math.sin on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 54.5% → 99.9%

Time: 15.7s

Alternatives: 28

Speedup: 12.3×

• 49.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.2:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.2)
      (* (* 0.5 (cos re)) (/ 1.0 (/ 1.0 t_0)))
      (*
       (* im_m (cos re))
       (+
        -1.0
        (*
         (* im_m im_m)
         (+
          -0.16666666666666666
          (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.2) {
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (1.0 / (1.0 / t_0));
	} else {
		tmp = (im_m * cos(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.2d0)) then
        tmp = (0.5d0 * cos(re)) * (1.0d0 / (1.0d0 / t_0))
    else
        tmp = (im_m * cos(re)) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.2) {
		tmp = (0.5 * Math.cos(re)) * (1.0 / (1.0 / t_0));
	} else {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.2:
		tmp = (0.5 * math.cos(re)) * (1.0 / (1.0 / t_0))
	else:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.2)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(1.0 / Float64(1.0 / t_0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.2)
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (1.0 / (1.0 / t_0));
	else
		tmp = (im_m * cos(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.2], N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im)) < -0.20000000000000001

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{0 - im} + e^{im}}}\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{0 - im} + e^{im}}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} - e^{im} \cdot e^{im}}}}\right)\right) \]

      3. exp-0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{0}}{\frac{\color{blue}{e^{0 - im} + e^{im}}}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} - e^{im} \cdot e^{im}}}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{0}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{0 - im} + e^{im}}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right)\right) \]

      5. exp-0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\color{blue}{e^{0 - im} + e^{im}}}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{0 - im} + e^{im}}}}\right)\right)\right) \]

      7. exp-0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{e^{0}}{\frac{\color{blue}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} - e^{im} \cdot e^{im}}}{e^{0 - im} + e^{im}}}\right)\right)\right) \]

      8. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{e^{0}}{e^{0 - im} - \color{blue}{e^{im}}}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{0}\right), \color{blue}{\left(e^{0 - im} - e^{im}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\color{blue}{e^{0 - im}} - e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{0 - im}\right), \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - im\right)\right), \left(e^{\color{blue}{im}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. exp-lowering-exp.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{e^{0 - im} - e^{im}}}} \]

   if -0.20000000000000001 < (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 45.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \cos re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 90.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -0.2:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{e^{0 - im} - e^{im}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.2:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.2)
      (* t_0 (* 0.5 (cos re)))
      (*
       (* im_m (cos re))
       (+
        -1.0
        (*
         (* im_m im_m)
         (+
          -0.16666666666666666
          (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.2) {
		tmp = t_0 * (0.5 * cos(re));
	} else {
		tmp = (im_m * cos(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.2d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * cos(re))
    else
        tmp = (im_m * cos(re)) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.2) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.cos(re));
	} else {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.2:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.cos(re))
	else:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.2)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * cos(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.2)
		tmp = t_0 * (0.5 * cos(re));
	else
		tmp = (im_m * cos(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.2], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im)) < -0.20000000000000001

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.20000000000000001 < (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 45.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \cos re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 90.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -0.2:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ t_2 := -0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot 0.0001984126984126984\\ t_3 := \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ t_4 := 1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot \frac{-1 + t\_1 \cdot \left(t\_3 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)}{1 + t\_1 \cdot \left(t\_1 - -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;e^{im\_m} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im\_m}}\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\frac{im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-1 + t\_3 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.004629629629629629\right)\right) \cdot t\_2 + t\_3 \cdot \left(t\_4 \cdot \left(6.944444444444444 \cdot 10^{-5} + t\_3 \cdot -3.936759889140842 \cdot 10^{-8}\right)\right)\right)\right)}{t\_2 \cdot t\_4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -0.16666666666666666
          (*
           im_m
           (*
            im_m
            (+
             -0.008333333333333333
             (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984)))))))
        (t_1 (* im_m (* im_m t_0)))
        (t_2 (+ -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) 0.0001984126984126984)))
        (t_3 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)))
        (t_4
         (+
          1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             -0.16666666666666666
             (* im_m (* im_m -0.16666666666666666))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 1.0)
      (*
       (* im_m (cos re))
       (/ (+ -1.0 (* t_1 (* t_3 (* t_0 t_0)))) (+ 1.0 (* t_1 (- t_1 -1.0)))))
      (if (<= im_m 2.5e+24)
        (+ (* (exp im_m) -0.5) (/ 0.5 (exp im_m)))
        (if (<= im_m 4.6e+44)
          (/
           (*
            im_m
            (*
             (cos re)
             (+
              (* (+ -1.0 (* t_3 (* (* im_m im_m) -0.004629629629629629))) t_2)
              (*
               t_3
               (*
                t_4
                (+ 6.944444444444444e-5 (* t_3 -3.936759889140842e-8)))))))
           (* t_2 t_4))
          (*
           im_m
           (*
            (cos re)
            (+
             -1.0
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.16666666666666666
               (*
                im_m
                (*
                 im_m
                 (+
                  -0.008333333333333333
                  (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	double t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	double t_2 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * 0.0001984126984126984);
	double t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	double t_4 = 1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 1.0) {
		tmp = (im_m * cos(re)) * ((-1.0 + (t_1 * (t_3 * (t_0 * t_0)))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 - -1.0))));
	} else if (im_m <= 2.5e+24) {
		tmp = (exp(im_m) * -0.5) + (0.5 / exp(im_m));
	} else if (im_m <= 4.6e+44) {
		tmp = (im_m * (cos(re) * (((-1.0 + (t_3 * ((im_m * im_m) * -0.004629629629629629))) * t_2) + (t_3 * (t_4 * (6.944444444444444e-5 + (t_3 * -3.936759889140842e-8))))))) / (t_2 * t_4);
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))))
    t_1 = im_m * (im_m * t_0)
    t_2 = (-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * 0.0001984126984126984d0)
    t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m)
    t_4 = 1.0d0 + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0))))))
    if (im_m <= 1.0d0) then
        tmp = (im_m * cos(re)) * (((-1.0d0) + (t_1 * (t_3 * (t_0 * t_0)))) / (1.0d0 + (t_1 * (t_1 - (-1.0d0)))))
    else if (im_m <= 2.5d+24) then
        tmp = (exp(im_m) * (-0.5d0)) + (0.5d0 / exp(im_m))
    else if (im_m <= 4.6d+44) then
        tmp = (im_m * (cos(re) * ((((-1.0d0) + (t_3 * ((im_m * im_m) * (-0.004629629629629629d0)))) * t_2) + (t_3 * (t_4 * (6.944444444444444d-5 + (t_3 * (-3.936759889140842d-8)))))))) / (t_2 * t_4)
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	double t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	double t_2 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * 0.0001984126984126984);
	double t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	double t_4 = 1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 1.0) {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * ((-1.0 + (t_1 * (t_3 * (t_0 * t_0)))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 - -1.0))));
	} else if (im_m <= 2.5e+24) {
		tmp = (Math.exp(im_m) * -0.5) + (0.5 / Math.exp(im_m));
	} else if (im_m <= 4.6e+44) {
		tmp = (im_m * (Math.cos(re) * (((-1.0 + (t_3 * ((im_m * im_m) * -0.004629629629629629))) * t_2) + (t_3 * (t_4 * (6.944444444444444e-5 + (t_3 * -3.936759889140842e-8))))))) / (t_2 * t_4);
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))))
	t_1 = im_m * (im_m * t_0)
	t_2 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * 0.0001984126984126984)
	t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m)
	t_4 = 1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 1.0:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * ((-1.0 + (t_1 * (t_3 * (t_0 * t_0)))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 - -1.0))))
	elif im_m <= 2.5e+24:
		tmp = (math.exp(im_m) * -0.5) + (0.5 / math.exp(im_m))
	elif im_m <= 4.6e+44:
		tmp = (im_m * (math.cos(re) * (((-1.0 + (t_3 * ((im_m * im_m) * -0.004629629629629629))) * t_2) + (t_3 * (t_4 * (6.944444444444444e-5 + (t_3 * -3.936759889140842e-8))))))) / (t_2 * t_4)
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984))))))
	t_1 = Float64(im_m * Float64(im_m * t_0))
	t_2 = Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * 0.0001984126984126984))
	t_3 = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))
	t_4 = Float64(1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.0)
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * Float64(Float64(-1.0 + Float64(t_1 * Float64(t_3 * Float64(t_0 * t_0)))) / Float64(1.0 + Float64(t_1 * Float64(t_1 - -1.0)))));
	elseif (im_m <= 2.5e+24)
		tmp = Float64(Float64(exp(im_m) * -0.5) + Float64(0.5 / exp(im_m)));
	elseif (im_m <= 4.6e+44)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(Float64(Float64(-1.0 + Float64(t_3 * Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.004629629629629629))) * t_2) + Float64(t_3 * Float64(t_4 * Float64(6.944444444444444e-5 + Float64(t_3 * -3.936759889140842e-8))))))) / Float64(t_2 * t_4));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	t_2 = -0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * 0.0001984126984126984);
	t_3 = (im_m * im_m) * (im_m * im_m);
	t_4 = 1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.0)
		tmp = (im_m * cos(re)) * ((-1.0 + (t_1 * (t_3 * (t_0 * t_0)))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 - -1.0))));
	elseif (im_m <= 2.5e+24)
		tmp = (exp(im_m) * -0.5) + (0.5 / exp(im_m));
	elseif (im_m <= 4.6e+44)
		tmp = (im_m * (cos(re) * (((-1.0 + (t_3 * ((im_m * im_m) * -0.004629629629629629))) * t_2) + (t_3 * (t_4 * (6.944444444444444e-5 + (t_3 * -3.936759889140842e-8))))))) / (t_2 * t_4);
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.0], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$3 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.5e+24], N[(N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision] + N[(0.5 / N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.6e+44], N[(N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-1.0 + N[(t$95$3 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.004629629629629629), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 * N[(t$95$4 * N[(6.944444444444444e-5 + N[(t$95$3 * -3.936759889140842e-8), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$2 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 1

