       (* (cos phi1) (sin phi2))
       (* (sin phi1) (* (cos lambda1) (cos phi2)))))
     (atan2
      (*
       (cos phi2)
       (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
      (sin phi2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda2 <= -2.1e-5) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 0.00215) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * (cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -2.1e-5)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 0.00215)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda1) * cos(phi2)))));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda2, -2.1e-5], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 0.00215], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -2.09999999999999988e-5

   1. Initial program 51.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 80.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 60.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 60.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \color{blue}{-\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if -2.09999999999999988e-5 < lambda2 < 0.00215

   1. Initial program 98.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 98.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   7. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}\right) \cdot \sin \phi_1} \]

   if 0.00215 < lambda2

   1. Initial program 50.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 74.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -2.1 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 0.00215:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 69.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -1.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 1.55 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda2 -1.5e-5)
   (atan2
    (*
     (cos phi2)
     (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
    (sin phi2))
   (if (<= lambda2 1.55e-6)
     (atan2
      (* (sin lambda1) (cos phi2))
      (-
       (* (cos phi1) (sin phi2))
       (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))
     (atan2
      (*
       (cos phi2)
       (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
      (sin phi2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda2 <= -1.5e-5) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 1.55e-6) {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -1.5e-5)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 1.55e-6)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda2, -1.5e-5], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 1.55e-6], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -1.50000000000000004e-5

   1. Initial program 51.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 80.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 80.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 60.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 60.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \color{blue}{-\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if -1.50000000000000004e-5 < lambda2 < 1.55e-6

   1. Initial program 98.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 98.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 84.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

   if 1.55e-6 < lambda2

   1. Initial program 50.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 74.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 74.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 73.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -1.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 1.55 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 72.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.4 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_0\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 9.5 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -5.4e-14)
     (atan2 t_1 (- (sin phi2) (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_0))))
     (if (<= phi1 9.5e-109)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1)))))
        (sin phi2))
       (atan2 t_1 (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) t_0)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.4e-14) {
		tmp = atan2(t_1, (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_0))));
	} else if (phi1 <= 9.5e-109) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_1, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -5.4e-14)
		tmp = atan(t_1, Float64(sin(phi2) - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_0))));
	elseif (phi1 <= 9.5e-109)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1))))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_1, Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * t_0)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -5.4e-14], N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 9.5e-109], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -5.3999999999999997e-14

   1. Initial program 72.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 72.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 72.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 49.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1} \]

   if -5.3999999999999997e-14 < phi1 < 9.49999999999999933e-109

   1. Initial program 75.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \color{blue}{-\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 9.49999999999999933e-109 < phi1

   1. Initial program 82.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 82.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 61.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 61.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.4 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 9.5 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 72.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.4 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot t\_0\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 9.5 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -1.4e-16)
     (atan2 t_1 (- (sin phi2) (* (sin phi1) (* (cos phi2) t_0))))
     (if (<= phi1 9.5e-109)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
        (sin phi2))
       (atan2 t_1 (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) t_0)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.4e-16) {
		tmp = atan2(t_1, (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_0))));
	} else if (phi1 <= 9.5e-109) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_1, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-1.4d-16)) then
        tmp = atan2(t_1, (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_0))))
    else if (phi1 <= 9.5d-109) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2(t_1, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * t_0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.4e-16) {
		tmp = Math.atan2(t_1, (Math.sin(phi2) - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(phi2) * t_0))));
	} else if (phi1 <= 9.5e-109) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_1, ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -1.4e-16:
		tmp = math.atan2(t_1, (math.sin(phi2) - (math.sin(phi1) * (math.cos(phi2) * t_0))))
	elif phi1 <= 9.5e-109:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2(t_1, ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * t_0)))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -1.4e-16)
		tmp = atan(t_1, Float64(sin(phi2) - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * t_0))));
	elseif (phi1 <= 9.5e-109)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_1, Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -1.4e-16)
		tmp = atan2(t_1, (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * t_0))));
	elseif (phi1 <= 9.5e-109)
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2(t_1, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * t_0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -1.4e-16], N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 9.5e-109], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -1.4000000000000001e-16

