Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.8% → 8.3%

Time: 2.3min

Alternatives: 7

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 8.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\\ \frac{1}{\frac{t\_0 \cdot \left(\pi + t\_0 \cdot 4\right) + \frac{\pi \cdot \pi}{4}}{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.125\right) + {\left(t\_0 \cdot 2\right)}^{3}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (pow (+ 0.5 (/ x -2.0)) 0.5))))
   (/
    1.0
    (/
     (+ (* t_0 (+ PI (* t_0 4.0))) (/ (* PI PI) 4.0))
     (+ (* PI (* (* PI PI) -0.125)) (pow (* t_0 2.0) 3.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = acos(pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5));
	return 1.0 / (((t_0 * (((double) M_PI) + (t_0 * 4.0))) + ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) / 4.0)) / ((((double) M_PI) * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * -0.125)) + pow((t_0 * 2.0), 3.0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.acos(Math.pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5));
	return 1.0 / (((t_0 * (Math.PI + (t_0 * 4.0))) + ((Math.PI * Math.PI) / 4.0)) / ((Math.PI * ((Math.PI * Math.PI) * -0.125)) + Math.pow((t_0 * 2.0), 3.0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.acos(math.pow((0.5 + (x / -2.0)), 0.5))
	return 1.0 / (((t_0 * (math.pi + (t_0 * 4.0))) + ((math.pi * math.pi) / 4.0)) / ((math.pi * ((math.pi * math.pi) * -0.125)) + math.pow((t_0 * 2.0), 3.0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = acos((Float64(0.5 + Float64(x / -2.0)) ^ 0.5))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * Float64(pi + Float64(t_0 * 4.0))) + Float64(Float64(pi * pi) / 4.0)) / Float64(Float64(pi * Float64(Float64(pi * pi) * -0.125)) + (Float64(t_0 * 2.0) ^ 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = acos(((0.5 + (x / -2.0)) ^ 0.5));
	tmp = 1.0 / (((t_0 * (pi + (t_0 * 4.0))) + ((pi * pi) / 4.0)) / ((pi * ((pi * pi) * -0.125)) + ((t_0 * 2.0) ^ 3.0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[Power[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * N[(Pi + N[(t$95$0 * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] / 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(Pi * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(t$95$0 * 2.0), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 7.7%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2} \]

   2. flip3-- N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{3}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right)}^{3} - {\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) + \left({\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{2} + \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - -8 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}^{3}}{-2 \cdot \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}^{2} + {\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}} \]

9. Simplified 9.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.125 + {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)}^{3} \cdot 8}{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot -0.5\right) \cdot -2 + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right) \cdot 4\right) + 0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}} \]

11. Applied egg-rr 9.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 4\right) + \frac{\pi \cdot \pi}{4}}{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.125\right) + {\left(\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{3}}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)\\ \frac{-0.125 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + {t\_0}^{3} \cdot 8}{t\_0 \cdot \left(\pi + 4 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\right) + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (- 0.5 (* 0.5 x))))))
   (/
    (+ (* -0.125 (* PI (* PI PI))) (* (pow t_0 3.0) 8.0))
    (+
     (* t_0 (+ PI (* 4.0 (acos (sqrt (+ 0.5 (* x -0.5)))))))
     (* (* PI PI) 0.25)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = acos(sqrt((0.5 - (0.5 * x))));
	return ((-0.125 * (((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))) + (pow(t_0, 3.0) * 8.0)) / ((t_0 * (((double) M_PI) + (4.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5))))))) + ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 0.25));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.acos(Math.sqrt((0.5 - (0.5 * x))));
	return ((-0.125 * (Math.PI * (Math.PI * Math.PI))) + (Math.pow(t_0, 3.0) * 8.0)) / ((t_0 * (Math.PI + (4.0 * Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x * -0.5))))))) + ((Math.PI * Math.PI) * 0.25));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.acos(math.sqrt((0.5 - (0.5 * x))))
	return ((-0.125 * (math.pi * (math.pi * math.pi))) + (math.pow(t_0, 3.0) * 8.0)) / ((t_0 * (math.pi + (4.0 * math.acos(math.sqrt((0.5 + (x * -0.5))))))) + ((math.pi * math.pi) * 0.25))