   1. Initial program 46.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 92.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 92.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip3-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{-1}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)}^{3}}{-1 \cdot -1 + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({-1}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right), \left(-1 \cdot -1 + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 61.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) - -1\right)}} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]

   if 1 < im < 2.50000000000000023e24

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right) \]

      3. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2} \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{im} \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(im\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      12. exp-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{\color{blue}{im}}}\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right) \]

      16. exp-lowering-exp.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}} \]

   if 2.50000000000000023e24 < im < 4.60000000000000009e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 7.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 81.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\frac{\left(-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.004629629629629629\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 - \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + \left(1 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666 - -1\right)\right) \cdot \left(\left(6.944444444444444 \cdot 10^{-5} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot 3.936759889140842 \cdot 10^{-8}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{\left(1 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666 - -1\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 - \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)}}\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\cos re \cdot \left(\left(-1 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.004629629629629629\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.0001984126984126984\right) + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(6.944444444444444 \cdot 10^{-5} + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -3.936759889140842 \cdot 10^{-8}\right)\right)\right)\right) \cdot im}{\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.0001984126984126984\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + -0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if 4.60000000000000009e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 70.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \frac{-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) - -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;e^{im} \cdot -0.5 + \frac{0.5}{e^{im}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-1 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.004629629629629629\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.0001984126984126984\right) + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(6.944444444444444 \cdot 10^{-5} + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -3.936759889140842 \cdot 10^{-8}\right)\right)\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.0001984126984126984\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ t_1 := \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666 - -1\\ t_2 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ t_3 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ t_4 := -0.008333333333333333 - \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.05 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot \frac{-1 + t\_3 \cdot \left(\left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)}{1 + t\_3 \cdot \left(t\_3 - -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.3 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \frac{\left(-1 + t\_2 \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot t\_4 + t\_1 \cdot \left(t\_2 \cdot \left(6.944444444444444 \cdot 10^{-5} - t\_2 \cdot 3.936759889140842 \cdot 10^{-8}\right)\right)}{t\_4 \cdot t\_1}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -0.16666666666666666
          (*
           im_m
           (*
            im_m
            (+
             -0.008333333333333333
             (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984)))))))
        (t_1 (- (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666) -1.0))
        (t_2 (* im_m (* im_m (* im_m im_m))))
        (t_3 (* im_m (* im_m t_0)))
        (t_4
         (- -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 2.05e+26)
      (*
       (* im_m (cos re))
       (/
        (+ -1.0 (* t_3 (* (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)) (* t_0 t_0))))
        (+ 1.0 (* t_3 (- t_3 -1.0)))))
      (if (<= im_m 1.3e+62)
        (*
         im_m
         (*
          (cos re)
          (/
           (+
            (* (+ -1.0 (* t_2 0.027777777777777776)) t_4)
            (*
             t_1
             (* t_2 (- 6.944444444444444e-5 (* t_2 3.936759889140842e-8)))))
           (* t_4 t_1))))
        (*
         im_m
         (*
          (cos re)
          (+
           -1.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.16666666666666666
             (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	double t_1 = ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666) - -1.0;
	double t_2 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	double t_3 = im_m * (im_m * t_0);
	double t_4 = -0.008333333333333333 - ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	double tmp;
	if (im_m <= 2.05e+26) {
		tmp = (im_m * cos(re)) * ((-1.0 + (t_3 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (1.0 + (t_3 * (t_3 - -1.0))));
	} else if (im_m <= 1.3e+62) {
		tmp = im_m * (cos(re) * ((((-1.0 + (t_2 * 0.027777777777777776)) * t_4) + (t_1 * (t_2 * (6.944444444444444e-5 - (t_2 * 3.936759889140842e-8))))) / (t_4 * t_1)));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))))
    t_1 = ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)) - (-1.0d0)
    t_2 = im_m * (im_m * (im_m * im_m))
    t_3 = im_m * (im_m * t_0)
    t_4 = (-0.008333333333333333d0) - ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))
    if (im_m <= 2.05d+26) then
        tmp = (im_m * cos(re)) * (((-1.0d0) + (t_3 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (1.0d0 + (t_3 * (t_3 - (-1.0d0)))))
    else if (im_m <= 1.3d+62) then
        tmp = im_m * (cos(re) * (((((-1.0d0) + (t_2 * 0.027777777777777776d0)) * t_4) + (t_1 * (t_2 * (6.944444444444444d-5 - (t_2 * 3.936759889140842d-8))))) / (t_4 * t_1)))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	double t_1 = ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666) - -1.0;
	double t_2 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	double t_3 = im_m * (im_m * t_0);
	double t_4 = -0.008333333333333333 - ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	double tmp;
	if (im_m <= 2.05e+26) {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * ((-1.0 + (t_3 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (1.0 + (t_3 * (t_3 - -1.0))));
	} else if (im_m <= 1.3e+62) {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * ((((-1.0 + (t_2 * 0.027777777777777776)) * t_4) + (t_1 * (t_2 * (6.944444444444444e-5 - (t_2 * 3.936759889140842e-8))))) / (t_4 * t_1)));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))))