   1. Initial program 72.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 72.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 72.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 49.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1} \]

   if -1.4000000000000001e-16 < phi1 < 9.49999999999999933e-109

   1. Initial program 75.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 9.49999999999999933e-109 < phi1

   1. Initial program 82.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 82.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 61.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 61.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.4 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 9.5 \cdot 10^{-109}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 69.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -3.6 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.15 \cdot 10^{-72}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi1 -3.6e-19)
     (atan2
      (* (cos phi2) t_0)
      (- (sin phi2) (* (sin phi1) (* (cos phi2) (cos (- lambda1 lambda2))))))
     (if (<= phi1 1.15e-72)
       (atan2
        (*
         (cos phi2)
         (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
        (sin phi2))
       (atan2
        t_0
        (-
         (* (cos phi1) (sin phi2))
         (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -3.6e-19) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else if (phi1 <= 1.15e-72) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi1 <= (-3.6d-19)) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))))
    else if (phi1 <= 1.15d-72) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -3.6e-19) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), (Math.sin(phi2) - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(phi2) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
	} else if (phi1 <= 1.15e-72) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_0, ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi1 <= -3.6e-19:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), (math.sin(phi2) - (math.sin(phi1) * (math.cos(phi2) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))
	elif phi1 <= 1.15e-72:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2(t_0, ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -3.6e-19)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(sin(phi2) - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(phi2) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))));
	elseif (phi1 <= 1.15e-72)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_0, Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -3.6e-19)
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_0), (sin(phi2) - (sin(phi1) * (cos(phi2) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	elseif (phi1 <= 1.15e-72)
		tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -3.6e-19], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 1.15e-72], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -3.6000000000000001e-19

   1. Initial program 72.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 72.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 72.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1}} \]

   7. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 49.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \phi_1} \]

   if -3.6000000000000001e-19 < phi1 < 1.14999999999999997e-72

   1. Initial program 76.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 98.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 1.14999999999999997e-72 < phi1

   1. Initial program 81.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 55.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      5. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 55.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 71.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -3.6 \cdot 10^{-19}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.15 \cdot 10^{-72}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 70.3% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -7.2 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (cos lambda1) (sin lambda2))))
          (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -7.2e-15)
     t_0
     (if (<= phi2 3600000.0)
       (atan2
        (sin (- lambda1 lambda2))
        (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -7.2e-15) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-7.2d-15)) then
        tmp = t_0
    else if (phi2 <= 3600000.0d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.cos(lambda1) * Math.sin(lambda2)))), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -7.2e-15) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.cos(lambda1) * math.sin(lambda2)))), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -7.2e-15:
		tmp = t_0
	elif phi2 <= 3600000.0:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -7.2e-15)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (cos(lambda1) * sin(lambda2)))), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -7.2e-15)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -7.2e-15], t$95$0, If[LessEqual[phi2, 3600000.0], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -7.2000000000000002e-15 or 3.6e6 < phi2

   1. Initial program 72.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 90.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 90.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 60.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 60.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if -7.2000000000000002e-15 < phi2 < 3.6e6

   1. Initial program 81.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 81.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      5. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -7.2 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 64.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.027:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (- 0.0 (sin lambda2))))
          (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -0.027)
     t_0
     (if (<= phi2 3600000.0)
       (atan2
        (sin (- lambda1 lambda2))
        (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (0.0 - sin(lambda2)))), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.027) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(0.0 - sin(lambda2)))), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.027)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.027], t$95$0, If[LessEqual[phi2, 3600000.0], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -0.0269999999999999997 or 3.6e6 < phi2

   1. Initial program 72.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 90.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 90.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 44.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 44.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \color{blue}{0 - \sin \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if -0.0269999999999999997 < phi2 < 3.6e6