Julia

function code(x)
	t_0 = acos(sqrt(Float64(0.5 - Float64(0.5 * x))))
	return Float64(Float64(Float64(-0.125 * Float64(pi * Float64(pi * pi))) + Float64((t_0 ^ 3.0) * 8.0)) / Float64(Float64(t_0 * Float64(pi + Float64(4.0 * acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x * -0.5))))))) + Float64(Float64(pi * pi) * 0.25)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = acos(sqrt((0.5 - (0.5 * x))));
	tmp = ((-0.125 * (pi * (pi * pi))) + ((t_0 ^ 3.0) * 8.0)) / ((t_0 * (pi + (4.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5))))))) + ((pi * pi) * 0.25));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 - N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(-0.125 * N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision] * 8.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(t$95$0 * N[(Pi + N[(4.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 7.7%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2} \]

   2. flip3-- N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - {\left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}^{3}\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) + \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right)}^{3} - {\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) + \left({\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{2} + \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{3} - -8 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}^{3}}{-2 \cdot \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}^{2} + {\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}} \]

9. Simplified 9.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.125 + {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)}^{3} \cdot 8}{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot -0.5\right) \cdot -2 + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right) \cdot 4\right) + 0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + 4 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(4 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(4 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) \cdot 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right), 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right), 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right), 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right), 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 9.5%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \frac{-1}{8}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), 3\right), 8\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), 4\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 9.5%

    \[\leadsto \frac{\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.125 + {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)}^{3} \cdot 8}{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right) \cdot 4\right)} + 0.25 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \]

13. Final simplification 9.5%

    \[\leadsto \frac{-0.125 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + {\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)}^{3} \cdot 8}{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right) \cdot \left(\pi + 4 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\right) + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 0.25} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - \left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (+ PI (* -2.0 (acos (sqrt (+ 0.5 (* x -0.5))))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (((double) M_PI) + (-2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (Math.PI + (-2.0 * Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x * -0.5))))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (math.pi + (-2.0 * math.acos(math.sqrt((0.5 + (x * -0.5))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(pi + Float64(-2.0 * acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x * -0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (pi + (-2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(Pi + N[(-2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.7%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 9.5%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 9.5%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{-0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (pow (/ 2.0 (- 1.0 x)) -0.5)))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(pow((2.0 / (1.0 - x)), -0.5)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.pow((2.0 / (1.0 - x)), -0.5)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.pow((2.0 / (1.0 - x)), -0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin((Float64(2.0 / Float64(1.0 - x)) ^ -0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(((2.0 / (1.0 - x)) ^ -0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Power[N[(2.0 / N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.7%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\frac{2}{1 - x}}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{-1}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. sqrt-pow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{1}{-2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{\left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{2}{1 - x}\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(1 - x\right)\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval 7.7%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left({\left(\frac{2}{1 - x}\right)}^{-0.5}\right)} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 6.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.7%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 6: 5.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} + \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) - \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (/ PI 2.0) (- (* 2.0 (acos (sqrt 0.5))) PI)))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) + ((2.0 * acos(sqrt(0.5))) - ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) + ((2.0 * Math.acos(Math.sqrt(0.5))) - Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) + ((2.0 * math.acos(math.sqrt(0.5))) - math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) + Float64(Float64(2.0 * acos(sqrt(0.5))) - pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) + ((2.0 * acos(sqrt(0.5))) - pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.7%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 9.5%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.6%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

7. Simplified 5.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)}\right) \cdot 2\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   4. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   5. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   8. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   9. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   13. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.6%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 5.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi}{2} - \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \cdot 2\right)} \]

10. Final simplification 5.6%

    \[\leadsto \frac{\pi}{2} + \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) - \pi\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 4.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt 0.5)))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(0.5)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(0.5)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 7.7%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.1%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 4.1%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))