	t_1 = ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666) - -1.0
	t_2 = im_m * (im_m * (im_m * im_m))
	t_3 = im_m * (im_m * t_0)
	t_4 = -0.008333333333333333 - ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)
	tmp = 0
	if im_m <= 2.05e+26:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * ((-1.0 + (t_3 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (1.0 + (t_3 * (t_3 - -1.0))))
	elif im_m <= 1.3e+62:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * ((((-1.0 + (t_2 * 0.027777777777777776)) * t_4) + (t_1 * (t_2 * (6.944444444444444e-5 - (t_2 * 3.936759889140842e-8))))) / (t_4 * t_1)))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984))))))
	t_1 = Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666) - -1.0)
	t_2 = Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))
	t_3 = Float64(im_m * Float64(im_m * t_0))
	t_4 = Float64(-0.008333333333333333 - Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.05e+26)
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * Float64(Float64(-1.0 + Float64(t_3 * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)) * Float64(t_0 * t_0)))) / Float64(1.0 + Float64(t_3 * Float64(t_3 - -1.0)))));
	elseif (im_m <= 1.3e+62)
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(Float64(Float64(Float64(-1.0 + Float64(t_2 * 0.027777777777777776)) * t_4) + Float64(t_1 * Float64(t_2 * Float64(6.944444444444444e-5 - Float64(t_2 * 3.936759889140842e-8))))) / Float64(t_4 * t_1))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	t_1 = ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666) - -1.0;
	t_2 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	t_3 = im_m * (im_m * t_0);
	t_4 = -0.008333333333333333 - ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.05e+26)
		tmp = (im_m * cos(re)) * ((-1.0 + (t_3 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (1.0 + (t_3 * (t_3 - -1.0))));
	elseif (im_m <= 1.3e+62)
		tmp = im_m * (cos(re) * ((((-1.0 + (t_2 * 0.027777777777777776)) * t_4) + (t_1 * (t_2 * (6.944444444444444e-5 - (t_2 * 3.936759889140842e-8))))) / (t_4 * t_1)));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - -1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(-0.008333333333333333 - N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.05e+26], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 + N[(t$95$3 * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$3 * N[(t$95$3 - -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.3e+62], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(-1.0 + N[(t$95$2 * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$4), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(t$95$2 * N[(6.944444444444444e-5 - N[(t$95$2 * 3.936759889140842e-8), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$4 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.04999999999999992e26

   1. Initial program 48.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 88.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 88.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip3-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{-1}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)}^{3}}{-1 \cdot -1 + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({-1}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)}^{3}\right), \left(-1 \cdot -1 + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 62.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) - -1\right)}} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]

   if 2.04999999999999992e26 < im < 1.29999999999999992e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.9%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot 0.027777777777777776 - 1\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 - \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666 - -1\right) \cdot \left(\left(6.944444444444444 \cdot 10^{-5} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot 3.936759889140842 \cdot 10^{-8}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666 - -1\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 - \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)}}\right) \]

   if 1.29999999999999992e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 69.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.05 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \frac{-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) - -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.3 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \frac{\left(-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 - \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666 - -1\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(6.944444444444444 \cdot 10^{-5} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot 3.936759889140842 \cdot 10^{-8}\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 - \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666 - -1\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.9% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.2:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{1}{1 + im\_m \cdot \left(1 + im\_m \cdot \left(0.5 + im\_m \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.008333333333333333
               (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 5.2)
      (* (* im_m (cos re)) t_0)
      (if (<= im_m 4e+44)
        (*
         (-
          (/
           1.0
           (+
            1.0
            (* im_m (+ 1.0 (* im_m (+ 0.5 (* im_m 0.16666666666666666)))))))
          (exp im_m))
         (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))))
        (* im_m (* (cos re) t_0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.2) {
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	} else if (im_m <= 4e+44) {
		tmp = ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * (0.5 + (im_m * 0.16666666666666666))))))) - exp(im_m)) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))
    if (im_m <= 5.2d0) then
        tmp = (im_m * cos(re)) * t_0
    else if (im_m <= 4d+44) then
        tmp = ((1.0d0 / (1.0d0 + (im_m * (1.0d0 + (im_m * (0.5d0 + (im_m * 0.16666666666666666d0))))))) - exp(im_m)) * (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re)))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.2) {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * t_0;
	} else if (im_m <= 4e+44) {
		tmp = ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * (0.5 + (im_m * 0.16666666666666666))))))) - Math.exp(im_m)) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 5.2:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * t_0
	elif im_m <= 4e+44:
		tmp = ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * (0.5 + (im_m * 0.16666666666666666))))))) - math.exp(im_m)) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.2)
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * t_0);
	elseif (im_m <= 4e+44)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(im_m * Float64(1.0 + Float64(im_m * Float64(0.5 + Float64(im_m * 0.16666666666666666))))))) - exp(im_m)) * Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.2)
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	elseif (im_m <= 4e+44)
		tmp = ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * (0.5 + (im_m * 0.16666666666666666))))))) - exp(im_m)) * (0.5 + (-0.25 * (re * re)));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.2], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4e+44], N[(N[(N[(1.0 / N[(1.0 + N[(im$95$m * N[(1.0 + N[(im$95$m * N[(0.5 + N[(im$95$m * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 5.20000000000000018