   1. Initial program 81.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 80.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      5. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 80.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.027:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, 0 - \sin \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 64.1% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.035:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (atan2 (* (cos phi2) t_0) (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -0.035)
     t_1
     (if (<= phi2 3600000.0)
       (atan2
        t_0
        (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.035) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-0.035d0)) then
        tmp = t_1
    else if (phi2 <= 3600000.0d0) then
        tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.035) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = Math.atan2(t_0, ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.035:
		tmp = t_1
	elif phi2 <= 3600000.0:
		tmp = math.atan2(t_0, ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.035)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan(t_0, Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.035)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan2(t_0, ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.035], t$95$1, If[LessEqual[phi2, 3600000.0], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -0.035000000000000003 or 3.6e6 < phi2

   1. Initial program 72.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 90.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 90.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      5. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_2}\right) \]

      7. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_2\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 42.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}} \]

   if -0.035000000000000003 < phi2 < 3.6e6

   1. Initial program 81.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 80.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      5. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 80.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.035:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 64.0% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.0235:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (atan2 (* (cos phi2) t_0) (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -0.0235)
     t_1
     (if (<= phi2 3600000.0)
       (atan2
        t_0
        (- (* phi2 (cos phi1)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.0235) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-0.0235d0)) then
        tmp = t_1
    else if (phi2 <= 3600000.0d0) then
        tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.0235) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = Math.atan2(t_0, ((phi2 * Math.cos(phi1)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.0235:
		tmp = t_1
	elif phi2 <= 3600000.0:
		tmp = math.atan2(t_0, ((phi2 * math.cos(phi1)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.0235)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan(t_0, Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.0235)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.0235], t$95$1, If[LessEqual[phi2, 3600000.0], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -0.0235 or 3.6e6 < phi2

   1. Initial program 72.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 90.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 90.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      5. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_2}\right) \]

      7. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_2\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 42.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 42.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}} \]

   if -0.0235 < phi2 < 3.6e6

   1. Initial program 81.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 80.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \cos \phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      13. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 80.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.0235:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 62.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.8 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (atan2 (* (cos phi2) t_0) (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -4.8e-11)
     t_1
     (if (<= phi2 3600000.0)
       (atan2 t_0 (* (cos (- lambda2 lambda1)) (- 0.0 (sin phi1))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.8e-11) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = atan2(t_0, (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-4.8d-11)) then
        tmp = t_1
    else if (phi2 <= 3600000.0d0) then
        tmp = atan2(t_0, (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4.8e-11) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 3600000.0) {
		tmp = Math.atan2(t_0, (Math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -4.8e-11:
		tmp = t_1
	elif phi2 <= 3600000.0:
		tmp = math.atan2(t_0, (math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -4.8e-11)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan(t_0, Float64(cos(Float64(lambda2 - lambda1)) * Float64(0.0 - sin(phi1))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -4.8e-11)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 3600000.0)
		tmp = atan2(t_0, (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -4.8e-11], t$95$1, If[LessEqual[phi2, 3600000.0], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -4.8000000000000002e-11 or 3.6e6 < phi2

   1. Initial program 72.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 91.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 91.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 60.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 60.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      5. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_2}\right) \]

      7. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_2\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 43.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 43.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}} \]

   if -4.8000000000000002e-11 < phi2 < 3.6e6

   1. Initial program 80.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 80.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      5. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      7. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      9. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 77.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4.8 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 3600000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 37.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -3 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{0 - \sin \lambda_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 7.6 \cdot 10^{-149}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda2 -3e+28)
   (atan2 (- 0.0 (sin lambda2)) (sin phi2))
   (if (<= lambda2 7.6e-149)
     (atan2 (* (sin lambda1) (cos phi2)) (sin phi2))
     (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda2 <= -3e+28) {
		tmp = atan2((0.0 - sin(lambda2)), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 7.6e-149) {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda2 <= (-3d+28)) then
        tmp = atan2((0.0d0 - sin(lambda2)), sin(phi2))
    else if (lambda2 <= 7.6d-149) then
        tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda2 <= -3e+28) {
		tmp = Math.atan2((0.0 - Math.sin(lambda2)), Math.sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 7.6e-149) {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda1) * Math.cos(phi2)), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda2 <= -3e+28:
		tmp = math.atan2((0.0 - math.sin(lambda2)), math.sin(phi2))
	elif lambda2 <= 7.6e-149:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda1) * math.cos(phi2)), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -3e+28)
		tmp = atan(Float64(0.0 - sin(lambda2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 7.6e-149)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -3e+28)
		tmp = atan2((0.0 - sin(lambda2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 7.6e-149)
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda2, -3e+28], N[ArcTan[N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 7.6e-149], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -3.0000000000000001e28

