normal distribution

Percentage Accurate: 99.4% → 99.6%

Time: 11.6s

Alternatives: 3

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(0 \leq u1 \land u1 \leq 1\right) \land \left(0 \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ (* (cos (* 2.0 (* PI u2))) (sqrt (* (log u1) -0.05555555555555555))) 0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (cos((2.0 * (((double) M_PI) * u2))) * sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (Math.cos((2.0 * (Math.PI * u2))) * Math.sqrt((Math.log(u1) * -0.05555555555555555))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (math.cos((2.0 * (math.pi * u2))) * math.sqrt((math.log(u1) * -0.05555555555555555))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(cos(Float64(2.0 * Float64(pi * u2))) * sqrt(Float64(log(u1) * -0.05555555555555555))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (cos((2.0 * (pi * u2))) * sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[Cos[N[(2.0 * N[(Pi * u2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -0.05555555555555555), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. log-lowering-log.f64 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)}^{0.5}}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

7. Taylor expanded in u1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(0 - \log u1\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \log u1\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0 - \log u1} \cdot \sqrt{2}\right)}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {2}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {2}^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left({2}^{\frac{1}{4}} \cdot {2}^{\frac{1}{4}}\right)\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. pow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(2 \cdot 2\right)}^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {4}^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{4}}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. pow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left({-2}^{\frac{1}{4}} \cdot {-2}^{\frac{1}{4}}\right)\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. pow-prod-up N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {-2}^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {-2}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. pow1/2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \sqrt{0 - \log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. pow1/2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot {\left(0 - \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot {\left(0 - \log u1\right)}^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. pow-prod-up N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \left({\left(0 - \log u1\right)}^{\frac{1}{4}} \cdot {\left(0 - \log u1\right)}^{\frac{1}{4}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    16. pow-prod-down N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot {\left(\left(0 - \log u1\right) \cdot \left(0 - \log u1\right)\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    17. sub0-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot {\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log u1\right)\right) \cdot \left(0 - \log u1\right)\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. sub0-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot {\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log u1\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\log u1\right)\right)\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. sqr-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot {\left(\log u1 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. pow-prod-down N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \left({\log u1}^{\frac{1}{4}} \cdot {\log u1}^{\frac{1}{4}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    21. pow-prod-up N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot {\log u1}^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    22. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot {\log u1}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    23. pow1/2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \sqrt{\log u1}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{{\left(0.027777777777777776 \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)}^{0.5}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto {\left(\frac{1}{36} \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{36} \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

13. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} + 0.5} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + {\left({\log u1}^{2} \cdot 0.0030864197530864196\right)}^{0.25} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ 0.5 (pow (* (pow (log u1) 2.0) 0.0030864197530864196) 0.25)))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + pow((pow(log(u1), 2.0) * 0.0030864197530864196), 0.25);
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = 0.5d0 + (((log(u1) ** 2.0d0) * 0.0030864197530864196d0) ** 0.25d0)
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + Math.pow((Math.pow(Math.log(u1), 2.0) * 0.0030864197530864196), 0.25);
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + math.pow((math.pow(math.log(u1), 2.0) * 0.0030864197530864196), 0.25)

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + (Float64((log(u1) ^ 2.0) * 0.0030864197530864196) ^ 0.25))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (((log(u1) ^ 2.0) * 0.0030864197530864196) ^ 0.25);
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[Power[N[(N[Power[N[Log[u1], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] * 0.0030864197530864196), $MachinePrecision], 0.25], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\sqrt{-2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\sqrt{-2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 0.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{\log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \sqrt{\log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 98.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

9. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} + 0.5} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    3. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    4. pow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    6. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    7. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\frac{1}{6}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\frac{1}{6}}^{2}\right), \left({\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    10. sqrt-pow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{2}{2}\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{1}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    12. unpow1 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\log u1 \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\log u1, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    15. log-lowering-log.f64 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

11. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.027777777777777776 \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)}^{0.5}} + 0.5 \]
12. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{36} \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)}^{\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    2. pow-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{1}{36} \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left({\left(\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot \frac{1}{36}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left({\left(\log u1 \cdot \left(-2 \cdot \frac{1}{36}\right)\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left({\left(\log u1 \cdot \frac{-1}{18}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    6. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\left(\log u1 \cdot \frac{-1}{18}\right) \cdot \left(\log u1 \cdot \frac{-1}{18}\right)\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    7. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\log u1 \cdot \frac{-1}{18}\right) \cdot \left(\log u1 \cdot \frac{-1}{18}\right)\right), \frac{1}{4}\right), \frac{1}{2}\right) \]

13. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left({\log u1}^{2} \cdot 0.0030864197530864196\right)}^{0.25}} + 0.5 \]

14. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto 0.5 + {\left({\log u1}^{2} \cdot 0.0030864197530864196\right)}^{0.25} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.4% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} - -0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (- (sqrt (* (log u1) -0.05555555555555555)) -0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555)) - -0.5;
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = sqrt((log(u1) * (-0.05555555555555555d0))) - (-0.5d0)
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return Math.sqrt((Math.log(u1) * -0.05555555555555555)) - -0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return math.sqrt((math.log(u1) * -0.05555555555555555)) - -0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(sqrt(Float64(log(u1) * -0.05555555555555555)) - -0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555)) - -0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -0.05555555555555555), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - -0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\sqrt{-2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\sqrt{-2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 0.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{\log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \sqrt{\log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 98.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

9. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} + 0.5} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    3. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    4. pow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    6. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    7. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\frac{1}{6}}^{2} \cdot {\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\frac{1}{6}}^{2}\right), \left({\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    10. sqrt-pow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{2}{2}\right)}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{1}\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    12. unpow1 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\log u1 \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\log u1, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    15. log-lowering-log.f64 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), -2\right)\right), \frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}\right) \]

11. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.027777777777777776 \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)}^{0.5}} + 0.5 \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow-prod-down N/A

       \[\leadsto {\frac{1}{36}}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto {\frac{1}{36}}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\left(\frac{1}{8} \cdot 4\right)} + \frac{1}{2} \]

    3. pow-pow N/A

       \[\leadsto {\frac{1}{36}}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}^{4} + \frac{1}{2} \]

    4. fma-define N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\frac{1}{36}}^{\frac{1}{2}}, \color{blue}{{\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}^{4}}, \frac{1}{2}\right) \]

    5. unpow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{1}{36}}, {\color{blue}{\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}}^{4}, \frac{1}{2}\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {\color{blue}{\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}}^{4}, \frac{1}{2}\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}^{4}, \mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{6}, {\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}^{4}, \mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

    9. fmm-def N/A

       \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot {\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}^{4} - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)} \]

    10. --lowering--.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{36}} \cdot {\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}^{4}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    12. unpow1/2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({\frac{1}{36}}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left({\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{8}}\right)}^{4}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    13. pow-pow N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({\frac{1}{36}}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\left(\frac{1}{8} \cdot 4\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({\frac{1}{36}}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(\log u1 \cdot -2\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    15. unpow-prod-down N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{36} \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

    16. unpow1/2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{36} \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

    17. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{36} \cdot \left(\log u1 \cdot -2\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

    18. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot \frac{1}{36}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    19. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\log u1 \cdot \left(-2 \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    20. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\log u1 \cdot \frac{-1}{18}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    21. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\log u1, \frac{-1}{18}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    22. log-lowering-log.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \frac{-1}{18}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    23. metadata-eval 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right), \frac{-1}{18}\right)\right), \frac{-1}{2}\right) \]

13. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} - -0.5} \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024155 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (and (<= 0.0 u1) (<= u1 1.0)) (and (<= 0.0 u2) (<= u2 1.0)))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))