   1. Initial program 46.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 92.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 92.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]

   if 5.20000000000000018 < im < 4.0000000000000004e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 61.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(1 + im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 61.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 61.5%

      \[\leadsto \left(\frac{1}{\color{blue}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot \left(0.5 + im \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]

   if 4.0000000000000004e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.2:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{1}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot \left(0.5 + im \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.9% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.4:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.8 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{1 + im\_m \cdot \left(1 + im\_m \cdot 0.5\right)} - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.008333333333333333
               (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 5.4)
      (* (* im_m (cos re)) t_0)
      (if (<= im_m 3.8e+44)
        (*
         (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
         (- (/ 1.0 (+ 1.0 (* im_m (+ 1.0 (* im_m 0.5))))) (exp im_m)))
        (* im_m (* (cos re) t_0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.4) {
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	} else if (im_m <= 3.8e+44) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))
    if (im_m <= 5.4d0) then
        tmp = (im_m * cos(re)) * t_0
    else if (im_m <= 3.8d+44) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((1.0d0 / (1.0d0 + (im_m * (1.0d0 + (im_m * 0.5d0))))) - exp(im_m))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.4) {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * t_0;
	} else if (im_m <= 3.8e+44) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 5.4:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * t_0
	elif im_m <= 3.8e+44:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.4)
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * t_0);
	elseif (im_m <= 3.8e+44)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(im_m * Float64(1.0 + Float64(im_m * 0.5))))) - exp(im_m)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.4)
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	elseif (im_m <= 3.8e+44)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - exp(im_m));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.4], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.8e+44], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / N[(1.0 + N[(im$95$m * N[(1.0 + N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 5.4000000000000004

   1. Initial program 46.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 92.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 92.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]

   if 5.4000000000000004 < im < 3.8000000000000002e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 61.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 61.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \left(\frac{1}{\color{blue}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot 0.5\right)}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]

   if 3.8000000000000002e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.4:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.8 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot 0.5\right)} - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.9% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.2:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{1 + im\_m \cdot \left(1 + im\_m \cdot 0.5\right)} - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (*
           (cos re)
           (+
            -1.0
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.16666666666666666
              (*
               im_m
               (*
                im_m
                (+
                 -0.008333333333333333
                 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 5.2)
      t_0
      (if (<= im_m 3.6e+44)
        (*
         (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
         (- (/ 1.0 (+ 1.0 (* im_m (+ 1.0 (* im_m 0.5))))) (exp im_m)))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.2) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.6e+44) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - exp(im_m));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    if (im_m <= 5.2d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 3.6d+44) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((1.0d0 / (1.0d0 + (im_m * (1.0d0 + (im_m * 0.5d0))))) - exp(im_m))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.2) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.6e+44) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 5.2:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 3.6e+44:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.2)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.6e+44)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(im_m * Float64(1.0 + Float64(im_m * 0.5))))) - exp(im_m)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.2)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.6e+44)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - exp(im_m));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.2], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 3.6e+44], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / N[(1.0 + N[(im$95$m * N[(1.0 + N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5.20000000000000018 or 3.6e44 < im

   1. Initial program 57.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 94.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.3%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   if 5.20000000000000018 < im < 3.6e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 61.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 61.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 61.2%

      \[\leadsto \left(\frac{1}{\color{blue}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot 0.5\right)}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.2:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.6 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot 0.5\right)} - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.0% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.8:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{1 + im\_m \cdot \left(1 + im\_m \cdot 0.5\right)} - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 5.8)
      (* (* im_m (cos re)) t_0)
      (if (<= im_m 9e+59)
        (*
         (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
         (- (/ 1.0 (+ 1.0 (* im_m (+ 1.0 (* im_m 0.5))))) (exp im_m)))
        (* im_m (* (cos re) t_0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.8) {
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	} else if (im_m <= 9e+59) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))
    if (im_m <= 5.8d0) then
        tmp = (im_m * cos(re)) * t_0
    else if (im_m <= 9d+59) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((1.0d0 / (1.0d0 + (im_m * (1.0d0 + (im_m * 0.5d0))))) - exp(im_m))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.8) {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * t_0;
	} else if (im_m <= 9e+59) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))
	tmp = 0
	if im_m <= 5.8:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * t_0
	elif im_m <= 9e+59:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.8)
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * t_0);
	elseif (im_m <= 9e+59)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(im_m * Float64(1.0 + Float64(im_m * 0.5))))) - exp(im_m)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.8)
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	elseif (im_m <= 9e+59)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (1.0 + (im_m * (1.0 + (im_m * 0.5))))) - exp(im_m));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.8], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 9e+59], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / N[(1.0 + N[(im$95$m * N[(1.0 + N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 5.79999999999999982

   1. Initial program 46.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \cos re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 90.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   if 5.79999999999999982 < im < 8.99999999999999919e59

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 66.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.4%

      \[\leadsto \left(\frac{1}{\color{blue}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot 0.5\right)}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]

   if 8.99999999999999919e59 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 90.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.8:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{1 + im \cdot \left(1 + im \cdot 0.5\right)} - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.0% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.5:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{im\_m + 1} - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 5.5)
      (* (* im_m (cos re)) t_0)
      (if (<= im_m 9e+59)
        (* (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))) (- (/ 1.0 (+ im_m 1.0)) (exp im_m)))
        (* im_m (* (cos re) t_0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.5) {
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	} else if (im_m <= 9e+59) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))
    if (im_m <= 5.5d0) then
        tmp = (im_m * cos(re)) * t_0
    else if (im_m <= 9d+59) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((1.0d0 / (im_m + 1.0d0)) - exp(im_m))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.5) {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * t_0;
	} else if (im_m <= 9e+59) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))
	tmp = 0
	if im_m <= 5.5:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * t_0
	elif im_m <= 9e+59:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.5)
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * t_0);
	elseif (im_m <= 9e+59)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(Float64(1.0 / Float64(im_m + 1.0)) - exp(im_m)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.5)
		tmp = (im_m * cos(re)) * t_0;
	elseif (im_m <= 9e+59)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - exp(im_m));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.5], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 9e+59], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / N[(im$95$m + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 5.5

   1. Initial program 46.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \cos re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 90.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   if 5.5 < im < 8.99999999999999919e59

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(im + 1\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 66.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(im, 1\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.1%

      \[\leadsto \left(\frac{1}{\color{blue}{im + 1}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]

   if 8.99999999999999919e59 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 90.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.5:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{im + 1} - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 97.0% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.2:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{im\_m + 1} - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (*
           (cos re)
           (+
            -1.0
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.16666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 5.2)
      t_0
      (if (<= im_m 9e+59)
        (* (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))) (- (/ 1.0 (+ im_m 1.0)) (exp im_m)))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.2) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 9e+59) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - exp(im_m));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    if (im_m <= 5.2d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 9d+59) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((1.0d0 / (im_m + 1.0d0)) - exp(im_m))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 5.2) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 9e+59) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 5.2:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 9e+59:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.2)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 9e+59)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(Float64(1.0 / Float64(im_m + 1.0)) - exp(im_m)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.2)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 9e+59)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - exp(im_m));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.2], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 9e+59], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / N[(im$95$m + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5.20000000000000018 or 8.99999999999999919e59 < im

   1. Initial program 56.3%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 5.20000000000000018 < im < 8.99999999999999919e59