   1. Initial program 51.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 40.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 28.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 28.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 31.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   11. Simplified 31.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{0 - \sin \lambda_2}}{\sin \phi_2} \]

   if -3.0000000000000001e28 < lambda2 < 7.6000000000000001e-149

   1. Initial program 97.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 98.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 55.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 55.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 49.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 49.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if 7.6000000000000001e-149 < lambda2

   1. Initial program 64.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 46.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 46.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 34.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 34.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 25: 49.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4.5 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 -4.5e+55)
   (atan2 (* (sin lambda1) (cos phi2)) (sin phi2))
   (atan2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))) (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4.5e+55) {
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= (-4.5d+55)) then
        tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4.5e+55) {
		tmp = Math.atan2((Math.sin(lambda1) * Math.cos(phi2)), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= -4.5e+55:
		tmp = math.atan2((math.sin(lambda1) * math.cos(phi2)), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -4.5e+55)
		tmp = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -4.5e+55)
		tmp = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, -4.5e+55], N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -4.49999999999999998e55

   1. Initial program 52.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 77.6%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 77.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 57.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 57.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 40.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   10. Simplified 40.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

   if -4.49999999999999998e55 < lambda1

   1. Initial program 83.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 92.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 92.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 57.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \cos \lambda_1 \cdot \left(0 - \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right) \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      3. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2} \]

      5. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_2}\right) \]

      7. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \sin \phi_2\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \sin \phi_2\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 48.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 48.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4.5 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 26: 31.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -2.6 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 -2.6e+61)
   (atan2 (sin lambda1) (sin phi2))
   (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -2.6e+61) {
		tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= (-2.6d+61)) then
        tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2))
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -2.6e+61) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin(lambda1), Math.sin(phi2));
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= -2.6e+61:
		tmp = math.atan2(math.sin(lambda1), math.sin(phi2))
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -2.6e+61)
		tmp = atan(sin(lambda1), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -2.6e+61)
		tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2));
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, -2.6e+61], N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -2.59999999999999973e61

   1. Initial program 53.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 33.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 33.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 23.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 23.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 30.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

   11. Simplified 30.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]

   if -2.59999999999999973e61 < lambda1

   1. Initial program 83.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 55.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 35.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 35.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 27: 31.7% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -340:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{0 - \sin \lambda_2}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 -340.0)
   (atan2 (- 0.0 (sin lambda2)) phi2)
   (atan2
    (sin (- lambda1 lambda2))
    (*
     phi2
     (+
      1.0
      (*
       (* phi2 phi2)
       (+
        (*
         (* phi2 phi2)
         (+ 0.008333333333333333 (* (* phi2 phi2) -0.0001984126984126984)))
        -0.16666666666666666)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -340.0) {
		tmp = atan2((0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (((phi2 * phi2) * (0.008333333333333333 + ((phi2 * phi2) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= (-340.0d0)) then
        tmp = atan2((0.0d0 - sin(lambda2)), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0d0 + ((phi2 * phi2) * (((phi2 * phi2) * (0.008333333333333333d0 + ((phi2 * phi2) * (-0.0001984126984126984d0)))) + (-0.16666666666666666d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -340.0) {
		tmp = Math.atan2((0.0 - Math.sin(lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (((phi2 * phi2) * (0.008333333333333333 + ((phi2 * phi2) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= -340.0:
		tmp = math.atan2((0.0 - math.sin(lambda2)), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (((phi2 * phi2) * (0.008333333333333333 + ((phi2 * phi2) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -340.0)
		tmp = atan(Float64(0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(phi2 * Float64(1.0 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * Float64(Float64(Float64(phi2 * phi2) * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -340.0)
		tmp = atan2((0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * (((phi2 * phi2) * (0.008333333333333333 + ((phi2 * phi2) * -0.0001984126984126984))) + -0.16666666666666666)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, -340.0], N[ArcTan[N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(phi2 * N[(1.0 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -340