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(im + 1\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 66.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(im, 1\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.1%

      \[\leadsto \left(\frac{1}{\color{blue}{im + 1}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5.2:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{im + 1} - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 95.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.45:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.15 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{im\_m + 1} - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 3.45)
      (* (cos re) (* im_m t_0))
      (if (<= im_m 1.15e+103)
        (* (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))) (- (/ 1.0 (+ im_m 1.0)) (exp im_m)))
        (* im_m (* (cos re) t_0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (im_m <= 3.45) {
		tmp = cos(re) * (im_m * t_0);
	} else if (im_m <= 1.15e+103) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))
    if (im_m <= 3.45d0) then
        tmp = cos(re) * (im_m * t_0)
    else if (im_m <= 1.15d+103) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((1.0d0 / (im_m + 1.0d0)) - exp(im_m))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (im_m <= 3.45) {
		tmp = Math.cos(re) * (im_m * t_0);
	} else if (im_m <= 1.15e+103) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)
	tmp = 0
	if im_m <= 3.45:
		tmp = math.cos(re) * (im_m * t_0)
	elif im_m <= 1.15e+103:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.45)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(im_m * t_0));
	elseif (im_m <= 1.15e+103)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(Float64(1.0 / Float64(im_m + 1.0)) - exp(im_m)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.45)
		tmp = cos(re) * (im_m * t_0);
	elseif (im_m <= 1.15e+103)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * ((1.0 / (im_m + 1.0)) - exp(im_m));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.45], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.15e+103], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / N[(im$95$m + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.4500000000000002

   1. Initial program 46.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) - \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) - \cos re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} - \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) - im \cdot \cos re \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re - \color{blue}{im} \cdot \cos re \]

      11. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)}\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   5. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 3.4500000000000002 < im < 1.15000000000000004e103

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + im\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(im + 1\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 75.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(im, 1\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.6%

      \[\leadsto \left(\frac{1}{\color{blue}{im + 1}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]

   if 1.15000000000000004e103 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \cos re\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1} \cdot \cos re\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{-8}{3} - -2\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(\cos re \cdot \left(\frac{-8}{3} - -2\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      8. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.45:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.15 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{im + 1} - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 95.1% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 4.7:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.1 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(1 - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 4.7)
      (* (cos re) (* im_m t_0))
      (if (<= im_m 1.1e+103)
        (* (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))) (- 1.0 (exp im_m)))
        (* im_m (* (cos re) t_0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (im_m <= 4.7) {
		tmp = cos(re) * (im_m * t_0);
	} else if (im_m <= 1.1e+103) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (1.0 - exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))
    if (im_m <= 4.7d0) then
        tmp = cos(re) * (im_m * t_0)
    else if (im_m <= 1.1d+103) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * (1.0d0 - exp(im_m))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (im_m <= 4.7) {
		tmp = Math.cos(re) * (im_m * t_0);
	} else if (im_m <= 1.1e+103) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (1.0 - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)
	tmp = 0
	if im_m <= 4.7:
		tmp = math.cos(re) * (im_m * t_0)
	elif im_m <= 1.1e+103:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (1.0 - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4.7)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(im_m * t_0));
	elseif (im_m <= 1.1e+103)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(1.0 - exp(im_m)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4.7)
		tmp = cos(re) * (im_m * t_0);
	elseif (im_m <= 1.1e+103)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (1.0 - exp(im_m));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4.7], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.1e+103], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 4.70000000000000018

   1. Initial program 46.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) - \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) - \cos re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} - \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) - im \cdot \cos re \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re - \color{blue}{im} \cdot \cos re \]

      11. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)}\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   5. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 4.70000000000000018 < im < 1.09999999999999996e103

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 76.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 75.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]

   if 1.09999999999999996e103 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \cos re\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1} \cdot \cos re\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{-8}{3} - -2\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(\cos re \cdot \left(\frac{-8}{3} - -2\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      8. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.7:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(1 - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 91.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 580:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.25 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 580.0)
      (* (cos re) (* im_m t_0))
      (if (<= im_m 1.25e+103)
        (*
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.008333333333333333
               (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))
         (+
          im_m
          (*
           (* re re)
           (+ (* im_m -0.5) (* 0.041666666666666664 (* im_m (* re re)))))))
        (* im_m (* (cos re) t_0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (im_m <= 580.0) {
		tmp = cos(re) * (im_m * t_0);
	} else if (im_m <= 1.25e+103) {
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))
    if (im_m <= 580.0d0) then
        tmp = cos(re) * (im_m * t_0)
    else if (im_m <= 1.25d+103) then
        tmp = ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * (-0.5d0)) + (0.041666666666666664d0 * (im_m * (re * re))))))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * t_0)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (im_m <= 580.0) {
		tmp = Math.cos(re) * (im_m * t_0);
	} else if (im_m <= 1.25e+103) {
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * t_0);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)
	tmp = 0
	if im_m <= 580.0:
		tmp = math.cos(re) * (im_m * t_0)
	elif im_m <= 1.25e+103:
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * t_0)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 580.0)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(im_m * t_0));
	elseif (im_m <= 1.25e+103)
		tmp = Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * Float64(im_m + Float64(Float64(re * re) * Float64(Float64(im_m * -0.5) + Float64(0.041666666666666664 * Float64(im_m * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * t_0));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 580.0)
		tmp = cos(re) * (im_m * t_0);
	elseif (im_m <= 1.25e+103)
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * t_0);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 580.0], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.25e+103], N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(N[(im$95$m * -0.5), $MachinePrecision] + N[(0.041666666666666664 * N[(im$95$m * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 580

   1. Initial program 46.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) - \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) - \cos re\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} - \cos \color{blue}{re}\right) \]

      6. distribute-lft-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) - im \cdot \cos re \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) - im \cdot \cos re \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re - \color{blue}{im} \cdot \cos re \]

      11. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) - im\right)} \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)}\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) + im \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   5. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 580 < im < 1.25e103

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 52.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot im} + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot im} + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot im\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(im \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 59.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 59.3%

       \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.25e103 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \cos re\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1} \cdot \cos re\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{-8}{3} - -2\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(\cos re \cdot \left(\frac{-8}{3} - -2\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      8. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 85.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 580:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.25 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 91.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 460:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.4 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (* (cos re) (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 460.0)
      t_0
      (if (<= im_m 1.4e+103)
        (*
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.008333333333333333
               (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))
         (+
          im_m
          (*
           (* re re)
           (+ (* im_m -0.5) (* 0.041666666666666664 (* im_m (* re re)))))))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	double tmp;
	if (im_m <= 460.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.4e+103) {
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
    if (im_m <= 460.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 1.4d+103) then
        tmp = ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * (-0.5d0)) + (0.041666666666666664d0 * (im_m * (re * re))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	double tmp;
	if (im_m <= 460.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 1.4e+103) {
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	tmp = 0
	if im_m <= 460.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 1.4e+103:
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 460.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.4e+103)
		tmp = Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * Float64(im_m + Float64(Float64(re * re) * Float64(Float64(im_m * -0.5) + Float64(0.041666666666666664 * Float64(im_m * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 460.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 1.4e+103)
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))) * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 460.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 1.4e+103], N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(N[(im$95$m * -0.5), $MachinePrecision] + N[(0.041666666666666664 * N[(im$95$m * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 460 or 1.40000000000000004e103 < im

   1. Initial program 55.2%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) + -1 \cdot \cos re\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1} \cdot \cos re\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \left(\frac{-2}{3} \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\cos re \cdot \left(\left(\frac{-8}{3} - -2\right) \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(\cos re \cdot \left(\frac{-8}{3} - -2\right)\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      8. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2} + -1 \cdot \cos re\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-8}{3} \cdot \cos re - -2 \cdot \cos re\right)\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   8. Simplified 88.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 460 < im < 1.40000000000000004e103

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 52.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot im} + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot im} + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot im\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(im \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 59.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 59.3%

       \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 460:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.4 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 83.2% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 600:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(0 - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 600.0)
    (* (cos re) (- 0.0 im_m))
    (if (<= im_m 5e+121)
      (*
       im_m
       (*
        (+ 1.0 (* re (* re (+ -0.5 (* (* re re) 0.041666666666666664)))))
        (+
         (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))
         (*
          (+ -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))
          (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))))))
      (*
       im_m
       (*
        (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
        (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 600.0) {
		tmp = cos(re) * (0.0 - im_m);
	} else if (im_m <= 5e+121) {
		tmp = im_m * ((1.0 + (re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))) * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 600.0d0) then
        tmp = cos(re) * (0.0d0 - im_m)
    else if (im_m <= 5d+121) then
        tmp = im_m * ((1.0d0 + (re * (re * ((-0.5d0) + ((re * re) * 0.041666666666666664d0))))) * (((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))) + (((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))))
    else
        tmp = im_m * ((0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 600.0) {
		tmp = Math.cos(re) * (0.0 - im_m);
	} else if (im_m <= 5e+121) {
		tmp = im_m * ((1.0 + (re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))) * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 600.0:
		tmp = math.cos(re) * (0.0 - im_m)
	elif im_m <= 5e+121:
		tmp = im_m * ((1.0 + (re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))) * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))))
	else:
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 600.0)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(0.0 - im_m));
	elseif (im_m <= 5e+121)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * 0.041666666666666664))))) * Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)) + Float64(Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 600.0)
		tmp = cos(re) * (0.0 - im_m);
	elseif (im_m <= 5e+121)
		tmp = im_m * ((1.0 + (re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))) * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)) + ((-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m))))));
	else
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 600.0], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5e+121], N[(im$95$m * N[(N[(1.0 + N[(re * N[(re * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 600

   1. Initial program 46.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 60.8%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \cos re\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 60.8%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 60.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-im \cdot \cos re} \]

   if 600 < im < 5.00000000000000007e121

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 62.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 67.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 67.5%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   if 5.00000000000000007e121 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 80.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) + \color{blue}{-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 600:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(0 - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+121}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right) + \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 61.8% accurate, 3.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.4 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\frac{im\_m \cdot \left(-1 + t\_1 \cdot \left(\left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)\right)}{1 + t\_1 \cdot \left(t\_1 - -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -0.16666666666666666
          (*
           im_m
           (*
            im_m
            (+
             -0.008333333333333333
             (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984)))))))
        (t_1 (* im_m (* im_m t_0))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 3.4e+24)
      (/
       (*
        im_m
        (+ -1.0 (* t_1 (* (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)) (* t_0 t_0)))))
       (+ 1.0 (* t_1 (- t_1 -1.0))))
      (*
       (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	double t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+24) {
		tmp = (im_m * (-1.0 + (t_1 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0))))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 - -1.0)));
	} else {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))))
    t_1 = im_m * (im_m * t_0)
    if (im_m <= 3.4d+24) then
        tmp = (im_m * ((-1.0d0) + (t_1 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0))))) / (1.0d0 + (t_1 * (t_1 - (-1.0d0))))
    else
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	double t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+24) {
		tmp = (im_m * (-1.0 + (t_1 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0))))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 - -1.0)));
	} else {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))))
	t_1 = im_m * (im_m * t_0)
	tmp = 0
	if im_m <= 3.4e+24:
		tmp = (im_m * (-1.0 + (t_1 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0))))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 - -1.0)))
	else:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984))))))
	t_1 = Float64(im_m * Float64(im_m * t_0))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.4e+24)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(t_1 * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)) * Float64(t_0 * t_0))))) / Float64(1.0 + Float64(t_1 * Float64(t_1 - -1.0))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.4e+24)
		tmp = (im_m * (-1.0 + (t_1 * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0))))) / (1.0 + (t_1 * (t_1 - -1.0)));
	else
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.4e+24], N[(N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(t$95$1 * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.4000000000000001e24

   1. Initial program 48.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 58.3%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} - \color{blue}{\frac{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 36.4%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\frac{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} - \frac{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 36.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im}{1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) - -1\right)}} \]

   if 3.4000000000000001e24 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 77.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 44.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.4 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right) - -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 62.5% accurate, 4.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.4 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\frac{im\_m \cdot \left(1 - \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)}{-1 - im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -0.16666666666666666
          (*
           im_m
           (*
            im_m
            (+
             -0.008333333333333333
             (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 3.4e+39)
      (/
       (* im_m (- 1.0 (* (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)) (* t_0 t_0))))
       (- -1.0 (* im_m (* im_m t_0))))
      (*
       (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+39) {
		tmp = (im_m * (1.0 - (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (-1.0 - (im_m * (im_m * t_0)));
	} else {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))))
    if (im_m <= 3.4d+39) then
        tmp = (im_m * (1.0d0 - (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / ((-1.0d0) - (im_m * (im_m * t_0)))
    else
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+39) {
		tmp = (im_m * (1.0 - (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (-1.0 - (im_m * (im_m * t_0)));
	} else {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 3.4e+39:
		tmp = (im_m * (1.0 - (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (-1.0 - (im_m * (im_m * t_0)))
	else:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.4e+39)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(1.0 - Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)) * Float64(t_0 * t_0)))) / Float64(-1.0 - Float64(im_m * Float64(im_m * t_0))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.4e+39)
		tmp = (im_m * (1.0 - (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (t_0 * t_0)))) / (-1.0 - (im_m * (im_m * t_0)));
	else
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.4e+39], N[(N[(im$95$m * N[(1.0 - N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(-1.0 - N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.3999999999999999e39

   1. Initial program 49.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 57.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\color{blue}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

      3. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} - \color{blue}{\frac{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}}\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 36.7%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\frac{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} - \frac{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) - \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}\right)} \]