   1. Initial program 63.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 13.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 13.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 12.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 12.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 11.3%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   12. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}, \phi_2\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 13.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

   14. Simplified 13.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{0 - \sin \lambda_2}}{\phi_2} \]

   if -340 < phi2

   1. Initial program 81.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 63.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 39.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 39.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \left(1 + {\phi_2}^{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\left(1 + {\phi_2}^{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({\phi_2}^{2} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\phi_2}^{2}\right), \color{blue}{\left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right), \left(\color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \left(\color{blue}{{\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\phi_2}^{2}\right), \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right), \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({\phi_2}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\phi_2}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 40.7%

           \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \phi_2\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 40.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + -0.16666666666666666\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 28: 31.7% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -340:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{0 - \sin \lambda_2}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 -340.0)
   (atan2 (- 0.0 (sin lambda2)) phi2)
   (atan2
    (sin (- lambda1 lambda2))
    (* phi2 (+ 1.0 (* (* phi2 phi2) -0.16666666666666666))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -340.0) {
		tmp = atan2((0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= (-340.0d0)) then
        tmp = atan2((0.0d0 - sin(lambda2)), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0d0 + ((phi2 * phi2) * (-0.16666666666666666d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= -340.0) {
		tmp = Math.atan2((0.0 - Math.sin(lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= -340.0:
		tmp = math.atan2((0.0 - math.sin(lambda2)), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -340.0)
		tmp = atan(Float64(0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(phi2 * Float64(1.0 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -340.0)
		tmp = atan2((0.0 - sin(lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, -340.0], N[ArcTan[N[(0.0 - N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(phi2 * N[(1.0 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -340

   1. Initial program 63.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 13.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 13.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 12.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 12.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 11.3%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   12. Taylor expanded in lambda1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}, \phi_2\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sin-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(0 - \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \lambda_2\right), \phi_2\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 13.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \phi_2\right) \]

   14. Simplified 13.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{0 - \sin \lambda_2}}{\phi_2} \]

   if -340 < phi2

   1. Initial program 81.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 63.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 39.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 39.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\phi_2 \cdot \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 40.7%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 40.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 33.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -340:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{0 - \sin \lambda_2}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 29: 29.0% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= lambda1 -4e+61)
   (atan2 (sin lambda1) phi2)
   (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) phi2)))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4e+61) {
		tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (lambda1 <= (-4d+61)) then
        tmp = atan2(sin(lambda1), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4e+61) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin(lambda1), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if lambda1 <= -4e+61:
		tmp = math.atan2(math.sin(lambda1), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -4e+61)
		tmp = atan(sin(lambda1), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), phi2);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -4e+61)
		tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[lambda1, -4e+61], N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -3.9999999999999998e61

   1. Initial program 53.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 33.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 33.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 23.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 23.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 21.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   12. Taylor expanded in lambda2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \phi_2\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 29.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \phi_2\right) \]

   14. Simplified 29.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\phi_2} \]

   if -3.9999999999999998e61 < lambda1

   1. Initial program 83.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 55.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 35.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 35.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 31.4%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 30: 21.7% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin lambda1) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin(lambda1), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin(lambda1), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin(lambda1), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin(lambda1), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(lambda1), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 77.0%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 50.8%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 32.7%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

8. Simplified 32.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

9. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 29.4%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

12. Taylor expanded in lambda2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \phi_2\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. sin-lowering-sin.f64 24.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \phi_2\right) \]

14. Simplified 24.0%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\phi_2} \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Bearing on a great circle"
  :precision binary64
  (atan2 (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2)) (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))