   12. Applied egg-rr 37.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im}{-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)}} \]

   if 3.3999999999999999e39 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 78.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 78.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.4 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \left(1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{-1 - im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 62.0% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 480:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{+107}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(im\_m + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -1.0
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.008333333333333333
               (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 480.0)
      (* im_m t_0)
      (if (<= im_m 2e+107)
        (*
         t_0
         (+
          im_m
          (*
           (* re re)
           (+ (* im_m -0.5) (* 0.041666666666666664 (* im_m (* re re)))))))
        (*
         im_m
         (*
          (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
          (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 480.0) {
		tmp = im_m * t_0;
	} else if (im_m <= 2e+107) {
		tmp = t_0 * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))
    if (im_m <= 480.0d0) then
        tmp = im_m * t_0
    else if (im_m <= 2d+107) then
        tmp = t_0 * (im_m + ((re * re) * ((im_m * (-0.5d0)) + (0.041666666666666664d0 * (im_m * (re * re))))))
    else
        tmp = im_m * ((0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 480.0) {
		tmp = im_m * t_0;
	} else if (im_m <= 2e+107) {
		tmp = t_0 * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 480.0:
		tmp = im_m * t_0
	elif im_m <= 2e+107:
		tmp = t_0 * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))))
	else:
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 480.0)
		tmp = Float64(im_m * t_0);
	elseif (im_m <= 2e+107)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(im_m + Float64(Float64(re * re) * Float64(Float64(im_m * -0.5) + Float64(0.041666666666666664 * Float64(im_m * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 480.0)
		tmp = im_m * t_0;
	elseif (im_m <= 2e+107)
		tmp = t_0 * (im_m + ((re * re) * ((im_m * -0.5) + (0.041666666666666664 * (im_m * (re * re))))));
	else
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 480.0], N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2e+107], N[(t$95$0 * N[(im$95$m + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(N[(im$95$m * -0.5), $MachinePrecision] + N[(0.041666666666666664 * N[(im$95$m * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 480

   1. Initial program 46.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 60.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 60.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   if 480 < im < 1.9999999999999999e107

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{120} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 59.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 59.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \cos re\right) \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot im} + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot im} + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot im\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(im \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 65.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 65.1%

       \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.9999999999999999e107 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 78.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) + \color{blue}{-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 78.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 63.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 480:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+107}:\\ \;\;\;\;\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot -0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 61.7% accurate, 7.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 430:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.6 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(im\_m + \left(im\_m \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 430.0)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       (* im_m im_m)
       (+
        -0.16666666666666666
        (*
         im_m
         (*
          im_m
          (+
           -0.008333333333333333
           (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))))))))
    (if (<= im_m 2.6e+24)
      (*
       (+
        -1.0
        (*
         (* im_m im_m)
         (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))
       (+
        im_m
        (* (* im_m (* re re)) (+ -0.5 (* (* re re) 0.041666666666666664)))))
      (*
       (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 430.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	} else if (im_m <= 2.6e+24) {
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * (im_m + ((im_m * (re * re)) * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 430.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))))))))
    else if (im_m <= 2.6d+24) then
        tmp = ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))) * (im_m + ((im_m * (re * re)) * ((-0.5d0) + ((re * re) * 0.041666666666666664d0))))
    else
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 430.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	} else if (im_m <= 2.6e+24) {
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * (im_m + ((im_m * (re * re)) * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 430.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
	elif im_m <= 2.6e+24:
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * (im_m + ((im_m * (re * re)) * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))
	else:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 430.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	elseif (im_m <= 2.6e+24)
		tmp = Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * Float64(im_m + Float64(Float64(im_m * Float64(re * re)) * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * 0.041666666666666664)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 430.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	elseif (im_m <= 2.6e+24)
		tmp = (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * (im_m + ((im_m * (re * re)) * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))));
	else
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 430.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.6e+24], N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m + N[(N[(im$95$m * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 430

   1. Initial program 46.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 60.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 60.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   if 430 < im < 2.5999999999999998e24

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \cos re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \cos re\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 4.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im + {re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot im + \frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot im\right) \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot {re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right)} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{2} + \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot {\color{blue}{re}}^{2}\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{2} + \left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot re\right)\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 45.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 45.1%

       \[\leadsto \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im + \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)} \]

   if 2.5999999999999998e24 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 77.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 63.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 430:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(im + \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 61.7% accurate, 7.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 410:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.8 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 410.0)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       (* im_m im_m)
       (+
        -0.16666666666666666
        (*
         im_m
         (*
          im_m
          (+
           -0.008333333333333333
           (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))))))))
    (if (<= im_m 2.8e+24)
      (*
       im_m
       (*
        (+
         -1.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))
        (+ 1.0 (* re (* re (+ -0.5 (* (* re re) 0.041666666666666664)))))))
      (*
       (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 410.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	} else if (im_m <= 2.8e+24) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * (1.0 + (re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 410.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))))))))
    else if (im_m <= 2.8d+24) then
        tmp = im_m * (((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))) * (1.0d0 + (re * (re * ((-0.5d0) + ((re * re) * 0.041666666666666664d0))))))
    else
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 410.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	} else if (im_m <= 2.8e+24) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * (1.0 + (re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))));
	} else {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 410.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
	elif im_m <= 2.8e+24:
		tmp = im_m * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * (1.0 + (re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))))
	else:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 410.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	elseif (im_m <= 2.8e+24)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * 0.041666666666666664)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 410.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	elseif (im_m <= 2.8e+24)
		tmp = im_m * ((-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))) * (1.0 + (re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664))))));
	else
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 410.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.8e+24], N[(im$95$m * N[(N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(re * N[(re * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 410

   1. Initial program 46.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 60.2%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 60.2%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   if 410 < im < 2.8000000000000002e24

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 45.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 45.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   if 2.8000000000000002e24 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 77.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + {im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 63.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 410:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.8 \cdot 10^{+24}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 60.4% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.16666666666666666
             (*
              im_m
              (*
               im_m
               (+
                -0.008333333333333333
                (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 4.4e+101)
      t_0
      (if (<= re 2.1e+198)
        (*
         im_m
         (*
          (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
          (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0))))))))
    if (re <= 4.4d+101) then
        tmp = t_0
    else if (re <= 2.1d+198) then
        tmp = im_m * ((0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
	tmp = 0
	if re <= 4.4e+101:
		tmp = t_0
	elif re <= 2.1e+198:
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))));
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.4e+101], t$95$0, If[LessEqual[re, 2.1e+198], N[(im$95$m * N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.4000000000000001e101 or 2.10000000000000013e198 < re

   1. Initial program 57.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 63.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       9. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 63.1%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   if 4.4000000000000001e101 < re < 2.10000000000000013e198

   1. Initial program 83.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 39.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 39.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) + \color{blue}{-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 39.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 58.7% accurate, 11.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.16666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 4.4e+101)
      t_0
      (if (<= re 2.1e+198)
        (*
         im_m
         (*
          (+ 0.5 (* -0.25 (* re re)))
          (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    if (re <= 4.4d+101) then
        tmp = t_0
    else if (re <= 2.1d+198) then
        tmp = im_m * ((0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	tmp = 0
	if re <= 4.4e+101:
		tmp = t_0
	elif re <= 2.1e+198:
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = im_m * ((0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.4e+101], t$95$0, If[LessEqual[re, 2.1e+198], N[(im$95$m * N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.4000000000000001e101 or 2.10000000000000013e198 < re

   1. Initial program 57.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 59.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 4.4000000000000001e101 < re < 2.10000000000000013e198

   1. Initial program 83.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 39.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 39.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) + \color{blue}{-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) + -2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)}\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 39.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 58.5% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.16666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 4.4e+101)
      t_0
      (if (<= re 2.1e+198)
        (* (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))) (* im_m -2.0))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * -2.0);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    if (re <= 4.4d+101) then
        tmp = t_0
    else if (re <= 2.1d+198) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * (im_m * (-2.0d0))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * -2.0);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	tmp = 0
	if re <= 4.4e+101:
		tmp = t_0
	elif re <= 2.1e+198:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * -2.0)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(im_m * -2.0));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * -2.0);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.4e+101], t$95$0, If[LessEqual[re, 2.1e+198], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.4000000000000001e101 or 2.10000000000000013e198 < re

   1. Initial program 57.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{-1} + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 59.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 4.4000000000000001e101 < re < 2.10000000000000013e198

   1. Initial program 83.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 39.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 39.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 39.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 39.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot -2\right)} \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 53.9% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 4.4e+101)
      t_0
      (if (<= re 2.1e+198)
        (* (+ 0.5 (* -0.25 (* re re))) (* im_m -2.0))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * -2.0);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)))
    if (re <= 4.4d+101) then
        tmp = t_0
    else if (re <= 2.1d+198) then
        tmp = (0.5d0 + ((-0.25d0) * (re * re))) * (im_m * (-2.0d0))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * -2.0);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	tmp = 0
	if re <= 4.4e+101:
		tmp = t_0
	elif re <= 2.1e+198:
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * -2.0)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(-0.25 * Float64(re * re))) * Float64(im_m * -2.0));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = (0.5 + (-0.25 * (re * re))) * (im_m * -2.0);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.4e+101], t$95$0, If[LessEqual[re, 2.1e+198], N[(N[(0.5 + N[(-0.25 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.4000000000000001e101 or 2.10000000000000013e198 < re

   1. Initial program 57.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 63.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 54.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 54.9%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 4.4000000000000001e101 < re < 2.10000000000000013e198

   1. Initial program 83.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) + \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 39.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 39.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{im}} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 39.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 39.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot -2\right)} \cdot \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 25: 53.9% accurate, 16.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + 0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))))
   (*
    im_s
    (if (<= re 4.4e+101)
      t_0
      (if (<= re 2.1e+198) (* im_m (+ -1.0 (* 0.5 (* re re)))) t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (0.5 * (re * re)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)))
    if (re <= 4.4d+101) then
        tmp = t_0
    else if (re <= 2.1d+198) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (0.5d0 * (re * re)))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (re <= 4.4e+101) {
		tmp = t_0;
	} else if (re <= 2.1e+198) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (0.5 * (re * re)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	tmp = 0
	if re <= 4.4e+101:
		tmp = t_0
	elif re <= 2.1e+198:
		tmp = im_m * (-1.0 + (0.5 * (re * re)))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(0.5 * Float64(re * re))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.4e+101)
		tmp = t_0;
	elseif (re <= 2.1e+198)
		tmp = im_m * (-1.0 + (0.5 * (re * re)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 4.4e+101], t$95$0, If[LessEqual[re, 2.1e+198], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(0.5 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.4000000000000001e101 or 2.10000000000000013e198 < re

   1. Initial program 57.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 63.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 54.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 54.9%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 4.4000000000000001e101 < re < 2.10000000000000013e198

   1. Initial program 83.9%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 22.7%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 22.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)} \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \frac{1}{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{im}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \left(\frac{1}{2} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \left(\left(-2 \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot {re}^{2}\right) \cdot im \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \left(-2 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot im \]

      8. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(-1 + -2 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

      10. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

      12. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{-2 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{-2} \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot -2\right)\right)\right) \]

      17. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot -2\right)}\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

      20. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 39.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 39.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.5\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.4 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + 0.5 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 26: 45.6% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.1 \cdot 10^{+171}:\\ \;\;\;\;0 - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{im\_m \cdot im\_m}{im\_m}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= im_m 1.1e+171) (- 0.0 im_m) (- 0.0 (/ (* im_m im_m) im_m)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.1e+171) {
		tmp = 0.0 - im_m;
	} else {
		tmp = 0.0 - ((im_m * im_m) / im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.1d+171) then
        tmp = 0.0d0 - im_m
    else
        tmp = 0.0d0 - ((im_m * im_m) / im_m)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.1e+171) {
		tmp = 0.0 - im_m;
	} else {
		tmp = 0.0 - ((im_m * im_m) / im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.1e+171:
		tmp = 0.0 - im_m
	else:
		tmp = 0.0 - ((im_m * im_m) / im_m)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.1e+171)
		tmp = Float64(0.0 - im_m);
	else
		tmp = Float64(0.0 - Float64(Float64(im_m * im_m) / im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.1e+171)
		tmp = 0.0 - im_m;
	else
		tmp = 0.0 - ((im_m * im_m) / im_m);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.1e+171], N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision], N[(0.0 - N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] / im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.1e171

   1. Initial program 56.1%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 50.7%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 30.0%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 30.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 30.0%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

   10. Applied egg-rr 30.0%

       \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

   if 1.1e171 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 7.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 7.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 6.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 6.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{0 \cdot 0 - im \cdot im}{\color{blue}{0 + im}} \]

      2. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{0 \cdot 0 - im \cdot im}{im} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 \cdot 0 - im \cdot im\right), \color{blue}{im}\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 - im \cdot im\right), im\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(im \cdot im\right)\right), im\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 84.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right) \]

   10. Applied egg-rr 84.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - im \cdot im}{im}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 34.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.1 \cdot 10^{+171}:\\ \;\;\;\;0 - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{im \cdot im}{im}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 27: 53.8% accurate, 34.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 \cdot \cos re + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right) + {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \cos re}\right)\right)\right) \]

5. Simplified 89.8%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{5040}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 60.5%

   \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

9. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 52.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 52.5%

    \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

12. Final simplification 52.5%

    \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 28: 29.9% accurate, 103.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(0 - im\_m\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (- 0.0 im_m)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - im_m);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (0.0d0 - im_m)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - im_m);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (0.0 - im_m)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(0.0 - im_m))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (0.0 - im_m);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.4%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 47.5%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

5. Simplified 47.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

   3. --lowering--.f64 28.2%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

8. Simplified 28.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 28.2%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

10. Applied egg-rr 28.2%

    \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

11. Final simplification 28.2%

    \[\leadsto 0 - im \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (cos re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(cos(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))